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2015高考数学二轮复习热点题型专题二十九 数列的概念与简单表示法


专题二十九 数列的概念与简单表示法 【高频考点解读】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【热点题型】 题型一 数列的通项公式与递推公式

例 1、已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项 公式的一项是( )
+1

A.an=1+(-1)n

B.an=2sin

nπ 2

C.an=1-cos nπ

?2,n为奇数, ? D.an=? ?0,n为偶数 ?

【提分秘籍】 数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为 an=(-1)n,或 an=
?-1 ? ? ?1 ?

n为奇数 n为偶数

,有的数列没有通项公式.

【举一反三】 1 在数列{an}中,a1=1,an=1+ (n≥2),则 a5=( an-1 3 A. 2 5 B. 3 7 C. 4 8 D. 5 )

3 5 8 解析:由题意知,a1=1,a2=2,a3= ,a4= ,a5= . 2 3 5 答案:D 【热点题型】 题型二 数列前 n 项和与通项的关系 )

例 2、下列可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( A.an=1 nπ sin ? C.an=2-? ? 2? - n+1 B.an= 2 - D.an=
n-1

+3

2

【提分秘籍】 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还 原、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求. 2.注意由前几项写数列的通项,通项公式不唯一.
?S1,n=1 ? 3.很多数列试题是以 an=? .为出发点设计的,求解时要考虑两个方面,一 ? ?Sn-Sn-1,n≥2

个是根据 Sn-Sn-1=an 把数列中的和转化为数列通项之间的关系;一个是根据 an=Sn-Sn-1 把 数列中的通项转化为和的关系,先求 Sn 再求 an. 【举一反三】 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3× 44 C.45 B.3× 44+1 D.45+1 )

解析:a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3× 41,a4=3S3=48=3× 42,a5=3S4=3× 43,a6 =3S5=3× 4 4. 答案:A 【热点题型】 题型三 由递推关系求通项公式

例 3、已知 a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则 an=________. 1 1+ ?an,则 an=________. (2)在数列{an}中,a1=5,an+1=? ? n?

【答案】(1)n2+1

(2)5n

【提分秘籍】 由 a1 和递推关系求通项公式时注意下列方法 (1)累加法:形如 an+1-an=f(n)型 an+1 (2)累乘法:形如 =f(n)型 an 【举一反三】 已知数列{an}满足 a1=33, A.9.5 B.10.6 an+1-an an =2,则 的最小值为( n n C.10.5 D.9.6 )

【热点题型】 题型四 利用 an 与 Sn 关系求通项公式

2 1 例 4、(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公 3 3 式是 an=________.

【提分秘籍】 已知{an}的前 n 项和 Sn,求 an 时应注意以下二点 (1)应重视分类讨论的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论; 特别注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2. (2)由 Sn-Sn-1=an 推得的 an,当 n=1 时,a1 也适合“an 式”,则需统一“合写”. 【举一反三】 若数列{an}满足 a1a2a3…an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为________. 解析:∵a1a2a3…an=n2+3n+2,① ∴当 n≥2 时,a1a2a3…an-1=(n-1)2+3(n-1)+2=n(n+1).②

【热点题型】 题型五 考查求数列通项

例 5、已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求 an.

【提分秘籍】构造法求数列通项问题 递推数列是高考考查的热点,由递推公式求通项时,一般先对递推公式变形然后转化为 常见的等差、等比数列求其通项,构造新数列求通项是命题热点,常见的类型有: (1)形如 an+1=pan+q 或 an+1=pan+qn. (其中 p、q 均为常数)或 an+1=pan+an+b 可构造等比数列求解. pan (2)形如 an+1= (其中 p、q、r≠0)可构造等差数列求解. qan+r 【举一反三】 1?n+1 5 1 已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+? ?2? ,求 an. 6 3

【高考风向标】 1. (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an
+1

bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.


2. (2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1, 其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

a2n-1=4n-3;

{a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 3. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式;
? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2

* 4. (2014· 重庆卷)设 a1=1,an+1= a2 n-2an+2+b(n∈N ).

(1)若 b=1,求 a2,a3 及数列{an}的通项公式. (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2n<c<a2n+1 对所有 n∈N*成立?证明你的结论.

假设 n=k 时结论成立,即 ak= k-1+1,则 ak+1= (ak-1)2+1+1= (k-1)+1+1= (k+1)-1+1, 这就是说,当 n=k+1 时结论成立. 所以 an= n-1+1(n∈N*).

a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,

a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2 (k+1)+1.

5. (2013· 安徽卷)如图 1-3 所示,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…, Bn, …分别在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行, 且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是________.

图 1-3

6. (2013· 辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 【答案】D 【解析】因为数列{an}中 d>0,所以{an}是递增数列,则 p1 为真命题.而数 列{an+3nd}也是递增数列,所以 p4 为真命题,故选 D. 7. (2013· 全国卷)等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2 2,且 S1,S2,S4 成等比数列, 求{an}的通项公式.

【随堂巩固】 1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 )

2.数列{an}的通项 an= A.3 10 B.19

n ,则数列{an}中的最大值是( n +90
2

)

1 C. 19

D.

10 60

1 3. 设数列{an}满足: a1=2, an+1=1- , 记数列{an}的前 n 项之积为 Tn, 则 T2 013 的值为( an 1 A.- B.-1 2 1 C. 2 D.2

)

1 解析:由 a2= ,a3=-1,a4=2 可知,数列{an}是周期为 3 的周期数列,从而 T2 013=(- 2 1)671=-1. 答案:B 4.已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn= 2 SnSn-1(n∈N*且 n≥2),则 a81=( A.638 B.639 C.640 D.641 )

5. 已知函数 f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数, 且对任意的正数 x, y 都有 f(x· y)=f(x)+f(y), 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则 an 为( A.2n
-1

)

B.n 3?n-1 D.? ?2?

C.2n-1

1 an ? 6.已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (n∈N*).若 bn+1= (n-λ)? ?an+1?,b1=-λ,且数 an+2 列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为( A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3 )

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 7.已知数列 an: , , , , , , , , , ,…,依它的前 10 项的规律,则 a99+a100 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 的值为( 37 A. 24 ) 7 B. 6 11 7 C. D. 15 15

8.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)· an=(n-1)· 3n 1+3(n∈N*),则数列{an}的通项


公式 an=________.

9.根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有________个点.

7?n 10.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)? ?8? ,则当 an 取得最大值时,n 等于________.

11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2) Sn=4n+b.

12.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2).

(1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 解析:(1)由已知:{an}满足 a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2), ∴a2=a1+4=5,a3=a2+7=12. (2)由已知 an=an-1+3n-2(n≥2)得: an-an-1=3n-2,由递推关系, 得 an-1-an-2=3n-5,…,a3-a2=7,a2-a1=4,

13.已知数列{an}满足:a1=1,2n 1an=an-1(n∈N,n≥2).


(1)求数列{an}的通项公式; (2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于 1 ? 1 000

14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足 b3=3, b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;

bn+2 1 (2)设 cn= (n∈N*),求证:cn+1<cn≤ . 3 an+2

∴bn=3n-6.


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