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【数学】2011年高考数学复习优质课件:函数中的任意和存在性问题_图文

函数中的 任意和存在性问题

引入: 引入:已知函数 f ( x ) = ( 2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x ,

g( x ) = xe 1 ? x , ( a ∈ R, e 是自然对数的底数) 是自然对数的底数)
(1)当 a = 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; 的单调区间;

1 上无零点, 的最小值; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, ) 上无零点,求 a 的最小值; 2
(3)若对任意给定的 x0 ∈ (0, e ],在 (0, e ]上总存在两 ,使得 成立, 个不同的 x i ( i = 1,2 ) 使得 f ( x i ) = g ( x0 ) 成立 , , 取值范围。 求 a 取值范围。

问题: 问题: 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1],
2

函数 g( x ) = 3 x ? 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [?1,0] ,
2 2

k=2 当 k = 6 时,对任意 x1 ∈ [0,1] ,是否存在
成立. x 2 ∈ [?1,0] ,使 g ( x 2 ) = f ( x1 ) 成立.
变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.
f ( x ) 的值域是 g ( x ) 的值域的子集即可. 的值域的子集即可.

问题一: 问题一: 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1],
2

函数 g ( x ) = 3 x ? 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [?1,0] ,
2 2

变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.
变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ ?1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
g ( x ) 的值域与 f ( x ) 的值域的交集非空. 的值域的交集非空.

问题一: 问题一: 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1],
2

函数 g( x ) = 3 x ? 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [?1,0] ,
2 2

变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ ?1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
变式 3:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g ( x 2 ) < f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.

gmin ( x ) < f min ( x )

变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x 2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.
变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ ?1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
变式 3:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g ( x 2 ) < f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.

走进高考: 浙江理) 走进高考: (09 浙江理) 高考 已知函数 f ( x ) = x ? ( k ? k + 1) x + 5 x ? 2 ,
3 2 2

g( x ) = k 2 x 2 + kx + 1 ,其中 k ∈ R .
? g ( x ), x ≥ 0, 设函数 q( x ) = ? ? f ( x ), x < 0.

任意给定的非零实数 存在惟一 是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一 成立? 的非零实数 x 2 ( x 2 ≠ x1 ),使得 q' ( x 2 ) = q' ( x1 ) 成立? 若存在, 的值;若不存在 请说明理由. 若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.

小 结
1.对函数中的存在性与任意性问题 1.对函数中的存在性与任意性问题: 对函数中的存在性与任意性问题: 相等关系转化为函数值域之间的关系, 相等关系转化为函数值域之间的关系, 转化为函数值域之间的关系 不等关系转化为函数的最值大小 不等关系转化为函数的最值大小. 转化为函数的最值大小. 2.解题中要注意数学思想方法的应用 2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与 解题中要注意数学思想方法的应用: 化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

作 业
已知函数 f ( x ) = 2k 2 x + k , x ∈ [0,1] , 函数 g ( x ) = 3 x 2 ? 2( k 2 ? k + 1) x + 5, x ∈ [ ?1,0] ,
自主探究其他任意和存在性问题,并 自主探究其他任意和存在性问题, 总结一般性结论。 总结一般性结论。

问题一: 问题一: 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1] ,
2

函数 g ( x ) = 3 x ? 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [?1,0] ,
2 2

变式 3:存在 x1 ∈ [0,1] , x 2 ∈ [?1,0] ,使得

g ( x 2 ) > f ( x1 ) 成立, 求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
变式 4:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x 2 ) < f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.

gmax ( x ) > f min ( x )

变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x 2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.
变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ ?1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
变式 3:存在 x1 ∈ [0,1] , x 2 ∈ [?1,0] ,使得

g ( x 2 ) > f ( x1 ) 成立, 求 k 的取值范围. 成立, 的取值范围.
变式 4:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [?1,0] , 成立, 的取值范围. 使得 g( x 2 ) < f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.


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