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2015届上学期高三理科数学期中考试题


2014 年秋季湖北省 XX 县实验高中期中考试

高三理科数学试卷
命题人 XXX
考试时间:2014 年 11 月 7 日下午 13:30---15:30 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? {x ? R | y ?

1 }, B ? { y | y ? x ? , x ? R且x ? 0} ,则 x x ?1

1

1 ? x2 ) ? m 有零点,则实数 m 的取值范围是( x?3 ? ? 2? 2? 2 2 A. (0, B. ? 0, C. ? 0, D. (0, ) ) ? ? 2 4 ? 2 ? ? 4 ? 1 3 2 10、 已知三次函数 f ( x) ? ax ? x ? x 在 (0, ??) 上存在极大值点, 则 a 的取值范围是 ( ) 3 A. (0,1) B. ? 0,1? C. (??, 0) D. (??, 0) ? (0,1)
9、函数 f ( x) ? 二、填空题 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、已知 ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,则 12、对于任意的实数 k ,关于 x 的方程 x2 ? 5x ? 4 ? k ? x ? a ? 恒有两个不相等的实数根,则实数

(CR B) ? A ? ( ) A、 (1,??) B、 [?2,2) C、 (?2,2) D、 (1,2) 2 2 2、“ k ? 1 ”是“函数 y ? sin kx ? cos kx ? 1 的最小正周期为 ? ”的( )
A、充分不必要条件 C、充要条件 3、已知角 x 的终边上一点坐标为 (sin B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?

e

1

ln xdx ? _____________.

5? A. 6
4、函数 y ?

5? B. 3

5? 5? , cos ) ,则角 x 的最小正值为( 6 6 11? 2? C. D. 6 3
C. ?0,5?

a 的取值范围为_________. 13.飞机从甲地以北偏西 15 的方向飞行 1400km 到达乙地,再从乙地以南偏东 75 的方向飞行


1400km 到 达 丙 地 . 则 丙 地 相 对 于甲 地 的 方 向 角 为 _________ ; 丙 地 距 甲 地 的 距 离为
_________. 14. 给出下列五个命题: ①命题 "?x ? R, cos x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, cos x ? 0" ; ②函数 f ( x) = log 1 x - 4 的单调递增区间是 ? ??,0? ;

25 ? 5 x 的值域是( ) A. [0, ??) B. ?0,5?

D. ?0,5?

(

2

)

? 5、 在 ?ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD ? 2DB, CD ? ?CA ? ?CB ,则 的值为( ) ? 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 3 6、在 ?ABC 中, AD ? BC ,垂足为 D, AD 在 ?ABC 的内部,且 BD : DC : AD ? 2 : 3 : 6 ,
则 ?BAC 的大小为( )

③ 已知命题 p : ?x ? R,sin(? ? x) ? sin x ;命题 q : ? , ? 均是第一象限的角,且 ? ? ? , 则 sin ? ? sin ? ,则 p ? ?q 是真命题; ④定义在 R 上的函数 f ? x ? 对 于任意 x 的都有 f ( x ? 2) ? ?
2

2

4 ,则 f ? x ? 为周期函数; f ( x)

⑤命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ( x) ? ax ? 2 x ?1 只有一个零点”的逆命题是真命题. 则其正确的命题为__________.(填上所有正确的序号) 15 、 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线

3? A. 4

? B. 3

? C. 4

3? ? D. 或 4 4

? cos2 ? ? 4sin ? 的 焦 点 的 极 坐 标 为 ___________.( 规 定 :
? ?

? 厔0, 0 ? ? 2? )
三、解答题 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、已知函数 f ( x) ? 4sin (
2

7、根据下列条件,能断定 ?ABC 是锐角三角形的是( )

1 5 C. tan A ? tan B ? tan C ? 0
A. sin A ? cos A ? 8、在 ?ABC 中, A.1

B. AB ? BC ? 0 D. b ? 3, c ? 3 3, B ? 30

?

4

? x) ? 2 3 cos 2 x ? 1 ,且

4

?x?

2

.

(1)求 f ( x ) 的最大值及最小值; (2) 若条件 p : f ( x) ? 4sin (
2

?
4

? x) ? 2 3 cos 2 x ? 1,

?
4

?x?

?
2

; 条件 q : f ( x) ? m ? 2, 且

AC ? AB AB
B.3

? 1,

BC ? BA BA
C.5

? 2 ,则 AB 边的长度为( )
D. 9

p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

1 湖北省浠水实验高中期中考试高三数学(理科)试卷

17、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C . (1)求角 A 的大小; (2)若角 B ? , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积,及内切圆半径 r 与外 6 接圆半径 R 的比值.

?

x2 y 2 2 20、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过点 F 1的 a b 2 直线 l 交椭圆 C 于 E , G 两点,且 ?EGF2 的周长为 4 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 C 相交于不同两点 A, B ,且 A, B 两点都在 y 轴的右侧,设 P
为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP(O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.

18、如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的高为 3,底面是边长为 4 且 ?DAB ? 60 的菱形,

AC ? BD ? O, A1C1 ? B1 D1 ? O1 , E 是 O1 A 的中点. (1)求二面角 O1 ? BC ? D 的大小; (2)求点 E 到平面 O1BC 的距离.

21.已知 f ( x) ? x ?1 ? ln x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程; (2)求 f ( x ) 的单调区间及 f ( x ) 的最小值; ( 3 ) 根 据 ( 2 ) 的 结 论 推 出 当 x ?1 时 :

ln x 1 与 1? 的 大 小 关 系 , 并 由 此 比 较 x x

ln 22 ln 32 ? 2 ? 22 3
19、某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4500 元∕台.当笔记本电脑销售价为 6000 元∕台 时,月销售量为 a 台;市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率 为
2 x(0 ? x ? 1) , 那么月销售量减少的百分率为 x .记销售价提高的百分率为 x 时, 公司的月利润 是 y 元. (1)写出月利润 y 与 x 的函数关系式;

?

ln n2 (n ? 1)(2n ? 1) (n ? N ?且n ? 2) 的大小,且证明你的结论. 与 2 n 2(n ? 1)

(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,使得该公司的月利润最大.

2 湖北省浠水实验高中期中考试高三数学(理科)试卷

高三数学参考答案
DABCC CCBCD 11. 1;12. 1 ? a ? 4 ;13.北偏东 45 , 1400km ;14.① ③ ④ ;15. (1,

解法二: (I)? OO1 ? 平面 AC,

?
2

)

16.(1) f ( x) ? 4sin(2 x ?

?
3

) ? 1 ,------3 分

? OO1 ? OA, OO1 ? OB, 又OA ? OB ,建立如图所示的空间直角坐标系, ? 底面 ABCD 是边长为 4, ?DAB ? 600 的菱形, ?OA ? 2 3, OB ? 2 , 则 A(2 3,0,0), B(0,2,0),C(?2 3,0,0) ,

2? ? x ? ,? ? 2 x ? ? ,即 3 ? f ( x) ? 5 ,? f ( x)max ? 5, f ( x)min ? 3 .--------6 分 4 2 6 3 3 (2) f ( x) ? m ? 2,?m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 -----8 分,


?

?

?

?

O1 (0,0,3),O1 B ? (0,2,?3),O1C ? (?2 3,0,?3)
设平面 O1 BC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则 n1 ? O1 B , n1 ? O1C , 即?

p 是 q 的充分条件,?

?

m ? 2?3 m ? 2 ?5

,--------10 分

? ? n1 ? O1 B ? ( x, y, z )(0,2,?3) ? 0 ? ?n1 ? O1C ? ( x, y, z )(?2 3,0,?3) ? 0

解得 3 ? m ? 5 .-----12 分 17.(1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,所以 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin( A ? C) ----3 分

? 2 y ? 3z ? 0, ?? 令z ? 2, 则x ? ? 3, y ? 3 , ?? 2 3x ? 3z ? 0, ? n1 ? (? 3,3,2) , 而平面 AC 的法向量 n 2 ? (0,0,3)
? c o s? n1 , n 2 ?? n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 | ? 6 1 ? -------5 分 3? 4 2
---6 分

?2sin B cos A ? 3sin B, --------4 分
3 ? ? cos A ? . 0 ? A ? ? ,? A ? ------5 分 2 6 ? 2? A?B? ( 2 ) , AC ? BC , C ? . 在 ?AMC 中 , 由 余 弦 定 理 得 : 6 3 2 2 ? B?C ,x 即 得 x ? 2 .----7 分 A C ? M 2C ? 2 A ? C cM ?o C s ? C AA MC , 设 1 2? ? S ?ABC ? x 2 sin ? 3 , ----9 分 2 3 1 1 ? S?ABC ? 3 ? ( AB ? AC ? BC )r ? (2 ? 2 ? 2 3)r 可得 r ? 2 3 ? 3 .---10 分 2 2 BC r 2 3 ?3 ? 4 ,可得 R ? 2,? ? 由 2R ? .---12 分 sin A R 2 18、解法一: (I)过 O 作 OF ? BC 于 F,连接 O1F,? OO1 ? 面 AC, ? BC ? O1 F ,

即 ? n1 n 2 ?? 600 ,故二面角 O1—BC—D 为 600 (II)设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d,

? E 是 O1A 的中点,? EO1 ? (? 3 ,0, ) ,

3 2

3 | (? 3,0, ) ? (? 3,3,2) | | EO1 ? n1 | 3 2 ? ? 则d ? 2 | n1 | (? 3 ) 2 ? 32 ? 2 2
3 ? 点 E 到 O1BC 的距离等于 ----12 分 2 2 19.(1)依题意,销售价提高后变为 6000(1 ? x) 元∕台,月销售量为 a(1 ? x ) 台,则 y ? a(1 ? x2 ) ?6000(1 ? x) ? 4500?, 即 y ? 1500a(?4x3 ? x2 ? 4x ?1)(0 ? x ? 1). ----6 分 1 2 1 2 (2) y? ? 1500a(?12 x ? 2 x ? 4) ,令 y? ? 0 得 x ? 或 x ? ? (舍去).当 0 ? x ? 时, 2 3 2 1 1 3 y? ? 0 ;当 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,故当 x ? 时, y 取最大值.此时销售价为 6000 ? ? 9000 2 2 2
元. 故笔记本电脑的销售价为每台 9000 元时,该公司的月利润最大.-----12 分 20.(1)椭圆 C 的方程为 ( 2 ) 易 知 直 线

? ?O1 FO 是二面角 O1—BC—D 的平面角,? OB ? 2, ?OBF ? 600 , OO1 3 ? ? 3 ? OF ? 3 ,在 Rt?O1OF 中, tan?O1 FO ? OF 3 ? ?O1 FO ? 600 ,即二面角 O1—BC—D 为 600. ---6 分 (II)在 ?O1 AC 中,OE 是 ?O1 AC 的中位线, ? OE // O1C,? OE // 面O1 BC, ? BC ? 面 O1OF , 交线为 O1F,过 O 作 OH ? O1 F 于 H, 则 OH 是点 O 到面 O1 BC ? 面 O1 BC ? 面O1OF , 3 3 的距离,? OH ? . ? 点 E 到面 O1BC 的距离等于 . ---12 分 2 2

x2 ? y 2 ? 1.------5 分 2
AB 的 斜 率 存 在 , 即 t?0 . 设 直 线 AB 的 方 程 为 分

? y ? k(x ? 2 ) , ? 联 立 得 : ----6 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y) , 由 ? x 2 2 ? y ? 1, ? ?2

3 湖北省浠水实验高中期中考试高三数学(理科)试卷

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 .由 ? ? 64k 2 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 ,得 k 2 ?
x1 ? x2 ?

1 ----7 分 2

1 1 (n ? 1)(2n ? 1) ? n ?1? ( ? )? . 2 n ?1 2(n ? 1)

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? , 又 因 为 A, B 两 点 都 在 y 轴 的 右 侧 , 所 以 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 1 1 8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 0, x x ? ? 0 ? k 2 ? . 而 k 2 ? , ? ? k 2 ? .---9 分 , 1 2 2 2 4 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k x ?x 8k 2 , , O A? O B ? t O? P ( x1 ? x2 , y1 ? y2) ? t ( x , y ) 所 以 x? 1 2 ? t t (1 ? 2k 2 ) y ?y 1 ?4k y ? 1 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ---10 分 t t t (1 ? 2k 2 )
点 P 在椭圆 C 上,?
2 2 2

ln 22 ln 32 故 2 ? 2 ? 2 3

ln 22 (n ? 1)(2n ? 1) ? 2 ? , n ? N ? , n ? 2 .------14 分 2 2(n ? 1)

(8k ) (?4k ) ?2 ? 2 ,?16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) .---11 分 2 2 2 2 [t (1 ? 2k )] [t (1 ? 2k )] 2 3 8 8 16k 8 ?1 ? 2 k 2 ? 2, ? ? t 2 ? 8 ? ? 4 -----12 分 ?t 2 ? ? 8? ,又 2 2 2 3 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 6 2 6 ??2 ? t ? ? 或 ? t ? 2, 3 3 2 6 2 6 ) ( , 2) .---13 分 ? 实数 t 的取值范围为 (?2, ? 3 3 1 x ?1 21、解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ?( x) ? 1 ? ? ,所以在 x ? 2 处的切线斜 x x 1 ? , 而 f ( 2 )? ? 1 l n, 2 所 以 在 点 P(2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 为 : 率 为 k ? f ?( 2 ) 2 1 y ?1? l n 2 ? x(? ,整理得 2) x ? 2 y ? 2ln 2 ? 0 为所求的切线方程.-----4 分 2 (2) f ( x) ?| x ? 1| ? ln x ,定义域为 (0, ??) , 1 x ?1 ? 0 ? f ( x) 在 区 间 [1,?? )上 是 递 增 当 x ? 1 时 , f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ?( x) ? 1 ? ? x x
的.----6 分

复习没有巧 弄懂知识点 不作题海游 对手是自己 注意多归纳 训练要落实 书写要整洁

高三数学复习歌 课本离不了 要点当抓住 理清知识线 织成知识网 不受难题扰 不为情绪苦 勤奋出奇迹 学习要自信 纠错反思妙 善思勤联想 笔记定做好 作业要规范 解答当明了 水到渠自成

多问勤求导 落实能力上 不自寻烦恼 态度定命运 举一反三好 步骤不可少 基牢楼自高

1 ? 0 .? f ( x) 在区间 (0,1) 上是递减的.---7 分 x 所以 f ( x ) 的增区间为 [1, ??) ,减区间为 (0,1) ,因此 f ( x)min ? f (1) ? 0 ---9 分 ln x 1 ? 1 ? ,---11 分 (3)由(2)可知,当 x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0 ,即 x x 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 1? 2 ? ? 1? 2 ? n ?1? ( 2 ? 2 ? ? 2 ) 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? n ?1 ? [ ? ? ? ] ? n ?1? ( ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n n ?1 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)
当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ? ln x, f ?( x) ? ?1 ?

4 湖北省浠水实验高中期中考试高三数学(理科)试卷


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