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黑河市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

黑河市第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( A. )

姓名__________

分数__________

1 3

B.

2 3

C. 1 )

D. 2

2. 下列函数中,为奇函数的是( A.y=x+1

B.y=x2 C.y=2x D.y=x|x| )

3. 直线在平面外是指( A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交 C.直线与平面平行

D.直线与平面最多只有一个公共点 4. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( ) A.60° B.45° C.90° D.120° 5. 数列{an}的首项 a1=1,an+1=an+2n,则 a5=( A. B.20 C.21 D.31
2



6. 方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 表示的曲线是( A.一个圆 A.(¬p)∨q B. 两个半圆

) C.两个圆 ) D.半圆

7. 已知复合命题 p∧(¬q)是真命题,则下列命题中也是真命题的是( B.p∨q C.p∧q D.(¬p)∧(¬q)

8. 数列{an}的通项公式为 an=﹣n+p,数列{bn}的通项公式为 bn=2n﹣5,设 cn= 中 c8>cn(n∈N ,n≠8),则实数 p 的取值范围是( A.(11,25) B.(12,16] C.(12,17)
*

,若在数列{cn}

) D.[16,17) )

2+ai 9. 设 a,b∈R,i 为虚数单位,若 =3+bi,则 a-b 为( 1+i A.3 B.2

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精选高中模拟试卷

C.1

D.0 ) C.[﹣2,0)∪( 0,6] D.(0,2] )

10.三个实数 a、b、c 成等比数列,且 a+b+c=6,则 b 的取值范围是( A.[﹣6,2] B.[﹣6,0)∪( 0,2]

11.线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( A.AB?α B.AB?α D.以上都不对 ) D.10001 C.10101 C.由线段 AB 的长短而定 12.十进制数 25 对应的二进制数是( A.11001 B.10011

二、填空题
13.台风“海马”以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其 东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 加油时间 km. 14.某辆汽车每次加油都把油箱加满,如表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油量(升)加油时的累计里程(千米) 35000 2015 年 5 月 1 日 12 35600 2015 年 5 月 15 日48 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 15.函数 f ? x ? ? xe 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是
x

?

?

升. .

16.

如图,P 是直线 x+y-5=0 上的动点,过 P 作圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 的两切线、切点分别为 A、B,当 四边形 PACB 的周长最小时,△ABC 的面积为________. 17.已知双曲线 的一条渐近线方程为 y=x,则实数 m 等于
x



18.【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设函数 f ? x ? ? e

? 2x ?1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数

x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范围是
三、解答题

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19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

20.(本题满分 15 分) 如图, 已知长方形 ABCD 中, 将 ?ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM ? M 为 DC 的中点, AB ? 2 ,AD ? 1 , 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)若 DE ? ? DB(0 ? ? ? 1) ,当二面角 E ? AM ? D 大小为

? 时,求 ? 的值. 3

【命题意图】 本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识, 意在考查空间想象能力和运算求解能力.

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21.已知函数 f(x)=xlnx+ax(a∈R). (Ⅰ)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,求正整数 k 的值. (参考数据:ln2=0.6931, ln3=1.0986)

22.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1)2. (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn=
* (n∈N ),求证:b1+b2+…+bn< .

23.已知曲线 C1:ρ=1,曲线 C2:

(t 为参数)

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(1)求 C1 与 C2 交点的坐标; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′与 C2′,写出 C1′与 C2′的参数方程, C1 与 C2 公共点的个数和 C1′与 C2′公共点的个数是否相同,说明你的理由.

2015-2016 学年安徽省合肥 168 中学高三(上)10 月月考数学试卷(理科)

24.(本小题满分 10 分) 已知圆 P 过点 A(1,0) , B(4,0) . (1)若圆 P 还过点 C (6,?2) ,求圆 P 的方程; (2)若圆心 P 的纵坐标为,求圆 P 的方程.

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黑河市第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】 解析: 本题考查三视图与几何体的体积的计算. 如图该三棱锥是边长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中的一个四面体 ACED1 ,其中 ED1 ? 1 ,∴该三棱锥的体积为 ? ( ? 1? 2) ? 2 ? 2. 【答案】D 【解析】解:由于 y=x+1 为非奇非偶函数,故排除 A; 由于 y=x 为偶函数,故排除 B; 由于 y=2 为非奇非偶函数,故排除 C; 由于 y=x|x|是奇函数,满足条件, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断,属于基础题. 3. 【答案】D 【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交, ∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点. 故选 D. 4. 【答案】A 【解析】解:如图所示,设 AB=2, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(2,2,1). ∴ ∴ ∴ =(﹣2,0,2), = =60°. =(0,1,1), = = ,
x 2

1 3

1 2

2 ,选 B. 3

∴异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 60°. 故选:A.

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【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5. 【答案】C 【解析】解:由 an+1=an+2n,得 an+1﹣an=2n,又 a1=1, ∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1 =2(4+3+2+1)+1=21. 故选:C. 【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题. 6. 【答案】A 【解析】 试题分析:由方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? ,两边平方得 x ? 1 ? ( 1 ? ? y ? 1? ) ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1 ,所
2 2 2 2

2

2

以方程表示的轨迹为一个圆,故选 A. 考点:曲线的方程. 7. 【答案】B 【解析】解:命题 p∧(¬q)是真命题,则 p 为真命题,¬q 也为真命题, 可推出¬p 为假命题,q 为假命题, 故为真命题的是 p∨q, 故选:B. 【点评】本题考查复合命题的真假判断,注意 p∨q 全假时假,p∧q 全真时真. 8. 【答案】C 【解析】解:当 an≤bn 时,cn=an,当 an>bn 时,cn=bn,∴cn 是 an,bn 中的较小者, ∵an=﹣n+p,∴{an}是递减数列, ∵bn=2
n﹣5 ,∴{bn}是递增数列,

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∵c8>cn(n≠8),∴c8 是 cn 的最大者, 则 n=1,2,3,…7,8 时,cn 递增,n=8,9,10,…时,cn 递减, ∴n=1,2,3,…7 时,2 当 n=7
n﹣5 <﹣n+p

总成立,

7 5 时,2 ﹣ <﹣7+p,∴p>11,

n=9,10,11,…时,2n﹣5>﹣n+p 总成立, 当 n=9 时,2
9﹣5 >﹣9+p,成立,∴p<25,

而 c8=a8 或 c8=b8,
3 若 a8≤b8,即 2 ≥p﹣8,∴p≤16,

则 c8=a8=p﹣8,
7 5 ∴p﹣8>b7=2 ﹣ ,∴p>12,

故 12<p≤16, 若 a8>b8,即 p﹣8>2 ∴c8=b8=2 , 那么 c8>c9=a9,即 8>p﹣9, ∴p<17, 故 16<p<17, 综上,12<p<17. 故选:C. 9. 【答案】 2+ai 【解析】选 A.由 =3+bi 得, 1+i 2+ai=(1+i)(3+bi)=3-b+(3+b)i, ∵a,b∈R,
3 8﹣5

,∴p>16,

?2=3-b ? ∴? ,即 a=4,b=1,∴a-b=3(或者由 a=3+b 直接得出 a-b=3),选 A. a = 3 + b ? ?
10.【答案】B 【解析】解:设此等比数列的公比为 q, ∵a+b+c=6, ∴ ∴b= =6, .

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当 q>0 时,

=2,当且仅当 q=1 时取等号,此时 b∈(0,2];

当 q<0 时,b

=﹣6,当且仅当 q=﹣1 时取等号,此时 b∈[﹣6,0).

∴b 的取值范围是[﹣6,0)∪( 0,2]. 故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 11.【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】 本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一, 主要根据定义进行判断, 考查了空间想象能力. 公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上. 12.【答案】A 【解析】解:25÷2=12…1 12÷2=6…0 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故 25(10)=11001(2)故选 A. 【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除 k 取余法”的方法步骤是解答本 题的关键.

二、填空题
13.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km, 由正弦定理可得 AC= 故答案为:25 . =25 km,

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【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键. 14.【答案】 8 升. 【解析】 解: 由表格信息, 得到该车加了 48 升的汽油, 跑了 600 千米, 所以该车每 100 千米平均耗油量 48÷6=8. 故答案是:8. 15.【答案】 2e 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? xex ,? f ' ? x ? ? ex ? xex ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e . 考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 16.【答案】 【解析】解析:圆 x2+y2-2x+4y-4=0 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9. 圆心 C(1,-2),半径为 3,连接 PC,

∴四边形 PACB 的周长为 2(PA+AC) =2 PC2-AC2+2AC=2 PC2-9+6. 当 PC 最小时,四边形 PACB 的周长最小. 此时 PC⊥l. ∴直线 PC 的斜率为 1,即 x-y-3=0,

?x+y-5=0 ? 由? ,解得点 P 的坐标为(4,1), ? ?x-y-3=0
由于圆 C 的圆心为(1,-2),半径为 3,所以两切线 PA,PB 分别与 x 轴平行和 y 轴平行, 即∠ACB=90°, 1 1 9 ∴S△ABC= AC·BC= ×3×3= . 2 2 2 9 即△ABC 的面积为 . 2 9 答案: 2 17.【答案】 4 .

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【解析】解:∵双曲线 又已知一条渐近线方程为 y=x,∴ 故答案为 4.

的渐近线方程为 y= =2,m=4,

x,

【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得渐近线方程为 y= 的关键.

x,是解题

18.【答案】 【解析】试题分 析 :设 的下方.因为 当 时, 时, ,函数 , 故当 ,故当 , 由题设可知存在唯一的整数 x0 ,使得 时, 单调递增;故 且 , 解之得 ,函数 在直线 单调递减; ,而当 , 应填答案

?3 ? ,1? . ? ? 2e ?
考点:函数的图象和性质及导数知识的综合运用. 【易错点晴】 本题以函数存在唯一的整数零点 x0 , 使得 f ? x0 ? ? 0 为背景,设置了一道求函数解析式中的参数 的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也 综合考查学生运用所学知 识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化 为存在唯一的整数 x0 ,使得 据题设建立不等式组求出解之得 在直线 . 的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

三、解答题
19.【答案】 【解析】证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD?平面 PCD 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°. 所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,
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平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

【点评】本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想象能力,逻辑推理 能力,常考题型. 20.【答案】(1)详见解析;(2) ? ? 2 3 ? 3 . 【解析】(1)由于 AB ? 2 , AM ? BM ? 2 ,则 BM ? AM , 又∵平面 ADM ? 平面 ABCM ,平面 ADM ? 平面 ABCM = AM , BM ? 平面 ABCM , ∴ BM ? 平面 ADM ,…………3 分 又∵ AD ? 平面 ADM ,∴有 AD ? BM ;……………6 分

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21.【答案】 【解析】解:(I)a=﹣2 时,f(x)=xlnx﹣2x,则 f′(x)=lnx﹣1. 令 f′(x)=0 得 x=e, 当 0<x<e 时,f′(x)<0,当 x>e 时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间是(0,e),单调递增区间为(e,+∞). (II)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立, 则 xlnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,即 k(x﹣1)<xlnx+ax﹣ax+x 恒成立, 又 x﹣1>0,则 k< 设 h(x)= 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, .

,则 h′(x)=

设 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m′(x)=1﹣ , ∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则 m(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵m(1)=﹣1<0,m(2)=﹣ln2<0,m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4),使得 m(x0)=0, 当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,即 h′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0, ∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, ∴h(x)的最小值 hmin(x)=h(x0)= . =x0.

∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0=x0﹣2.∴h(x0)= ∴k<hmin(x)=x0. ∵3<x0<4, ∴k≤3. ∴k 的值为 1,2,3.

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【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的最值,函数恒成立问题,构造函数求出 h(x)的最 小值是解题关键,属于难题.

22.【答案】
2 【解析】(Ⅰ)解:由 4Sn=(an+1) ,

令 n=1,得 又 4Sn+1=(an+1+1) , ∴ ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,bn= 则 b1+b2+…+bn= = = 23.【答案】 .
2

,即 a1=1, ,整理得:(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0.

∵an>0,∴an+1﹣an=2,则{an}是等差数列,

=



2 2 【解析】解:(1)∵曲线 C1:ρ=1,∴C1 的直角坐标方程为 x +y =1,

∴C1 是以原点为圆心,以 1 为半径的圆, ∵曲线 C2: (t 为参数),∴C2 的普通方程为 x﹣y+ =0,是直线,

联立

,解得 x=﹣

,y= ,

. ).

∴C2 与 C1 只有一个公共点:(﹣ (2)压缩后的参数方程分别为 : (θ 为参数)



(t 为参数),

化为普通方程为:

2 2 :x +4y =1,

:y=



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联立消元得 其判别式 ∴压缩后的直线 与椭圆

, , 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.

【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法,考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断,是基础题,解题 时要认真审题,注意一元二次方程的根的判别式的合理运用. 24.【答案】(1) x 2 ? y 2 ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 ;(2) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 2

25 . 4

【解析】 试题分析:(1)当题设给出圆上三点时,求圆的方程,此时设圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 三点代入,求解圆的方程;(2)AB 的垂直平分线过圆心,所以圆心的横坐标为 段为半径,根据圆心与半径求圆的标准方程. 试题解析:(1)设圆 P 的方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则由已知得

5 ,圆心与圆上任一点连线 2

?12 ? 02 ? D ? 0 ? F ? 0 ? D ? ?5 ? 2 ? 2 ,解得 ? E ? 7 . ?4 ? 0 ? 4 D ? 0 ? F ? 0 ?F ? 4 ?62 ? (?2) 2 ? 6 D ? 2 E ? F ? 0 ? ? 故圆 P 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 . 5 1? 4 5 ? ,故圆心 P( ,2) , (2)由圆的对称性可知,圆心 P 的横坐标为 2 2 2 5 2 5 2 故圆 P 的半径 r ?| AP |? (1 ? ) ? (0 ? 2) ? , 2 2 5 2 25 2 故圆 P 的标准方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ? . 2 4
考点:圆的方程

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