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2018版高中数学选修2-3学案:第一章 计数原理 习题课 二项式定理的应用 含答案 精品

学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式 有关的简单问题.

1.二项式定理及其相关概念

二项式定理

公式(a+b)n=__________________________________,称为二项式定理

二项式系数 通项

Tr+1=____________________

二项式定理 的特例

(1+x)n=Cn0+Cn1x+C2nx2+…+Crnxr+…+Cnnxn

2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性:________________; (2)性质:Crn+1=________+________; (3)二项式系数的最大值:当 n 是偶数时,中间的一项取得最大值,即________最大;当 n 是 奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,即____________最大; (4)二项式系数之和________________________________________________________, 所用方法是________.

类型一 二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题 例 1 (1)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=________. (2)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=________. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点.

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即得. 跟踪训练 1 (x+ax)(2x-1x)5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式的常数项为________.
命题角度2 三项展开式问题
例 2 ??2x+1x+ 2??5 的展开式中的常数项是________.
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化 的方法通常为配方法,因式分解,项与项结合,项与项结合时,要注意合理性和简捷性. 跟踪训练 2 求(x2+3x-4)4 的展开式中 x 的系数.

类型二 二项式系数的综合应用 例 3 已知(12+2x)n. (1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最 大的项的系数; (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于 79,求展开式中系数最大的项.
反思与感悟 解决此类问题,首先要分辨二次项系数与二项展开式的项的系数,其次理解记 忆其有关性质,最后对解决此类问题的方法作下总结,尤其是有关排列组合的计算问题加以 细心.

跟踪训练 3

已知??2x-

1 ?n x?

展开式中二项式系数之和比(2x+xlg

x)2n

展开式中奇数项的二项式

系数之和少 112,

第二个展开式中二项式系数最大的项的值为 1 120,求 x.

1.在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为________.

2.??x2+x12-2??3 的展开式中常数项为________.

3.(x y-y x)4 的展开式中 x3y3 的系数为________.

4.已知??

x-

a ?5 x?

的展开式中含

x32的项的系数为

30,则

a=________.

5.若(x-m)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,其中 a5=56,则 a0+a2+a4+a6+a8=________.

1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即得.

2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通 常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 3.求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入. 4.确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质.

答案精析

知识梳理

1.C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn

2.(1)Cmn =Cnn-m (2)Crn-1 Crn

n (3)C2n

n-1 C2n



n+1 C2n

Crn(r=0,1,…,n)

Crnan-rbr(r=0,1,…n)

(4)Cn0+Cn1+Cn2+…+Crn+…+Cnn=2n

赋值法

题型探究

例 1 (1)120 (2)-1 解析 (1)f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =C36C40+C62C14+C16C24+C06C34=120. (2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5. ∴x2 的系数为 C25+aC15, 则 10+5a=5,解得 a=-1. 跟踪训练 1 40 解析 令 x=1,得(1+a)(2-1)5=2, ∴a=1, 故(x+1x)(2x-1x)5 的展开式中常数项即为(2x-1x)5 的展开式中1x与 x 的系数之和.

(2x-1x)5 的展开式的通项为 Tr+1=Cr525-rx5-2r(-1)r, 令 5-2r=1,得 r=2, ∴展开式中 x 的系数为 C25×25-2×(-1)2=80, 令 5-2r=-1,得 r=3, ∴展开式中1x的系数为 C53×25-3×(-1)3=-40, ∴(x+1x)(2x-1x)5 的展开式中常数项为 80-40=40.

例2

63 2 2

解析 方法一 原式=????2x+1x??+ 2??5,

∴展开式的通项为 Tr1+1



C r1 5

??2x+1x??

5-r1

(

2)

r1 (r1=0,1,2,…,5).

当 r1=5 时,T6=( 2)5=4 2,
当 0≤r1<5 时,??2x+1x?? 5-r1 的展开式的通项公式为

T

? =Cr2

r2+1

5?r1

(

x 2

)5?r1

?r2

(

1 x

)

r2

?

Cr2 5?r1

(

1 )5?r1?r2 2

? x5?r1?2r2

(r2=0,1,2,…,5-r1).

令 5-r1-2r2=0 即 r1+2r2=5.

∵0≤r1<5 且 r1∈Z,∴?????rr12= =12,

或???r1=3, ??r2=1.

∴常数项为 4 2+C15C42??12??2 2+C35C1212×( 2)3

=4

2+152 2+20

2=632

2 .

方法二 原式=???x2+22x2x+2???5=321x5·[(x+ 2)2]5

=321x5·(x+ 2)10.

求原式的展开式中的常数项,转化为求(x+ 2)10 的展开式中含 x5 项的系数,即 C510·( 2)5.

∴所求的常数项为C510·3?2

2?5=632

2 .

跟踪训练 2 解 方法一 (x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=C40(x2+3x)4-C14(x2+3x)3·4+C42(x2+ 3x)2·42-C34(x2+3x)·43+C44·44, 显然,上式中只有第四项中含 x 的项,所以展开式中含 x 的项的系数是-C34·3·43=-768. 方法二 (x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4·(x+4)4=(C04x4-C14x3+C24x2-C34x+C44)(C04x4+ C41x3·4+C24x2·42+C43x·43+C44·44),所以展开式中含 x 的项的系数是-C3444+C3443=-768. 例 3 解 (1)由已知得 2C5n=C4n+C6n, 即 n2-21n+98=0,得 n=7 或 n=14.

当 n=7 时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项,

∵T4=C37(12)4(2x)3=325x3,

T5=C47(12)3(2x)4=70x4,

∴第四项的系数是325,第五项的系数是 70.

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是第八项,它的系数为 C714(12)7×27=3 432.

(2)由 C0n+C1n+C2n=79, 即 n2+n-156=0.

得 n=-13(舍去)或 n=12.

设 Tr+1 项的系数最大, ∵(12+2x)12=(12)12(1+4x)12,
由?????CCr1r122··44rr≥≥CCr1r1-+22 11··44rr- +11, ,
解得 9.4≤r≤10.4. ∵0≤r≤12,r∈N*,∴r=10. ∴展开式中系数最大的项是第 11 项,
即 T11=(12)12·C1102·410·x10 =16 896x10. 跟踪训练 3 解 依题意得 2n-22n-1=-112, 整理得(2n-16)(2n+14)=0,解得 n=4, 所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项. 依题意得 C48(2x)4(xlg x)4=1 120, 化简得 x4(1+lg x)=1, 所以 x=1 或 4(1+lg x)=0,
故所求 x 的值为 1 或110.
当堂训练
1.15 2.20 3.6 4.-6 5.128
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