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广东省惠州市2015届高三上学期第一次调研数学试卷(文科)

广东省惠州市 2015 届高三上学期第一次调研数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求.) 1. (5 分)复数 Z= A.﹣ (其中 i 为虚数单位)的虚部是() B. i C. D.﹣ i

2. (5 分)已知集合 A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则 A∩B=() A.(﹣3,2] B.(﹣3,+∞) C.[2,+∞) D.[﹣3,+∞) 3. (5 分)下列函数在定义域内为奇函数的是() A.y=x+
2

B.y=xsinx

C.y=|x|﹣1

D.y=cosx

4. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1

5. (5 分)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D.(﹣5,﹣7)

B.(﹣3,﹣3)
3 2

C.(3,3)

6. (5 分)若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考 数据如下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984 f (1.375)=﹣0.260 f (1.4375)=0.162 f (1.40625)=﹣0.054 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为() A.1.2 B.1.3 C.1.4
3 2

D.1.5

7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7,则输出的 s 的值为()

A.22

B.16

C.15

D.11 )的部分图象如图所示,则 ω,

8. (5 分)函数 f(x)= φ 的值分别是()

sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|<

A.2,﹣

B.2,﹣

C.4,﹣

D.4,

9. (5 分)若双曲线

的离心率为

,则其渐近线的斜率为()

A.±2

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 围是() A.[﹣1,0)

.若 f(﹣a)+f(a)≤2f(1) ,则 a 的取值范

B.[0,1]

C.[﹣1,1]

D.[﹣2,2]

二、 填空题: (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分.) (一) 必做题 (11~ 13 题)

11. (5 分)计算:log318﹣log32=.

12. (5 分)满足约束条件

的目标函数 z=x+y 的最大值为.

13. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm .

3

三.(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =0,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为.

(几何证明选讲选做题) 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)设函数 f(x)= cosx+ sinx+1

(1)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f(a)= ,且 <α< 时,求 sin(2α+ )的值.

17. (12 分)为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50

(Ⅰ)用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽 6 人,其中男生抽多少人? (Ⅱ)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名女生的概率. 18. (14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED⊥面 ABCD, (1)求证:平面 BCF∥面 AED; (2)若 BF=BD=a,求四棱锥 A﹣BDEF 的体积. .

19. (14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn} 的 b2,b3,b4. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2014 的值.

20. (14 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e=
2 2 2

,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: .

(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0)截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= 个这样的点(不必求出点的坐标) ;若不存在,说明理由.

|PF2|,若存在,指出有几

21. (14 分)已知函数



(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 时,讨论 f(x)的单调性.

广东省惠州市 2015 届高三上学期第一次调研数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求.) 1. (5 分)复数 Z= A.﹣ (其中 i 为虚数单位)的虚部是() B. i C. D.﹣ i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,由虚部的定义可得答案. 解答: 解:复数 Z= = = ,则虚部为 ,

故选:C. 点评: 本题考查复数的基本概念,属基础题. 2. (5 分)已知集合 A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则 A∩B=() A.(﹣3,2] B.(﹣3,+∞) C.[2,+∞) D.[﹣3,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 x 的范围确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中 y=lg(x+3) ,得到 x+3>0,即 x>﹣3, ∴A=(﹣3,+∞) , ∵B=[2,+∞) , ∴A∩B=[2,+∞) . 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)下列函数在定义域内为奇函数的是() A.y=x+ B.y=xsinx C.y=|x|﹣1 D.y=cosx

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质和定义进行判断即可. 解答: 解:A.函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},则 f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) , 则函数是奇函数. B.f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x)为偶函数, C.f(﹣x)=|﹣x|﹣1=|x|﹣1=f(x)为偶函数, D.f(﹣x)=cos(﹣x)=cosx=f(x) ,为偶函数. 故选:A 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性,比较基础.

4. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 考点: 四种命题. 分析: 根据逆否命题的定义,直接写出答案即可,要注意“且”形式的命题的否定. 解答: 解:原命题的条件是““若 x <1”,结论为“﹣1<x<1”, 2 则其逆否命题是:若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1. 故选 D. 点评: 解题时, 要注意原命题的结论“﹣1<x<1”, 是复合命题“且”的形式, 否定时, 要用“或” 形式的符合命题.
2

2

5. (5 分)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D.(﹣5,﹣7)

B.(﹣3,﹣3)

C.(3,3)

考点: 向量的减法及其几何意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的减法运算法则求解即可. 解答: 解:∵向量 ∴ = =(1,2) , =(4,5) ,

=(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3) ;

故选:B. 点评: 本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义,基本知识的考查. 6. (5 分)若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考 数据如下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984 f (1.375)=﹣0.260 f (1.4375)=0.162 f (1.40625)=﹣0.054 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为() A.1.2 B.1.3 C.1.4
3 2 3 2

D.1.5

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 应用题. 分析: 由图中参考数据可得 f(1.43750>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到 0.1 可得答案. 解答: 解:由图中参考数据可得 f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确 到 0.1, 所以近似根为 1.4 故选 C. 点评: 本题本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.在利用二分法求区间 根的问题上,如果题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.

7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7,则输出的 s 的值为()

A.22

B.16

C.15

D.11

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序运行条件,分别进行判断,即可得到结论. 解答: 解:第一次运行,i=1,满足条件 i<7,s=1+0=1.i=2, 第二次运行,i=2,满足条件 i<7,s=1+1=2.i=3, 第三次运行,i=3,满足条件 i<7, s=2+2=4.i=4, 第四次运行,i=4,满足条件 i<7,s=4+3=7.i=5, 第五次运行,i=5,满足条件 i<7,s=7+4=11.i=6, 第六次运行,i=6,满足条件 i<7,s=11+5=16.i=7, 此时 i=7,不满足条件 i<7,程序终止, 输出 s=16, 故选:B. 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,根据运行条件分别进行验证即可得到结论. sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|<

8. (5 分)函数 f(x)= φ 的值分别是()

)的部分图象如图所示,则 ω,

A.2,﹣

B.2,﹣

C.4,﹣

D.4,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象可得 φ 的值. 解答: 解:由图知 ∴T=π,即 =π,解得:ω=2. +φ= ,即 φ=﹣ ,满足|φ|< , , ,代入周期公式求得 ω 的值,再由五点作图的第二点列式求得

由五点作图的第二点可知,2× ∴ω,φ 的值分别是 2,﹣ .

故选:A. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,解答的关键是由五点作图 的某一点列式求解 φ 的值,是基础题.

9. (5 分)若双曲线

的离心率为

,则其渐近线的斜率为()

A.±2

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 的离心率为 ,可得 ,解得 即可.

解答: 解:∵双曲线

的离心率为

,∴

,解得



∴其渐近线的斜率为 . 故选:B. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 围是() A.[﹣1,0)

.若 f(﹣a)+f(a)≤2f(1) ,则 a 的取值范

B.[0,1]

C.[﹣1,1]

D.[﹣2,2]

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据 a 的取值范围,把不等式 f(﹣a)+f(a)≤2f(1)转化为不等式组求解,最后 取并集得答案. 解答: 解:由 ,

则不等式 f(﹣a)+f(a)≤2f(1)等价于: 或



①或



解①得:0≤a≤1; 解②得:﹣1≤a<0. ∴a 的取值范围是[﹣1,1]. 故选:C. 点评: 本题考查分段函数求值及不等式的解法,训练了分类讨论的数学思想方法,属中档 题. 二、 填空题: (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分.) (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)计算:log318﹣log32=2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则求得要求式子的值. 解答: 解:log318﹣log32= =log39=2,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查对数的运算性质的应用,属于基础题.

12. (5 分)满足约束条件

的目标函数 z=x+y 的最大值为 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出平面区域,然后平移直线 y=﹣x,当过点 A 时,直线在 y 轴上 的截距最大,从而求出所求.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

平移直线 y=﹣x,由图易得, 由 得 A( , ) .

平移直线 z=x+y 可得,当 x= ,y= 时, 目标函数 z=x+y 的最大值为 . 故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是简单的线性规划,画出满足约束条件的可行域是关键,属于基 础题. 13. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 24 cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可.

解答: 解:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边分别 为 3,4,侧面的高为 5,被截取的棱锥的高为 3.如图: V=V 棱柱﹣V 棱锥= 故答案为:24. =24(cm )
3

点评: 本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V 椎体= Sh,V 柱体=Sh.考查空间想 象能力. 三.(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =0,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 4 .

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 专题: 直线与圆. 分析: 首先把给出的圆的参数方程和直线的极坐标方程化为普通方程,然后运用数形结合 即可解得答案. 解答: 解:由 ,得 ,两式平方相加得:

①, 由 如图 圆心 C 到直线 的距离为 , ,得: ,即 ②,

所以直线 L 被圆 C 所截得的弦长为|AB|= 故答案为 .



点评: 本题考查了简单曲线的极坐标方程和圆的参数方程,考查了数形结合的解题思想, 考查了灵活处理和解决问题的能力,是中档题. (几何证明选讲选做题) 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)设函数 f(x)= cosx+ sinx+1

(1)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f(a)= ,且 <α< 时,求 sin(2α+ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的关系式,即可求求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间. (2)根据三角函数的诱导公式即可得到结论. 解答: 解: (1)依题意 f(x)= ∵﹣1≤sin(x+ cosx+ sinx+1=sin(x+ )+1≤2, )+1,

)≤1,则∵0≤sin(x+

函数 f(x)的值域是[0,2], 令﹣ +2kπ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得﹣ +2kπ, +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调增区间为[﹣ (2)由 f(a)=sin(α+ ∵ <α< ,∴

+2kπ],k∈Z. )= , )= , )=﹣2× × = .

)+1= ,得 sin(α+

<α+

<π 时,得 cos(α+ )=2sin(α+

∴sin(2α+

)=sin2(α+

)cos(α+

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数求值,考查学生的运算能力,利 用三角函数的诱导公式进行化简即可得到结论.

17. (12 分)为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 (Ⅰ)用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽 6 人,其中男生抽多少人? (Ⅱ)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名女生的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据分层抽样的方法,在喜欢打蓝球的学生中抽 6 人,先计算了抽取比例, 再根据比例即可求出男生应该抽取人数. (Ⅱ)在上述抽取的 6 名学生中,女生的有 2 人,男生 4 人.女生 2 人记 A,B;男生 4 人为 c,d,e,f,列出其一切可能的结果组成的基本事件个数,通过列举得到满足条件事件数,求 出概率. 解答: 解: (Ⅰ)在喜欢打蓝球的学生中抽 6 人,则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20× =4 人. (Ⅱ)在上述抽取的 6 名学生中,女生有 2 人,男生 4 人.女生 2 人记 A,B;男生 4 人为 c, d,e,f, 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: (A,B) 、 (A,c) 、 (A,d) 、 (A,e) 、 (A,f) 、 (B,c) 、 (B,d) 、 (B,e) 、 (B,f) 、 (c,d) 、 (c,e) 、 (c,f) 、 (d,e) 、 (d,f) 、 (e,f)共 15 种情况, 其中恰有 1 名女生情况有: (A,c) 、 (A,d) 、 (A,e) 、 (A,f) 、 (B,c) 、 (B,d) 、 (B,e) 、 (B,f) ,共 8 种情况, 故上述抽取的 6 人中选 2 人,恰有一名女生的概率概率为 P= . ,

点评: 本题是一个统计综合题,包含抽样与概率,本题通过创设情境激发学生学习数学的 情感,帮助培养其严谨治学的态度.

18. (14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED⊥面 ABCD, (1)求证:平面 BCF∥面 AED; (2)若 BF=BD=a,求四棱锥 A﹣BDEF 的体积.



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面平行的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: (1)证明 FB∥平面 AED,BC∥平面 AED,利用面面平行的判定定理可得结论; (2)连接 AC,AC∩BD=O,证明 AO⊥面 BDEF,即可求出四棱锥 A﹣BDEF 的体积. 解答: (1)证明:∵ABCD 是菱形, ∴BC∥AD, ∵BC?面 ADE,AD?面 ADE, ∴BC∥面 ADE…(3 分) ∵BDEF 是矩形,∴BF∥DE, ∵BF?面 ADE,DE?面 ADE, ∴BF∥面 ADE, ∵BC?面 BCF,BF?面 BCF,BC∩BF=B, ∴面 BCF∥面 ADE…(6 分) (2)解:连接 AC,AC∩BD=O ∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD ∵ED⊥面 ABCD,AC?面 ABCD, ∴ED⊥AC, ∵ED,BD?面 BDEF,ED∩BD=D, ∴AO⊥面 BDEF,…(10 分) ∴AO 为四棱锥 A﹣BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, 由 BF=BD=a,则 ∵ ∴ , …(14 分) ,则△ ABD 为等边三角形, ,

点评: 本题考查线面平行、面面平行,考查四棱锥的体积,考查学生分析解决问题的能力, 正确运用线面平行、面面平行是关键. 19. (14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn} 的 b2,b3,b4. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2014 的值.

考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)依题意,a2,a5,a14 成等比数列?(1+4d) =(1+d) (1+13d) ,可求得 d,继 而可求得数列{an}的通项公式;由 b2=a2=3,b3=a5=9,可求得 q 与其首项,从而可得数列{bn} 的通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n﹣1,bn=3
n﹣1

2

,由

+

+ …+

=an+1,可求得 c1=b1a2=3,

=an+1

﹣an=2(n≥2) ,于是可求得数列{cn}的通项公式,继而可求得 c1+c2+…+c2014 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∵a2,a5,a14 成等比数列, 2 ∴(1+4d) =(1+d) (1+13d) , 解得 d=2, ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1; 又 b2=a2=3,b3=a5=9, ∴q=3,b1=1, n﹣1 ∴bn=3 . (Ⅱ)∵ + +…+ =an+1,



=a2,即 c1=b1a2=3,



+

+…+

=an(n≥2) ,



=an+1﹣an=2(n≥2) ,
n﹣1

∴cn=2bn=2?3 ∴cn=

(n≥2) , .
2 2013

∴c1+c2+…+c2014=3+2?3+2?3 +…+2?3 2 2013 =3+2(3+?3 +…+3 ) =3+2?

=3 . 点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式,考查逻辑思维与 综合分析、运算能力,属于难题.

2014

20. (14 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e=
2 2 2

,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: .

(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0)截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= 个这样的点(不必求出点的坐标) ;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;探究型;存在型. 分析: 对第(1)问,由 a =b +c ,
2 2 2 2 2

|PF2|,若存在,指出有几

及 F1 的坐标满足直线 l 的方程,联立此三个方程,

即得 a ,b ,从而得椭圆方程; 对第(2)问,根据弦长,利用垂径定理与勾股定理得方程,可求得圆的半径 r,从而确定圆 的方程,再由条件|PF1|= |PF2|,将点 P 满足的关系式列出,通过此关系式与已知圆 C2 的方

程联系,再探求点 P 的存在性. 解答: 解:在直线 l 的方程 x﹣y+2=0 中,令 y=0,得 x=﹣2,即得 F1(﹣2,0) , ∴c=2,又∵离心率 ∴a =6,b =a ﹣c =2, ∴椭圆 C1 的方程为 . ,
2 2 2 2



(2)∵圆心 C2(3,3)到直线 l:x﹣y+2=0 的距离为 d= 又直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ∴由垂径定理得 故圆 C2 的方程为 , , .

设圆 C2 上存在点 P(x,y) ,满足 ∵F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 则 此方程表示圆心在点 ∴|CC2|= 故有 ,整理得 ,半径是 的圆, ,

,即|PF1|=3|PF2|.



,即两圆相交,有两个公共点.

∴圆 C2 上存在两个不同点 P,满足|PF1|=



点评: 1.求椭圆的方程,关键是确定 a ,b ,常用到关系式

2

2

及 a =b +c ,再找一个关

2

2

2

系式,一般可解出 a,b. 2.本题采用交集思想巧妙地处理了点 P 的存在性.本解法是用圆特有的方式判断两圆的公共 点个数,若联立两曲线的方程,消去 x 或 y,用判别式来判断也可以,其适用范围更广,但计 算量相对大一些.

21. (14 分)已知函数



(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 时,讨论 f(x)的单调性.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=2 处的导函 数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (Ⅱ)利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是: (1)确定 f(x)的定义域; (2) 求导数 fˊ(x) ; (3)在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0; (4)确定函数的单 调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,f(x)=lnx+x+ ﹣1,x∈(0,+∞) , 所以 f′(x)= +1﹣ ,因此,f′(2)=1,

即曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线斜率为 1, 又 f(2)=ln2+2,y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y﹣(ln2+2)=x﹣2, 所以曲线,即 x﹣y+ln2=0; (Ⅱ)因为 ,

所以
2

=

,x∈(0,+∞) ,

令 g(x)=ax ﹣x+1﹣a,x∈(0,+∞) , (1)当 a=0 时,g(x)=﹣x+1,x∈(0,+∞) , 所以,当 x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; (2)当 a≠0 时,由 g(x)=0, 即 ax ﹣x+1﹣a=0,解得 x1=1,x2= ﹣1. ①当 a= 时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立, 此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当 0<a< 时,
2

x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(1, ﹣1)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, x∈( ﹣1,+∞)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; ③当 a<0 时,由于 ﹣1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0 函数 f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0 此时函数 f′(x)>0 函数 f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增 当 a= 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减 当 0<a< 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1, ﹣1)上单调递增; 函数 f(x)在( ﹣1,+∞)上单调递减. 点评: 本小题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和利用 导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.


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