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【新】福建省泉州市泉港区第一中学2017-2018学年高一数学下学期第二次(5月)月考试题

小中高 精品 教案 试卷

泉港一中 2017-2018 学年下学期第二次月考 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题 一、

60 分)

选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的

1.已知 a ? 0, ?1 ? b ? 0, 则下列说法正确的是( )

A.a ? ab ? ab2 D.ab ? ab2 ? a

B.ab2 ? ab ? a

C.ab ? a ? ab2

2.若直线 l 不平行于平面α ,且 l?α ,则 ( A.α 内的所有直线与 l 异面 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 3.若 a ? 1, 则 a ?

)

B.α 内不存在与 l 平行的直线 D.α 内的直线与 l 都相交 )

1 的最小值是( a ?1
B. a

A. 2

C. 3

D.

2 a a ?1
)

4.在△ABC 中,内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( A. 15 4 3 B. 4 3 15 C. 10 D. 11 16 )

5.正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球,则此棱柱的体积是( A.9 3 cm
3

B.54 cm

3

C.27 cm

3

D.18 3 cm

3

6.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图,则在原正方体中(

)

A.AB∥CD

B.AB∥EF

C.CD∥GH

D.AB∥GH )

7. 在正方体EFGH-E1F1G1H1 中,下列四对截面彼此平行的一对是( A.平面FHG1 与平面F1H1G C.平面F1H1H 与平面FHE1 B.平面E1FG1 与平面EGH1 D.平面E1HG1 与平面EH1G

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8.如图是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是(



A.

B.

C.

D.

9..点 E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( A.90° ) B.45° C.30° D.60°

10.已知点 的值 A. (

满足条件 ) B.6

( 为常数) ,若

的最大值为 8,则

C.8

D.不确定 ,R? 1 ,则下列不等式 2 (lg x ? lg y)

11.已知 x ? y ? 1 , P ? lg( 成立的是( )

x? y ) ,, 2

A. R<P<Q

B. P<R<Q

C. Q<R<P

D. R<Q<P

12.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 6 ,且 an? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,若 x 表示不超过 x 的最大整 数(如[1.9]=1) ,则 ? A. 2015

? ?

? 2017 2017 ? ? a2 ? a1

?

2017 ? ?? ( a2017 ?

) D. 2018

B. 2016

C. 2017

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

Sn 是 {an } 的前 n 项 13.已知数列 {an } 是等差数列, 其公差为 1, 且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,
的和,则 S12 =__________. 14.已知: x ? 2 y ? 3 ,且 xy ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 x y

. .

15. 已知一个正四面体的棱长为 2,则它的外接球的体积是

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16. 下列命题正确的有________. ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线 l 上有无数个点不在平面α 内,则 l∥α ; ③若直线 l 与平面α 相交,则 l 与平面α 内的任意直线都是异面直线; ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ⑤若直线 l 与平面α 平行,则 l 与平面α 内的直线平行或异面; ⑥若平面α ∥平面β ,直线 a? α ,直线 b? β ,则直线 a∥b. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128,若 bn=log2an,数列{bn}前 n 项的和为 Sn. (1)若 Sn=35,求 n 的值; (2)求不等式 Sn<2bn 的解集.

18.(本小题满分 12 分) 1 设△ABC 的内角为 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 bcosC=a- c. 2 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,求△ABC 的周长 l 的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 S-ABCD 直观图及其主视图、侧视图如图所示: S

6 A D 6 B C

6 6

(1)、画出俯视图,并求该四棱锥的表面积; (2)、若 E、F 分别是 AB、SC 的中点,求证:EF∥面 SAD

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小中高 精品 教案 试卷

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 y= ax +2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 x -x-a +a<0.
2 2 2

21.(本题满分 12 分) 2 在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2,AD=1,A= (1)求 sin∠ADB; 2 (2)若∠BDC= ,求四边形 ABCD 的面积 3 3

22.(本小题满分 12 分) 1 1 已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,设 bn+2=3log1an(n∈N+),数列{cn}满 4 4 4 足 cn=an·bn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn; 1 2 (3)若 cn≤ m +m-1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

泉港一中 2017-2018 学年下学期第二次月考质量检测 高一数学试题答案 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 9 D 10 A 11 D 12 A

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13.54

14. 16

15.

4 根号 13

16. ①⑤

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128,若 bn=log2an,数列{bn}前 n 项的和为 Sn. (1)若 Sn=35,求 n 的值; (2)求不等式 Sn<2bn 的解集. 【解】 (1)由 a2=a1q=2,a5=a1q =128 得 q =64, 1 1 n-1 n-1 2n-3 ∴q=4,a1= ,∴an=a1q = ·4 =2 , 2 2 ∴bn=log2an=log22
2n-3 4 3

=2n-3.

∵bn+1-bn=[2(n+1)-3]-(2n-3)=2, ∴{b1}是以 b1=-1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴Sn= -1+2n- 2

n

=35,n -2n-35=0,

2

(n-7)(n+5)=0,即 n=7. (2)∵Sn-2bn=n -2n-2(2n-3)=n -6n+6<0, ∴3- 3<n<3+ 3,又∵n∈N+, ∴n=2,3,4,即所求不等式的解集为{2,3,4}. 18.(本题满分 12 分)设△ABC 的内角为 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 bcosC=a 1 - c. 2 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,求△ABC 的周长 l 的最大值. 1 a +b -c 1 [解析] 解法一:(1)∵bcosc=a- c,∴由余弦定理,得 b· = a- c, 2 2ab 2 ∴a +b -c =2a -ac, ∴a +c -b =ac,∴2accosB=ac, 1 π ∴cosB= ,∵B∈(0,π ),∴B= . 2 3 (2)l=a+b+c=a+c+1,由(1)知 a +c -1=ac, ∴(a+c) -1=3ac, 3 2 2 ∴(a+c) =1+3ac≤1+ (a+c) , 4 ∴(a+c) ≤4,∴a+c≤2. 故△ABC 的周长 l 的最大值为 3. 1 1 解法二:(1)∵bcosC=a- c,∴由正弦定理,得 sinBcosC=sinA- sinC, 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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小中高 精品 教案 试卷

1 1 ∴sinBcosC=sin(B+C)- sinC=sinBcosC+cosBsinC- sinC, 2 2 1 ∴cosBsinC= sinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴ocsB= . 2 π ∵B∈(0,π ),∴B= . 3 π 2π (2)∵B= ,∴A+C= . 3 3

b a bsinA 2 3 2 3 由正弦定理,得 = ,∴a= = sinA,同理可得 c= sinC, sinB sinA sinB 3 3
∴a+c= 2π cos sinA) 3 π = 3sinA+cosA=2sin(A+ ). 6 2π π π 5π ∵0<A< ,∴ <A+ < , 3 6 6 6 1 π ∴ <sin(A+ )≤1, 2 6 π ∴1<2sin(A+ )≤2, 6 ∴△ABC 的周长 l=a+b+c∈(2,3],故△ABC 的周长 l 的最大值为 3. 2 3 2 3 2π 2 3 2π (sinA + sinC) = [sinA + sin( - A)] = (sinA + sin cosA - 3 3 3 3 3

20.(本小题满分 12 分)已知函数 y= ax +2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 x -x-a +a<0. 【解】 (1)∵函数 y= ax +2ax+1的定义域为 R,∴ax +2ax+1≥0 恒成立. ①当 a=0 时,1≥0,不等式恒成立; ②当 a≠0 时,则?
? ?a>0, ?Δ =4a -4a≤0, ?
2 2 2 2 2

2

解得 0<a≤1.

综上可知,a 的取值范围是[0,1].
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(2)由 x -x-a +a<0,得(x-a)[x-(1-a)]<0. ∵0≤a≤1, 1 ∴①当 1-a>a,即 0≤a< 时,a<x<1-a; 2 1 ? 1?2 ②当 1-a=a,即 a= 时,?x- ? <0,不等式无解; 2 ? 2? 1 ③当 1-a<a,即 <a≤1 时,1-a<x<a. 2 1 综上,当 0≤a< 时,原不等式的解集为(a,1-a); 2 1 当 a= 时,原不等式的解集为?; 2 1 当 <a≤1 时,原不等式的解集为(1-a,a). 2 1 1 22.(本小题满分 12 分)已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,设 bn+2 4 4 =3log1an(n∈N+),数列{cn}满足 cn=an·bn.
4

2

2

(1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn; 1 2 (3)若 cn≤ m +m-1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

?1?n 【解】 (1)证明:由题意知,an=? ? (n∈N+), ?4?
∵bn=3log1an-2,b1=3log1a1-2=1,
4 4

∴bn+1-bn=3log1an+1-3log1an=3log1
4 4

an+1 =3log1q=3, a n 4 4

∴数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列.

?1?n (2)由(1)知,an=? ? ,bn=3n-2(n∈N+), ?4? ?1?n ∴cn=(3n-2)×? ? (n∈N+), ?4?
1 ?1?2 ?1?3 ?1?n-1 ?1?n ∴Sn=1× +4×? ? +7×? ? +…+(3n-5)×? ? +(3n-2)×? ? ; 4 ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1?2 ?1?3 ?1?4 ?1?n ?1?n+1 于是 Sn=1×? ? +4×? ? +7×? ? +…+(3n-5)×? ? +(3n-2)×? ? ,两式相减 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 得

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3 1 ??1? ?1? 1 ?1? ? ?1? ?1? Sn= +3?? ?2+? ?3+…+? ?n?-(3n-2)×? ?n+1= -(3n+2)×? ?n+1. 4 4 4 4 ??4? ?4? 2 ? ?? ? ? ?4? 2 12n+8 ?1?n+1 ∴Sn= - ×? ? (n∈N+). 3 3 ?4?

?1?n+1 ?1?n ?1?n+1 (3)∵cn+1-cn=(3n+1)·? ? -(3n-2)·? ? =9(1-n)·? ? (n∈N+), ?4? ?4? ?4?
1 ∴当 n=1 时,c2=c1= , 4 当 n≥2 时,cn+1<cn,即 c1=c2>c3>c4>…>cn, 1 ∴当 n=1 或 2 时,cn 取得最大值是 . 4 1 2 又 cn≤ m +m-1 对一切正整数 n 恒成立, 4 1 2 1 ∴ m +m-1≥ , 4 4 即 m2+4m-5≥0,解得 m≥1 或 m≤-5.
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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