数列中简易数论知识的应用

高中数学教 与学 　

２ ０ １ ３亟 　

数列中简易数论知识的应用　
马 　进 　
（ 江苏省 通州 高级 中学 ， ２ ２ ６ ３ ５ １ ） 　

数列是高 中数 学 的重要 内容． 在每 年 的　 高考 中 ， 以数列为 载体 ， 综 合运 用数列 知识解　 决有关 不定方程 的整数解 或整 数 的整 除等 问　 题已成 为新 的热 点． 这类 问 题对 数学 思 维 能　 力和探索能 力 提 出 了更 高 的要 求． 下 面 通过　 几例作初 步探讨． 　
一
一

评注　 此 题 是 比较 典 型 的 二元不 定 方　 程， 其解法是解不定 方程 的典型方 法 ， 即先将　 等式 的一边 分解 为 质 因数 的乘 积 ， 再 利用 另　 边两个数奇偶性 相反 和具有确 定 的大小关　 系等条件进行分类讨论求解． 　
二、 整 除的性质　

、

整数 的分解　

此类 问题需要 先将条 件转化 为关 于整数　 ｎ的不定方程 ， 由于构成不定方程 中的元素均　 为整数 ， 可 以利用整除 的性质求解． 　

此 类问题往往 需要 先将条 件转化 为关 于　 整数 ｎ的不定方程 ， 再将不定方程 中的整数分　

解为质因数 的乘 积 （ 多项 式分 解 为若 干个 因　 式的乘积 ） ， 再进行分类讨论求解． 　
例ｌ 　 由连续 的正 整数组 成的数 列之 和　
为 １ 　 ０ ０ ０ ， 则这样的数列一共 有— — 个． 　
７ ． 　

例２ 设｛ ｇ 　 ｝ 是公差不为零的等差数列 ， 　

ｓ 　 为其前 ｎ 项和， 满足 ａ ； ＋ ｎ ； ＝ｎ 　 ＋ ａ 　 ， Ｓ 　＝ 　
（ １ ）求数列 ｛ ａ 　 ｝ 的通项公式及 前 ｎ项 和　
Ｓ 　； 　

解　 设 这个数 列共有 ｎ项 ， 其 中首项 为　
口 ， 则这个数列的和为　 Ｉ ／ ， （ ２ ａ＋ｎ一１ ） ， 且　
‘　

（ ２ ）试求所 有的正整数 ｍ， 使得　
ａｍ＋ ２ 　

为　

÷（ ２ ａ＋ｎ一１ ）＝１ 　 ０ ０ ０ ， 　
‘　
?
．

数列 ｛ ａ 　 ｝中的项． 　
解　 （ １ ） 设公差为 ｄ ， 又　
２ 　 ２ 　 ２ 　 ２ 　

．

ｎ （ ２ ａ ＋ｎ一１ ） ＝２ 　 ０ ０ ０ ＝２ 　? ５ 　 ． 　 ①　

口２ —

０５

＝

０４ —

０３ ? 　

又 ｇ和 ｎ 均为整数 ＇ ． ． ． ２ ａ一１ 为奇数 ， 故ｎ 　

由等差数列性 质 ， 可得　
一

与２ ｎ＋ｎ一１的奇偶性相反． 由 ① 式知 ， ２ 　 整　
除ｎ 与２ ８＋ｎ一１中的一个． 　

３ ｄ （ ａ ４＋ｇ ３ ）＝ｄ （ ａ ４＋ａ ３ ） ． 　
２ 。ｌ＋ ５ ｄ ＝０ ． 　

因为 ｄ≠ ０ ， 所以ａ ４＋ａ ３＝０ ， 即 　

因为 ｎ＜２ ａ＋ ｎ一１ ， 从而 ｎ 的值 只能为 １ ， 　
５， ５ 　， ２ 　 ． 　

又由 ． ｓ ，：７ ， 得７ 口 　 ＋７ ＿　 ｄ：７ 解得　
，

这里 ｎ 不能取 ５ 　 ， 否则 ２ ｎ＋ｎ一１＝２ 　＝ 　
１ ６ ＜ ｎ ＝５ 　 ， 矛盾． 　
ａ ， ＝ 一 ５， ｄ ：２ ． 　

将 ｎ与 ２ ０＋ｎ一１的可 能取值列表如下 ： 　
ｎ 　 ｌ 　 ５ 　 ５２ 　 ２ 　

所以｛ ａ 　 ｝ 的通项公式 为 ｇ 　＝２ ｎ一７ ， 前ｎ 　
项和 Ｓ 　＝ｎ 　一６ ｎ ． 　

２ ａ ＋ｎ一１ 　 ２ 　 ．５ 　 ｎ 　 １（ ） ０ ｏ 　

２ ４． ５２ 　 １ ９ ８ 　

２ 　 ．５ 　 ２ ８ 　

５ 　 ３ 　 ５ ５ 　

由上表可知 ， 所求数列共有 ３个． 　
?

ｌ ８? 　

第 　 朝 　

高中数学教 与学 　
２ｍ 一 ３ ＋ 　— 　
厶 ｒ ｎ 一　

＝

一６ ． 　

?

’ 等 口 ｎ 一 １ ＋ ３ ＝ 一 　 。 ｎ — ｌ ＋ 　一 ３ 　　 一　 “ 一 ｒ 　 ， ’ 　
‘ ． ?

因 为２ ｍ一 ３ 是奇数 ， 所 以２ ｍ一 ３ 可取的值　
为 ±１ ， ｍ ＝２ 或 １ ． 　
Ｑ　

．

．

数列 ｛ ｎ 　＋３ ｝ 是等 比数列． 　

（ ２） ‘ ． ‘ ａ １＝Ｓ ｌ＝２ ａ 　 Ｊ一３ ， ． ． ． ０ ｌ＝ ３ ． 　

当， 孔＝２ 时， ２ ｍ一 ３＋ 　
二ｍ — Ｊ　

一 ６＝３ ， ２× 　

由（ １ ） 知ｎ 　＋３＝ （ ａ 。 ＋３ ）? ２ 　 ～， 　
‘ ． ．

０ 　 ＝ ３ ?２ 　一 ３ ． 　

５—７ ：３ ， 　
Ⅱ

是数列 ｛ 。 　 ｝ 中的项 ； 　
ｍ＋２ 　
０　

（ ３ ） 设存在 ｓ ， Ｐ ， ｒ∈ Ｎ 　（ ｓ＜Ｐ ＜ ｒ ） ， 促　
ａ　 ， ａ， ，

成等差数列 ， 则２ Ⅱ 　＝ａ 　 ＋ａ 　 ， 即　
＝ １＋２ 一． 　 （ 　 ） 　

当 ｍ ＝１ 时， ２ ｍ一 ３＋ 　
二， 儿 一 Ｄ 　

一 ６＝一ｌ ５ ， 　

２ （ ３? ２ 　 一 ３ ）＝（ ３? ２ 　 一 ３ ）＋（ ３? ２ 　 一 ３ ） ， 　
。 ． ．

数列 ｛ ｏ 　 ｝ 中的最小一项是 一５ ， 不符合． 　 所 以满足 条件 的正整数 ｍ ＝２ ． 　 评 注　 整除 的性 质有很 多 ， 其 中最 为基　 本 的一个是 ： 若 ｍ， ｎ ， Ｐ是 整数 ， 并 且 ｎ＝ ｍ ｐ ， 　 则Ｐ 一 定是 ｎ的约数． 而本题 中 ， 因为 ｏ 　＝２ ｎ 　
一

２ 　 ＝２ 　＋２ 　 ， ２ 　

‘ ．

。 Ｓ ， Ｐ， ｒ∈ Ｎ　， 且 ｓ＜Ｐ ＜ ｒ ， ． ? ． ２ 　 “、 ２ 一　

为偶数 ， 而 １＋２ … 为奇数 ， 　 所 以（ 　 ）式不可 能成 立 ， 故 不存 在满 足　 条件 的三项． 　 评 注　 本题属 于探索性 问题 ， 涉及 到数　 论 中的奇数 与 偶数 问题 ， 注 意体 会解 题 中的　 逻辑 推 理 过程． 在 本 题 中， 一 些 学 生 在 得 到　 ２ 　 ；２ 　 ＋２ 　 后没有在两边 同除以 ２ 　 ， 不 能将　
问题继续解 下 去 ， 这是 由于 缺乏 整体 观 念造　 成 的． 　
四、 有 理 数 与 无 理 数 问题　

７是大于或等 于 一５的整数组 成 的数 列 ， 因　
ａ ｍ＋ ２ 　

此， 要使 得　

为 数列 ｛ 。 　 ｝中的项 ， 　
ｏ　

ａｍ＋ ２ 　

必须是整数 ， 因而 ２ ｍ一 ３＋ 　 旦　 一 ６ 是整数． 　
厶 Ｈ　 一 ３　

又 因为２ ｍ一 ３ 是奇数 ， 所 以２ ｍ一 ３ 可取 的值为　
±１ ． 　

三、 奇数与偶数 问题　

关 于有 理 数与 无理 数 ， 有 这 样一 条 简单　 性质 ： 若 ｍ， ｎ ， Ｐ是整数 （ 其 中Ｐ ＞０ ， 　 是无理　 数） ， 并且 ｍ ＋ｒ ／ ， 　 ＝０ ， 则 ｍ ＝／ ７ ， ＝０ ． 　 例４ 　 已知等差数列 ｛ ｏ 　 ｝的前 １ ／ ， 项和为　
Ｓ 　 ， ０ １＝１＋√ ２， ｌ Ｓ ３＝９＋３ 　 ． 　

先将条件转化为关于 ｒ ／ ， 的不定方程 ， 再将　 不定方 程两 边 的数 分解 为 质 因数 的乘 积 （ 多　 项式分 解为若 干个 因式 的乘积 ） ， 再利用某 些　 项是 奇数或偶 数 的定性 分 析 ， 结 合 数 的运 算　 性质 （ 如奇数加 奇数为偶 数 ； 奇数 乘奇数 为奇　

（ １ ）求数列 ｛ ｎ 　 ｝的通 项 ｏ 　与前 ｎ项 和　
Ｓ 　； 　

数； 偶 数乘 任何整数为偶数等 ） 对 变量 的取值　 范围进行缩 小 ， 结合 分 类讨 论 或 枚举 法 使 问　
题得 以解决． 　

（ ２ ） 设６ 　

， 求证 ： ｛ ｔ ｙ ， ｌ ｛ ｂ 　 ｝ 中任意不　

例３ 　 数列 ｛ ａ 　 ｝的前 ｎ项和 为 ． ｓ 　 ， Ｓ 　＝ 　
２ ｎ 　一３ ｎ （ ｎ∈ Ｎ 　） ． 　

同的三项都不可能构成等 比数列． 　
解　 （ １ ） 　 ． ’ ｓ ，＝９＋３ 　 ’ ． ． ． ａ 　＝３＋ 　 ， 　
’ ． ．

（ １ ） 证明： 数列 ｛ ｏ 　＋３ ｝ 是等 比数列 ； 　 （ ２ ） 求 数列 ｛ ａ 　 ｝的通项公式 ａ 　 ； 　

ｄ ＝ ２． 　

．

’ａ 　 ＝ １＋√ ２＋（ ｌ ／ ７ ， 一１ ）? ２ 　
＝ ２ ｎ＋ 　
．　 一 　

（ ３ ） 数列 ｛ ｎ 　 ｝中是 否 存 在三 项 ， 它 们可　
以构成等差数列 ？ 若存在， 请 求 出一组适 合条　

一 １， 　

件的项 ； 若不存在 ， 请说 明理 由． 　
解　 （ １ ） 由Ｓ 　＝２ ａ 　 一 ３ ｎ ， 得Ｓ 　 一 　＝２ ａ 　
一

ｉ ！± 　 ± 　 ± 　 二 　２ 　
２ 　
ｎ． 　

… 　 。 。 　
＝ １ ７ ， 　 ＋　

３ （ ｎ一１ ） （ ｎ≥ ２ ） ， 贝 ４ 有　
０ 　 ：２ ａ 　 ＋３ （ ｔ ／ ， ≥２ ） ． 　

（ ２ ）’ ? ’ ６ 　＝ 　

ｎ＋ 　 ， 假设数列　 ｝ 　
?

】 ９? 　

高中数学教与学 　
存在不同的三项 ｂ 　 ， ６ 。 ， ｂ 　成等 比数列 ， 则　
参考答案　
１ ．３ ６ ４． 　

２ ０ １ ３童 　

ｂ ： ＝ｂ 　 ? ６ 　 ， 　
即
．

（ ｇ＋ 　 ） 　＝（ ｐ＋ 　 ）? （ ｒ Ｒ＋ 　 ） ， 　
?

２ ． （ １ ）设 等差 数列 ｛ ６ ／ ， 　 ｝的公差 为 ｄ ．由　

．

ｑ 　一ｐ ｍ ＋√ 　 （ ２ ｑ—Ｐ—ｍ） ＝０ ． 　

已 知， 得』 。 ｓ ＋ 。 　 ， ＝ ３ ４ ， 　。 ｔ ＋ ８ ｄ＝ 　 ７ ， 　
Ｌ ３ ａ ， ＝ ９． 　 Ｌ 口 　＋ ｄ ＝ ３ ， 　

又因为 ｍ， Ｐ ， ｑ 均为整数 ， 　 是无理数 ， 　
ｑ ２
? ． 　
一

解得 Ⅱ ，＝１ ， ｄ ＝２ ． 　 故０ 　＝２ ｎ一１ ， Ｓ 　＝ｎ 　 ． 　

＝ ｐｍ
ｆ

，
ｍ ， 　

１

?

．

．

（ Ｐ—ｍ） 　＝０ ， 得 Ｐ＝ｍ， 与Ｐ≠ｍ矛盾． 　 数列 ｛ ６ 　 ｝ 中任意不 同的三项都不可能　

（ ２ ）由（ １ ） ， 知　 ＝ 　
６ 　 ， ６ 　成 等差数列 ， 必须　
２ ｂ ２＝ ｂ １＋ ６ 　， 　

． 要使 ６ 　 ， 　

?

．

．

构成等 比数列． 　 评注　 本题中 ， 根据条件列 出关 于 ｍ， Ｐ ， 　 ｑ的不定方程 ｑ 　一ｐ ｍ＋ √ 　 （ ２ ｑ—Ｐ—ｍ）＝０ ， 　
再 由 ｍ， Ｐ ， ｑ 均为整数 ， 　 是无理数 ， 进 而得出　

即

２× 　

＝ 　

＋ 　

， 　

ｑ 　一 ｐ ｍ ＝０ 且２ ｑ— Ｐ—ｍ ＝０ ， 即 Ｐ＝ｍ， 这与　
Ｐ ≠ ｍ矛 盾 ． 　 练 习　

整理得 　 ｍ： ３＋ 　＿ ． 　
因为 ｍ， ｔ 为正整数 ， 所以 ｔ 只能取 ２ ， ３ ， ５ ． 　 当 ｔ＝２时 ， ｍ ：７ ； 当 ｔ＝３ 时， ｍ ＝５ ； 当 　
ｔ＝５时 ， ｍ ＝４ ． 　

１ ． 设等差数列 ｛ ｎ 　 ｝ 满足 ： 公差 ｄ 　 Ｅ 　 Ｎ 　， ｎ 　 ∈Ｎ 　， 且｛ ｏ 　 ｝中的任意两项之 和也是该数列　
中的一项 ， 若口 ．：３ 　 ， 则 ｄ的所有可能取值之　
和为一 　

故存在正整数 ｔ ， 使得 ６ 。 ， ６ 　 ， ６ 　成 等差数　
列． 　

３ ． （ １ ）因为　 ＝７ ， 所以 ０ 　 、 ｏ ， 、 ｏ 　 成等 比　

２ ． 设等差数列 ｛ ａ 　 ｝的前 Ｔ ／ ， 项 和为 ． ｓ 　 ， 且　
。 ５＋ｔ ｌ ， ｌ ３＝３ ４， Ｓ ３＝９ ． 　

数列． 又｛ ｏ 　 ｝ 是公差 ｔ ｚ≠０的等差数列 ， 所以 　
（ ０ １ ＋２ ｄ ） 　 ＝ｎ ｌ （ 口 ｌ ＋６ ｄ ） ， 　 整理得 ０ 。＝２ ｄ ． 　

（ １ ）求数列 ｛ ｏ 　 ｝的通项公式及前 ｎ项和　
公式 ； 　

又０ ．＝２ ， 所 以 ｄ＝１ ． 　
６ ２ 　
Ｔ 　 ＾　

（ ２ ）设 数 列 ｛ ６ 　 ｝的 通 项 公 式 为 ６ 　＝ 　
，

０ ３ 　

０ １＋ ２ｄ 　
， ’ 　

～　 ， ｑ 　
６ 　 ＝６ ｌ ｑ 　 一 　 ＝２ 　 ． 　

■　 ， 　

问 ：是 否 存 在 正 整数　， 使得 ｂ ， ， ６ 　 ， 　

所以口 　：０ ｌ ＋（ Ｈ一１ ） ｄ ＝凡＋１ ， 　

６ 　 （ ｍ≥３ ， ｍ 　 Ｅ 　 Ｎ） 成 等差数列 ？ 若存在 ， 求出 　 ｔ 和 ｍ的值 ； 若不存在 ， 请说明理 由． 　 ３ ． 已知各项均为正数 的等差数列 ｛ ｎ 　 ｝ 的　 公差 ｄ不等于 ０ ， 设ｏ 　 、 ａ 　 、 ｎ 　 是公 比为 ｑ的等　 比数列 ｛ ６ 　 ｝ 的前三项． 　 （ １ ） 若　 ＝７ ， ｎ ．＝２ ． 　 （ ｉ ）求 数列 ｛ ０ 　 ６ 　 ｝的前 Ｔ ， Ｉ 项和 Ｔ ； 　

（ ｉ ）用错 位相 减法 可 求得 ｛ ａ ￣ ｂ 　 ｝的前 １ １ ， 　
项 和 为　 ＝Ｔ ／ ， ×２ 　 ； 　

（ ｉ ｉ ）因为新的数列 ｛ ｃ 　 ｝ 的前 ２ 　 一Ｔ Ｉ ， 一１ 项　

和为数列 ｛ 口 　 ｝的前 ２ 　一１项 的和 减去 数 列　
｛ ｂ 　 ｝ 前 ｎ 项 的和 ， 所 以　
一

！ 　 ： 二 　２ 　 ｉ 　± 　 ： ２一 　
２ 　

二！ ） 　
２—１ 　

（ ｉ ｉ ）将数列 ｛ ｏ 　 ｝ 与｛ ６ 　 ｝中相 同 的项 去　 掉， 剩下 的项依 次构成新 的数列 ｛ ｃ 　 ｝ ， 设其前　 ／ １ ， 项 和为 ． ｓ 　 ， 求． ｓ ２ 　一 。 一２ 　。 ＋３? ２ 　 的值 ； 　 （ ２ ） 若存在 ／ ＇ ｒ ｔ＞． ｊ ｝ ， ｍ ∈Ｎ 　使得 ｎ ｌ 、 ｎ ３ 、 　 ａ 　 、 ｔ Ｔ ， 　成等 比数列 ， 求证 ： ｜ ｊ ｝ 为奇数． 　

￣ ＇ ２ ＂ － ｎ － Ｉ 　
＝

（ ２ 　一１ ） （ ２ 　 一１ ） ． 　

?
． ．

Ｓ ２ 　 一 ｉ— －２ 　 “ 一 。＋ ３ ? ２ 　 一 　＝ １ ． 　

（ ２ ）由（ Ｇ ， ＋ ２ ｄ ） 　＝口 　 ［ ０ 　＋（ 　一１ ） ］ ｄ ， 　
整理得 ４ ｄ 　 ＝口 ． ｄ （ 　一 ５ ） ． 　

第Ｊ御 　

高中教学教 与学 　

求数歹 ｊ Ｉ 通 项 公 式 的 几种 基 本 方 法　
秦承 林 曹 建兰 　
（ 江苏省 泰兴 市第 四高级 中学 ， ２ ２ ５ ４ １ 　 １ ） 　

在数列求通项 的有关 问题 中 ， 经 常 遇到　 既非等差数 列 ， 又 非 等 比数 列 的数 列 求通 项　
问题 ， 同学 们 常常感 到 比较 棘手． 这里， 介 绍　 求数列通项 公式 的几 种基 本 方 法 ， 这些 方 法　
往往 给人耳 目一新 的感 觉． 　
一

以 ２为首项 ， ２为公差 的等差数列 ， 　
’ ． ．

ａ 　＝２＋２ （ ｎ一１ ）＝２ ｎ ． 　

例 ２ 数列 ｛ ａ 　 ｝ 中前 ｎ 项 的和 Ｓ 　＝２ ｎ— 　 ａ 　 ， 求数列 的通项公式 ａ 　 ． 　
解　 。 ． ‘ ａ ｌ＝Ｓ ｌ＝ ２一ａ 　。 ． ａ ｌ＝ １ ． 　

、

构造等 差数 列或等比数列　

当 ｎ≥２时 ， 　
ａ 　＝ Ｓ 　一Ｓ 　Ｉ 　
一

由于等差数 列与 等 比数 列 的通项公 式容　
易给 出， 对 于一些 递推数 列 问题 ， 若 能构 造等　

＝

２ ｎ—ａ 　一［ ２ （ ｎ一１ ）一ａ 　 一 １ ］ 　

差数列或等 比数 列 ， 无 疑是 一 种行 之 有效 的　
构造方法． 　
．

＝ 一ａ 　＋２ ＋ ａ 　１ 　
’ 　 ＝

例１ 　 设各项均为正数 的数列 ｛ ａ 　 ｝ 的前　

丢 　 。 ＋ １ ， ａ 　 一 ２ ＝ 　 １ （ 　 。 一 ２ ） ． 　

ｎ 项和为 ｓ 　 ， 对于任意正整数 ｎ ， 都有等式 ａ ： ＋ 　
２ ａ 　＝４ Ｓ 　 成立 ， 求数列 的通项公式 ａ 　 ． 　
解 ． ． ． 　
ａ　 一
．
一

令ｂ 　＝ａ 　一２ ， 则　

６ 　＝ ÷６ 　， 且ｂ １ ＝１ — ２＝ 一 １ ， 　
? ． ．

＋ ２ ａ ｎ＝４ Ｓ ｎ 　

Ｌ 。 ： 一 ｌ ＋２ ａ 　 一 １＝４ Ｓ 　， 　
’ ．

｛ ６ 　 ｝ 是 以 一１ 为首项 ， 　 为公 比的等 比 　

口２ 　

Ｉ＋ ２Ⅱ 　 一２ａ 　１ 　
一

数列 ， 　
一

＝４ （ Ｓ 　一Ｓ 　 一 。 ）＝４ ａ 　 ， 　
‘
． ．

（ ａ 　＋ａ 　 一 １ ） （ ａ 　一ａ 　 一 ｌ 一２ ）＝０ ． 　
一

一 × （ 　 ‘ ＝ 一 （ 　 。 ． 　

‘

．

‘ａ　 ＋ ａ　

ｌ

≠ ０＇ ． ． ．ａ 　一 ａ 　 ｌ ＝ ２． 　
一

? ． ． 　

又由ａ 　 ＋２ ａ ｌ ＝４ ａ １ ， 得ａ ｌ ＝２ ． 即｛ ａ 　 ｝ 是　

２ 一 （ 　 ． 　

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ｏ ０ｏ ｏ ｏ ￣ ０ｏ … ●… ‘ ●… ￣ ０ｏ ｏ “ ●… ? ●… － ●… ? ●? ｏ ｏ ? ●… ｏ ０… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ’ ●… ’ ●… ? ●… ’ ●… ? ●　

因为 ｄ≠ｏ ， 所以ｄ： 　
ａ ３ 　
‘ ? ?

， 　
一３ 　

ａ 。 （ ｍ 一１ ）? （ 　 一５ ） 　
口ｌ ＋ — — — — 　 — 一 ， 　

ａ １． ４ － ２ ｄ 　

ｑ 　

—　 一　 丁

。 　

．

‘ ． 。 － ＋ 　

（ 　 ） 　 ． 　

因为存 在 ｍ ＞Ｊ ｊ ｝ ， ｍ 　 Ｅ 　 Ｎ’ ， 使得 ａ １ 、 ａ ３ 、 ａ 　

又ａ ，＞０ ， 所以有　

。 　 成 等 比 数 列 ， 所 以 。 　 ： 。 　 ｇ ３ ： 。 　 （ 　 ｝） ， ． 　
又 因在正项 等差数列 ｛ ａ 　 ｝中， 　
ａ 　＝ａ ｌ ＋（ ， ｎ一１ ） ｄ 　

２ ［ ４＋（ ， ｎ一１ ） （ 　 一５ ） ］＝ （ Ｉ ｊ ｝ 一３ ） 　 ． 　

因为 ２ ［ ４＋（ ｍ一１ ） （ 后一 ５ ） ］ 是偶数 ， 所以 　
（ ｜ ｉ ｝ 一３ ） 　也是偶数 ， 从而 Ｊ ｝ 一３为偶数 ， 所以 后 　 为奇数． 　
?

２１ ?