高中数学教 与学
2 0 1 3亟
数列中简易数论知识的应用
马 进
( 江苏省 通州 高级 中学 , 2 2 6 3 5 1 )
数列是高 中数 学 的重要 内容. 在每 年 的 高考 中 , 以数列为 载体 , 综 合运 用数列 知识解 决有关 不定方程 的整数解 或整 数 的整 除等 问 题已成 为新 的热 点. 这类 问 题对 数学 思 维 能 力和探索能 力 提 出 了更 高 的要 求. 下 面 通过 几例作初 步探讨.
一
一
评注 此 题 是 比较 典 型 的 二元不 定 方 程, 其解法是解不定 方程 的典型方 法 , 即先将 等式 的一边 分解 为 质 因数 的乘 积 , 再 利用 另 边两个数奇偶性 相反 和具有确 定 的大小关 系等条件进行分类讨论求解.
二、 整 除的性质
、
整数 的分解
此类 问题需要 先将条 件转化 为关 于整数 n的不定方程 , 由于构成不定方程 中的元素均 为整数 , 可 以利用整除 的性质求解.
此 类问题往往 需要 先将条 件转化 为关 于 整数 n的不定方程 , 再将不定方程 中的整数分
解为质因数 的乘 积 ( 多项 式分 解 为若 干个 因 式的乘积 ) , 再进行分类讨论求解.
例l 由连续 的正 整数组 成的数 列之 和
为 1 0 0 0 , 则这样的数列一共 有— — 个.
7 .
例2 设{ g } 是公差不为零的等差数列 ,
s 为其前 n 项和, 满足 a ; + n ; =n + a , S =
( 1 )求数列 { a } 的通项公式及 前 n项 和
S ;
解 设 这个数 列共有 n项 , 其 中首项 为
口 , 则这个数列的和为 I / , ( 2 a+n一1 ) , 且
‘
( 2 )试求所 有的正整数 m, 使得
am+ 2
为
÷( 2 a+n一1 )=1 0 0 0 ,
‘
?
.
数列 { a }中的项.
解 ( 1 ) 设公差为 d , 又
2 2 2 2
.
n ( 2 a +n一1 ) =2 0 0 0 =2 ? 5 . ①
口2 —
05
=
04 —
03 ?
又 g和 n 均为整数 ' . . . 2 a一1 为奇数 , 故n
由等差数列性 质 , 可得
一
与2 n+n一1的奇偶性相反. 由 ① 式知 , 2 整
除n 与2 8+n一1中的一个.
3 d ( a 4+g 3 )=d ( a 4+a 3 ) .
2 。l+ 5 d =0 .
因为 d≠ 0 , 所以a 4+a 3=0 , 即
因为 n<2 a+ n一1 , 从而 n 的值 只能为 1 ,
5, 5 , 2 .
又由 . s ,:7 , 得7 口 +7 _ d:7 解得
,
这里 n 不能取 5 , 否则 2 n+n一1=2 =
1 6 < n =5 , 矛盾.
a , = 一 5, d :2 .
将 n与 2 0+n一1的可 能取值列表如下 :
n l 5 52 2
所以{ a } 的通项公式 为 g =2 n一7 , 前n
项和 S =n 一6 n .
2 a +n一1 2 .5 n 1( ) 0 o
2 4. 52 1 9 8
2 .5 2 8
5 3 5 5
由上表可知 , 所求数列共有 3个.
?
l 8?
第 朝
高中数学教 与学
2m 一 3 + —
厶 r n 一
=
一6 .
?
’ 等 口 n 一 1 + 3 = 一 。 n — l + 一 3 一 “ 一 r , ’
‘ . ?
因 为2 m一 3 是奇数 , 所 以2 m一 3 可取的值
为 ±1 , m =2 或 1 .
Q
.
.
数列 { n +3 } 是等 比数列.
( 2) ‘ . ‘ a 1=S l=2 a J一3 , . . . 0 l= 3 .
当, 孔=2 时, 2 m一 3+
二m — J
一 6=3 , 2×
由( 1 ) 知n +3= ( a 。 +3 )? 2 ~,
‘ . .
0 = 3 ?2 一 3 .
5—7 :3 ,
Ⅱ
是数列 { 。 } 中的项 ;
m+2
0
( 3 ) 设存在 s , P , r∈ N ( s<P < r ) , 促
a , a, ,
成等差数列 , 则2 Ⅱ =a +a , 即
= 1+2 一. ( )
当 m =1 时, 2 m一 3+
二, 儿 一 D
一 6=一l 5 ,
2 ( 3? 2 一 3 )=( 3? 2 一 3 )+( 3? 2 一 3 ) ,
。 . .
数列 { o } 中的最小一项是 一5 , 不符合. 所 以满足 条件 的正整数 m =2 . 评 注 整除 的性 质有很 多 , 其 中最 为基 本 的一个是 : 若 m, n , P是 整数 , 并 且 n= m p , 则P 一 定是 n的约数. 而本题 中 , 因为 o =2 n
一
2 =2 +2 , 2
‘ .
。 S , P, r∈ N , 且 s<P < r , . ? . 2 “、 2 一
为偶数 , 而 1+2 … 为奇数 , 所 以( )式不可 能成 立 , 故 不存 在满 足 条件 的三项. 评 注 本题属 于探索性 问题 , 涉及 到数 论 中的奇数 与 偶数 问题 , 注 意体 会解 题 中的 逻辑 推 理 过程. 在 本 题 中, 一 些 学 生 在 得 到 2 ;2 +2 后没有在两边 同除以 2 , 不 能将
问题继续解 下 去 , 这是 由于 缺乏 整体 观 念造 成 的.
四、 有 理 数 与 无 理 数 问题
7是大于或等 于 一5的整数组 成 的数 列 , 因
a m+ 2
此, 要使 得
为 数列 { 。 }中的项 ,
o
am+ 2
必须是整数 , 因而 2 m一 3+ 旦 一 6 是整数.
厶 H 一 3
又 因为2 m一 3 是奇数 , 所 以2 m一 3 可取 的值为
±1 .
三、 奇数与偶数 问题
关 于有 理 数与 无理 数 , 有 这 样一 条 简单 性质 : 若 m, n , P是整数 ( 其 中P >0 , 是无理 数) , 并且 m +r / , =0 , 则 m =/ 7 , =0 . 例4 已知等差数列 { o }的前 1 / , 项和为
S , 0 1=1+√ 2, l S 3=9+3 .
先将条件转化为关于 r / , 的不定方程 , 再将 不定方 程两 边 的数 分解 为 质 因数 的乘 积 ( 多 项式分 解为若 干个 因式 的乘积 ) , 再利用某 些 项是 奇数或偶 数 的定性 分 析 , 结 合 数 的运 算 性质 ( 如奇数加 奇数为偶 数 ; 奇数 乘奇数 为奇
( 1 )求数列 { n }的通 项 o 与前 n项 和
S ;
数; 偶 数乘 任何整数为偶数等 ) 对 变量 的取值 范围进行缩 小 , 结合 分 类讨 论 或 枚举 法 使 问
题得 以解决.
( 2 ) 设6
, 求证 : { t y , l { b } 中任意不
例3 数列 { a }的前 n项和 为 . s , S =
2 n 一3 n ( n∈ N ) .
同的三项都不可能构成等 比数列.
解 ( 1 ) . ’ s ,=9+3 ’ . . . a =3+ ,
’ . .
( 1 ) 证明: 数列 { o +3 } 是等 比数列 ; ( 2 ) 求 数列 { a }的通项公式 a ;
d = 2.
.
’a = 1+√ 2+( l / 7 , 一1 )? 2
= 2 n+
. 一
( 3 ) 数列 { n }中是 否 存 在三 项 , 它 们可
以构成等差数列 ? 若存在, 请 求 出一组适 合条
一 1,
件的项 ; 若不存在 , 请说 明理 由.
解 ( 1 ) 由S =2 a 一 3 n , 得S 一 =2 a
一
i !± ± ± 二 2
2
n.
… 。 。
= 1 7 , +
3 ( n一1 ) ( n≥ 2 ) , 贝 4 有
0 :2 a +3 ( t / , ≥2 ) .
( 2 )’ ? ’ 6 =
n+ , 假设数列 }
?
】 9?
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存在不同的三项 b , 6 。 , b 成等 比数列 , 则
参考答案
1 .3 6 4.
2 0 1 3童
b : =b ? 6 ,
即
.
( g+ ) =( p+ )? ( r R+ ) ,
?
2 . ( 1 )设 等差 数列 { 6 / , }的公差 为 d .由
.
q 一p m +√ ( 2 q—P—m) =0 .
已 知, 得』 。 s + 。 , = 3 4 , 。 t + 8 d= 7 ,
L 3 a , = 9. L 口 + d = 3 ,
又因为 m, P , q 均为整数 , 是无理数 ,
q 2
? .
一
解得 Ⅱ ,=1 , d =2 . 故0 =2 n一1 , S =n .
= pm
f
,
m ,
1
?
.
.
( P—m) =0 , 得 P=m, 与P≠m矛盾. 数列 { 6 } 中任意不 同的三项都不可能
( 2 )由( 1 ) , 知 =
6 , 6 成 等差数列 , 必须
2 b 2= b 1+ 6 ,
. 要使 6 ,
?
.
.
构成等 比数列. 评注 本题中 , 根据条件列 出关 于 m, P , q的不定方程 q 一p m+ √ ( 2 q—P—m)=0 ,
再 由 m, P , q 均为整数 , 是无理数 , 进 而得出
即
2×
=
+
,
q 一 p m =0 且2 q— P—m =0 , 即 P=m, 这与
P ≠ m矛 盾 . 练 习
整理得 m: 3+ _ .
因为 m, t 为正整数 , 所以 t 只能取 2 , 3 , 5 . 当 t=2时 , m :7 ; 当 t=3 时, m =5 ; 当
t=5时 , m =4 .
1 . 设等差数列 { n } 满足 : 公差 d E N , n ∈N , 且{ o }中的任意两项之 和也是该数列
中的一项 , 若口 .:3 , 则 d的所有可能取值之
和为一
故存在正整数 t , 使得 6 。 , 6 , 6 成 等差数
列.
3 . ( 1 )因为 =7 , 所以 0 、 o , 、 o 成等 比
2 . 设等差数列 { a }的前 T / , 项 和为 . s , 且
。 5+t l , l 3=3 4, S 3=9 .
数列. 又{ o } 是公差 t z≠0的等差数列 , 所以
( 0 1 +2 d ) =n l ( 口 l +6 d ) , 整理得 0 。=2 d .
( 1 )求数列 { o }的通项公式及前 n项和
公式 ;
又0 .=2 , 所 以 d=1 .
6 2
T ^
( 2 )设 数 列 { 6 }的 通 项 公 式 为 6 =
,
0 3
0 1+ 2d
, ’
~ , q
6 =6 l q 一 =2 .
■ ,
问 :是 否 存 在 正 整数 , 使得 b , , 6 ,
所以口 :0 l +( H一1 ) d =凡+1 ,
6 ( m≥3 , m E N) 成 等差数列 ? 若存在 , 求出 t 和 m的值 ; 若不存在 , 请说明理 由. 3 . 已知各项均为正数 的等差数列 { n } 的 公差 d不等于 0 , 设o 、 a 、 n 是公 比为 q的等 比数列 { 6 } 的前三项. ( 1 ) 若 =7 , n .=2 . ( i )求 数列 { 0 6 }的前 T , I 项和 T ;
( i )用错 位相 减法 可 求得 { a  ̄ b }的前 1 1 ,
项 和 为 =T / , ×2 ;
( i i )因为新的数列 { c } 的前 2 一T I , 一1 项
和为数列 { 口 }的前 2 一1项 的和 减去 数 列
{ b } 前 n 项 的和 , 所 以
一
! : 二 2 i ± : 2一
2
二! )
2—1
( i i )将数列 { o } 与{ 6 }中相 同 的项 去 掉, 剩下 的项依 次构成新 的数列 { c } , 设其前 / 1 , 项 和为 . s , 求. s 2 一 。 一2 。 +3? 2 的值 ; ( 2 ) 若存在 / ' r t>. j } , m ∈N 使得 n l 、 n 3 、 a 、 t T , 成等 比数列 , 求证 : | j } 为奇数.
 ̄ ' 2 " - n - I
=
( 2 一1 ) ( 2 一1 ) .
?
. .
S 2 一 i— -2 “ 一 。+ 3 ? 2 一 = 1 .
( 2 )由( G , + 2 d ) =口 [ 0 +( 一1 ) ] d ,
整理得 4 d =口 . d ( 一 5 ) .
第J御
高中教学教 与学
求数歹 j I 通 项 公 式 的 几种 基 本 方 法
秦承 林 曹 建兰
( 江苏省 泰兴 市第 四高级 中学 , 2 2 5 4 1 1 )
在数列求通项 的有关 问题 中 , 经 常 遇到 既非等差数 列 , 又 非 等 比数 列 的数 列 求通 项
问题 , 同学 们 常常感 到 比较 棘手. 这里, 介 绍 求数列通项 公式 的几 种基 本 方 法 , 这些 方 法
往往 给人耳 目一新 的感 觉.
一
以 2为首项 , 2为公差 的等差数列 ,
’ . .
a =2+2 ( n一1 )=2 n .
例 2 数列 { a } 中前 n 项 的和 S =2 n— a , 求数列 的通项公式 a .
解 。 . ‘ a l=S l= 2一a 。 . a l= 1 .
、
构造等 差数 列或等比数列
当 n≥2时 ,
a = S 一S I
一
由于等差数 列与 等 比数 列 的通项公 式容
易给 出, 对 于一些 递推数 列 问题 , 若 能构 造等
=
2 n—a 一[ 2 ( n一1 )一a 一 1 ]
差数列或等 比数 列 , 无 疑是 一 种行 之 有效 的
构造方法.
.
= 一a +2 + a 1
’ =
例1 设各项均为正数 的数列 { a } 的前
丢 。 + 1 , a 一 2 = 1 ( 。 一 2 ) .
n 项和为 s , 对于任意正整数 n , 都有等式 a : +
2 a =4 S 成立 , 求数列 的通项公式 a .
解 . . .
a 一
.
一
令b =a 一2 , 则
6 = ÷6 , 且b 1 =1 — 2= 一 1 ,
? . .
+ 2 a n=4 S n
L 。 : 一 l +2 a 一 1=4 S ,
’ .
{ 6 } 是 以 一1 为首项 , 为公 比的等 比
口2
I+ 2Ⅱ 一2a 1
一
数列 ,
一
=4 ( S 一S 一 。 )=4 a ,
‘
. .
( a +a 一 1 ) ( a 一a 一 l 一2 )=0 .
一
一 × ( ‘ = 一 ( 。 .
‘
.
‘a + a
l
≠ 0' . . .a 一 a l = 2.
一
? . .
又由a +2 a l =4 a 1 , 得a l =2 . 即{ a } 是
2 一 ( .
? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… o 0o o o  ̄ 0o … ●… ‘ ●…  ̄ 0o o “ ●… ? ●… - ●… ? ●? o o ? ●… o 0… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ’ ●… ’ ●… ? ●… ’ ●… ? ●
因为 d≠o , 所以d:
a 3
‘ ? ?
,
一3
a 。 ( m 一1 )? ( 一5 )
口l + — — — — — 一 ,
a 1. 4 - 2 d
q
— 一 丁
。
.
‘ . 。 - +
( ) .
因为存 在 m >J j } , m E N’ , 使得 a 1 、 a 3 、 a
又a ,>0 , 所以有
。 成 等 比 数 列 , 所 以 。 : 。 g 3 : 。 ( }) , .
又 因在正项 等差数列 { a }中,
a =a l +( , n一1 ) d
2 [ 4+( , n一1 ) ( 一5 ) ]= ( I j } 一3 ) .
因为 2 [ 4+( m一1 ) ( 后一 5 ) ] 是偶数 , 所以
( | i } 一3 ) 也是偶数 , 从而 J } 一3为偶数 , 所以 后 为奇数.
?
21 ?