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数列中简易数论知识的应用


高中数学教 与学  

2 0 1 3亟  

数列中简易数论知识的应用 
马  进  
( 江苏省 通州 高级 中学 , 2 2 6 3 5 1 )  

数列是高 中数 学 的重要 内容. 在每 年 的  高考 中 , 以数列为 载体 , 综 合运 用数列 知识解  决有关 不定方程 的整数解 或整 数 的整 除等 问  题已成 为新 的热 点. 这类 问 题对 数学 思 维 能  力和探索能 力 提 出 了更 高 的要 求. 下 面 通过  几例作初 步探讨.  



评注  此 题 是 比较 典 型 的 二元不 定 方  程, 其解法是解不定 方程 的典型方 法 , 即先将  等式 的一边 分解 为 质 因数 的乘 积 , 再 利用 另  边两个数奇偶性 相反 和具有确 定 的大小关  系等条件进行分类讨论求解.  
二、 整 除的性质 



整数 的分解 

此类 问题需要 先将条 件转化 为关 于整数  n的不定方程 , 由于构成不定方程 中的元素均  为整数 , 可 以利用整除 的性质求解.  

此 类问题往往 需要 先将条 件转化 为关 于  整数 n的不定方程 , 再将不定方程 中的整数分 

解为质因数 的乘 积 ( 多项 式分 解 为若 干个 因  式的乘积 ) , 再进行分类讨论求解.  
例l   由连续 的正 整数组 成的数 列之 和 
为 1   0 0 0 , 则这样的数列一共 有— — 个.  
7 .  

例2 设{ g   } 是公差不为零的等差数列 ,  

s   为其前 n 项和, 满足 a ; + n ; =n   + a   , S  =  
( 1 )求数列 { a   } 的通项公式及 前 n项 和 
S  ;  

解  设 这个数 列共有 n项 , 其 中首项 为 
口 , 则这个数列的和为  I / , ( 2 a+n一1 ) , 且 
‘ 

( 2 )试求所 有的正整数 m, 使得 
am+ 2  

为 

÷( 2 a+n一1 )=1   0 0 0 ,  
‘ 
?


数列 { a   }中的项.  
解  ( 1 ) 设公差为 d , 又 
2   2   2   2  



n ( 2 a +n一1 ) =2   0 0 0 =2  ? 5   .   ① 

口2 —

05



04 —

03 ?  

又 g和 n 均为整数 ' . . . 2 a一1 为奇数 , 故n  

由等差数列性 质 , 可得 


与2 n+n一1的奇偶性相反. 由 ① 式知 , 2   整 
除n 与2 8+n一1中的一个.  

3 d ( a 4+g 3 )=d ( a 4+a 3 ) .  
2 。l+ 5 d =0 .  

因为 d≠ 0 , 所以a 4+a 3=0 , 即  

因为 n<2 a+ n一1 , 从而 n 的值 只能为 1 ,  
5, 5  , 2   .  

又由 . s ,:7 , 得7 口   +7 _  d:7 解得 


这里 n 不能取 5   , 否则 2 n+n一1=2  =  
1 6 < n =5   , 矛盾.  
a , = 一 5, d :2 .  

将 n与 2 0+n一1的可 能取值列表如下 :  
n   l   5   52   2  

所以{ a   } 的通项公式 为 g  =2 n一7 , 前n  
项和 S  =n  一6 n .  

2 a +n一1   2   .5   n   1( ) 0 o  

2 4. 52   1 9 8  

2   .5   2 8  

5   3   5 5  

由上表可知 , 所求数列共有 3个.  
?

l 8?  

第   朝  

高中数学教 与学  
2m 一 3 +  —  
厶 r n 一 



一6 .  

?

’ 等 口 n 一 1 + 3 = 一   。 n — l +  一 3    一  “ 一 r   , ’  
‘ . ?

因 为2 m一 3 是奇数 , 所 以2 m一 3 可取的值 
为 ±1 , m =2 或 1 .  
Q 





数列 { n  +3 } 是等 比数列.  

( 2) ‘ . ‘ a 1=S l=2 a   J一3 , . . . 0 l= 3 .  

当, 孔=2 时, 2 m一 3+  
二m — J 

一 6=3 , 2×  

由( 1 ) 知n  +3= ( a 。 +3 )? 2   ~,  
‘ . .

0   = 3 ?2  一 3 .  

5—7 :3 ,  


是数列 { 。   } 中的项 ;  
m+2  
0 

( 3 ) 设存在 s , P , r∈ N  ( s<P < r ) , 促 
a  , a, ,

成等差数列 , 则2 Ⅱ  =a   +a   , 即 
= 1+2 一.   (   )  

当 m =1 时, 2 m一 3+  
二, 儿 一 D  

一 6=一l 5 ,  

2 ( 3? 2   一 3 )=( 3? 2   一 3 )+( 3? 2   一 3 ) ,  
。 . .

数列 { o   } 中的最小一项是 一5 , 不符合.   所 以满足 条件 的正整数 m =2 .   评 注  整除 的性 质有很 多 , 其 中最 为基  本 的一个是 : 若 m, n , P是 整数 , 并 且 n= m p ,   则P 一 定是 n的约数. 而本题 中 , 因为 o  =2 n  


2   =2  +2   , 2  

‘ .

。 S , P, r∈ N , 且 s<P < r , . ? . 2   “、 2 一 

为偶数 , 而 1+2 … 为奇数 ,   所 以(   )式不可 能成 立 , 故 不存 在满 足  条件 的三项.   评 注  本题属 于探索性 问题 , 涉及 到数  论 中的奇数 与 偶数 问题 , 注 意体 会解 题 中的  逻辑 推 理 过程. 在 本 题 中, 一 些 学 生 在 得 到  2   ;2   +2   后没有在两边 同除以 2   , 不 能将 
问题继续解 下 去 , 这是 由于 缺乏 整体 观 念造  成 的.  
四、 有 理 数 与 无 理 数 问题 

7是大于或等 于 一5的整数组 成 的数 列 , 因 
a m+ 2  

此, 要使 得 

为 数列 { 。   }中的项 ,  
o 

am+ 2  

必须是整数 , 因而 2 m一 3+   旦  一 6 是整数.  
厶 H  一 3 

又 因为2 m一 3 是奇数 , 所 以2 m一 3 可取 的值为 
±1 .  

三、 奇数与偶数 问题 

关 于有 理 数与 无理 数 , 有 这 样一 条 简单  性质 : 若 m, n , P是整数 ( 其 中P >0 ,   是无理  数) , 并且 m +r / ,   =0 , 则 m =/ 7 , =0 .   例4   已知等差数列 { o   }的前 1 / , 项和为 
S   , 0 1=1+√ 2, l S 3=9+3   .  

先将条件转化为关于 r / , 的不定方程 , 再将  不定方 程两 边 的数 分解 为 质 因数 的乘 积 ( 多  项式分 解为若 干个 因式 的乘积 ) , 再利用某 些  项是 奇数或偶 数 的定性 分 析 , 结 合 数 的运 算  性质 ( 如奇数加 奇数为偶 数 ; 奇数 乘奇数 为奇 

( 1 )求数列 { n   }的通 项 o  与前 n项 和 
S  ;  

数; 偶 数乘 任何整数为偶数等 ) 对 变量 的取值  范围进行缩 小 , 结合 分 类讨 论 或 枚举 法 使 问 
题得 以解决.  

( 2 ) 设6  

, 求证 : { t y , l { b   } 中任意不 

例3   数列 { a   }的前 n项和 为 . s   , S  =  
2 n  一3 n ( n∈ N  ) .  

同的三项都不可能构成等 比数列.  
解  ( 1 )   . ’ s ,=9+3   ’ . . . a  =3+   ,  
’ . .

( 1 ) 证明: 数列 { o  +3 } 是等 比数列 ;   ( 2 ) 求 数列 { a   }的通项公式 a   ;  

d = 2.  



’a   = 1+√ 2+( l / 7 , 一1 )? 2  
= 2 n+  
.  一  

( 3 ) 数列 { n   }中是 否 存 在三 项 , 它 们可 
以构成等差数列 ? 若存在, 请 求 出一组适 合条 

一 1,  

件的项 ; 若不存在 , 请说 明理 由.  
解  ( 1 ) 由S  =2 a   一 3 n , 得S   一  =2 a  


i !±   ±   ±   二  2  
2  
n.  

…   。 。  
= 1 7 ,   + 

3 ( n一1 ) ( n≥ 2 ) , 贝 4 有 
0   :2 a   +3 ( t / , ≥2 ) .  

( 2 )’ ? ’ 6  =  

n+   , 假设数列  }  
?

】 9?  

高中数学教与学  
存在不同的三项 b   , 6 。 , b  成等 比数列 , 则 
参考答案 
1 .3 6 4.  

2 0 1 3童  

b : =b   ? 6   ,  



( g+   )  =( p+   )? ( r R+   ) ,  
?

2 . ( 1 )设 等差 数列 { 6 / ,   }的公差 为 d .由 



q  一p m +√   ( 2 q—P—m) =0 .  

已 知, 得』 。 s + 。   , = 3 4 ,  。 t + 8 d=   7 ,  
L 3 a , = 9.   L 口  + d = 3 ,  

又因为 m, P , q 均为整数 ,   是无理数 ,  
q 2
? .  


解得 Ⅱ ,=1 , d =2 .   故0  =2 n一1 , S  =n   .  

= pm



m ,  



?





( P—m)  =0 , 得 P=m, 与P≠m矛盾.   数列 { 6   } 中任意不 同的三项都不可能 

( 2 )由( 1 ) , 知  =  
6   , 6  成 等差数列 , 必须 
2 b 2= b 1+ 6  ,  

. 要使 6   ,  

?





构成等 比数列.   评注  本题中 , 根据条件列 出关 于 m, P ,   q的不定方程 q  一p m+ √   ( 2 q—P—m)=0 ,  
再 由 m, P , q 均为整数 ,   是无理数 , 进 而得出 



2×  

=  

+  

,  

q  一 p m =0 且2 q— P—m =0 , 即 P=m, 这与 
P ≠ m矛 盾 .   练 习 

整理得   m: 3+  _ .  
因为 m, t 为正整数 , 所以 t 只能取 2 , 3 , 5 .   当 t=2时 , m :7 ; 当 t=3 时, m =5 ; 当  
t=5时 , m =4 .  

1 . 设等差数列 { n   } 满足 : 公差 d   E   N  , n   ∈N  , 且{ o   }中的任意两项之 和也是该数列 
中的一项 , 若口 .:3   , 则 d的所有可能取值之 
和为一  

故存在正整数 t , 使得 6 。 , 6   , 6  成 等差数 
列.  

3 . ( 1 )因为  =7 , 所以 0   、 o , 、 o   成等 比 

2 . 设等差数列 { a   }的前 T / , 项 和为 . s   , 且 
。 5+t l , l 3=3 4, S 3=9 .  

数列. 又{ o   } 是公差 t z≠0的等差数列 , 所以  
( 0 1 +2 d )   =n l ( 口 l +6 d ) ,   整理得 0 。=2 d .  

( 1 )求数列 { o   }的通项公式及前 n项和 
公式 ;  

又0 .=2 , 所 以 d=1 .  
6 2  
T   ^ 

( 2 )设 数 列 { 6   }的 通 项 公 式 为 6  =  


0 3  

0 1+ 2d  
, ’  

~  , q  
6   =6 l q   一   =2   .  

■  ,  

问 :是 否 存 在 正 整数 , 使得 b , , 6   ,  

所以口  :0 l +( H一1 ) d =凡+1 ,  

6   ( m≥3 , m   E   N) 成 等差数列 ? 若存在 , 求出   t 和 m的值 ; 若不存在 , 请说明理 由.   3 . 已知各项均为正数 的等差数列 { n   } 的  公差 d不等于 0 , 设o   、 a   、 n   是公 比为 q的等  比数列 { 6   } 的前三项.   ( 1 ) 若  =7 , n .=2 .   ( i )求 数列 { 0   6   }的前 T , I 项和 T ;  

( i )用错 位相 减法 可 求得 { a  ̄ b   }的前 1 1 ,  
项 和 为  =T / , ×2   ;  

( i i )因为新的数列 { c   } 的前 2   一T I , 一1 项 

和为数列 { 口   }的前 2  一1项 的和 减去 数 列 
{ b   } 前 n 项 的和 , 所 以 


!   : 二  2   i  ±   : 2一  
2  

二! )  
2—1  

( i i )将数列 { o   } 与{ 6   }中相 同 的项 去  掉, 剩下 的项依 次构成新 的数列 { c   } , 设其前  / 1 , 项 和为 . s   , 求. s 2  一 。 一2  。 +3? 2   的值 ;   ( 2 ) 若存在 / ' r t>. j } , m ∈N  使得 n l 、 n 3 、   a   、 t T ,  成等 比数列 , 求证 : | j } 为奇数.  

 ̄ ' 2 " - n - I  


( 2  一1 ) ( 2   一1 ) .  

?
. .

S 2   一 i— -2   “ 一 。+ 3 ? 2   一  = 1 .  

( 2 )由( G , + 2 d )  =口   [ 0  +(  一1 ) ] d ,  
整理得 4 d   =口 . d (  一 5 ) .  

第J御  

高中教学教 与学  

求数歹 j I 通 项 公 式 的 几种 基 本 方 法 
秦承 林 曹 建兰  
( 江苏省 泰兴 市第 四高级 中学 , 2 2 5 4 1   1 )  

在数列求通项 的有关 问题 中 , 经 常 遇到  既非等差数 列 , 又 非 等 比数 列 的数 列 求通 项 
问题 , 同学 们 常常感 到 比较 棘手. 这里, 介 绍  求数列通项 公式 的几 种基 本 方 法 , 这些 方 法 
往往 给人耳 目一新 的感 觉.  


以 2为首项 , 2为公差 的等差数列 ,  
’ . .

a  =2+2 ( n一1 )=2 n .  

例 2 数列 { a   } 中前 n 项 的和 S  =2 n—   a   , 求数列 的通项公式 a   .  
解  。 . ‘ a l=S l= 2一a  。 . a l= 1 .  



构造等 差数 列或等比数列 

当 n≥2时 ,  
a  = S  一S  I  


由于等差数 列与 等 比数 列 的通项公 式容 
易给 出, 对 于一些 递推数 列 问题 , 若 能构 造等 



2 n—a  一[ 2 ( n一1 )一a   一 1 ]  

差数列或等 比数 列 , 无 疑是 一 种行 之 有效 的 
构造方法.  


= 一a  +2 + a  1  
’   =

例1   设各项均为正数 的数列 { a   } 的前 

丢   。 + 1 , a   一 2 =   1 (   。 一 2 ) .  

n 项和为 s   , 对于任意正整数 n , 都有等式 a : +  
2 a  =4 S   成立 , 求数列 的通项公式 a   .  
解 . . .  
a  一



令b  =a  一2 , 则 

6  = ÷6  , 且b 1 =1 — 2= 一 1 ,  
? . .

+ 2 a n=4 S n  

L 。 : 一 l +2 a   一 1=4 S  ,  
’ .

{ 6   } 是 以 一1 为首项 ,   为公 比的等 比  

口2  

I+ 2Ⅱ   一2a  1  


数列 ,  


=4 ( S  一S   一 。 )=4 a   ,  

. .

( a  +a   一 1 ) ( a  一a   一 l 一2 )=0 .  


一 × (   ‘ = 一 (   。 .  





‘a  + a 



≠ 0' . . .a  一 a   l = 2.  


? . .  

又由a   +2 a l =4 a 1 , 得a l =2 . 即{ a   } 是 

2 一 (   .  

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… o 0o o o  ̄ 0o … ●… ‘ ●…  ̄ 0o o “ ●… ? ●… - ●… ? ●? o o ? ●… o 0… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ’ ●… ’ ●… ? ●… ’ ●… ? ● 

因为 d≠o , 所以d:  
a 3  
‘ ? ?

,  
一3  

a 。 ( m 一1 )? (   一5 )  
口l + — — — —   — 一 ,  

a 1. 4 - 2 d  

q  

—  一  丁

。  



‘ . 。 - +  

(   )   .  

因为存 在 m >J j } , m   E   N’ , 使得 a 1 、 a 3 、 a  

又a ,>0 , 所以有 

。   成 等 比 数 列 , 所 以 。   : 。   g 3 : 。   (   }) , .  
又 因在正项 等差数列 { a   }中,  
a  =a l +( , n一1 ) d  

2 [ 4+( , n一1 ) (   一5 ) ]= ( I j } 一3 )   .  

因为 2 [ 4+( m一1 ) ( 后一 5 ) ] 是偶数 , 所以  
( | i } 一3 )  也是偶数 , 从而 J } 一3为偶数 , 所以 后   为奇数.  
?

21 ?  


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