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高考数学专题讲座--第8讲:数学思想方法之数形结合思想探讨

【备战 2014 高考数学专题讲座】 第 8 讲:数学思想方法之数形结合思想探讨
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者 的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建 模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。 中学基础数学的基本知识分三类:一是数的知识,如实数、代数式、方程(组) 、不等式(组) 、函数 等;二是形的知识,如平面几何、立体几何等;三是数形结合的知识,主要体现是解析几何。 数形结合思想,就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法,根据解决问题的需要,可 以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究(以形助数) ,即以形作为手段,数为目的,比如 应用函数的图像来直观地说明函数的性质; 或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究(以数 辅形) ,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想, 不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思想方法,在高考中经常考查 。 数与形转换的三条途径: (1)建系:通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解; (2) 转化:通过分析数与式的结构特点,把问题转化到形的角度来考虑,如将 a 2+b2转化为勾股定理或 平面上两点间的距离等; (3)构造:通过对数(式)与形特点的分析,联想相关知识构造图形或函数等, 比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 数形结合的三种主要解题方式: (1)数转化为形,即根据所给出的“数”的特点,构造符合条 件的几何图形,用几何方法去解决; (2)形转化为数,即根据题目特点,用代数方法去研究几何问 题; (3))数形结合,即用数研究形,用形研究数,相互结合,使问题变得简捷、直观、明了 。 运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则: (1)等价性原则:要注意由于所作的草图 不能精确刻画数量关系带来的负面效应; (2)双向性原则:即进行几何直观分析,又要进行相应的 代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易失真; (3)简单性原则:不要为了“数形结合”而 数形结合,而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。 运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项: (1)要熟记常见函数或曲线的形状和位置, 画图要比较准确,明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既 分析其几何意义又分析其代数意义; (2)要恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好 数形转化; (3)要正确确定参数的取值范围。 结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用: (1)数形结合思想 在集合问题中的应用; (2)数形结合思想在函数问题中的应用; (3)数形结合思想在圆锥曲线问题中的

应用; (4)数形结合思想在方程与不等式问题中的应用; (5)数形结合思想在三角函数问题中的应用; (6)数形结合思想在平面向量问题中的应用; (7)数形结合思想在立体几何问题中的应用。

一、数形结合思想在集合问题中的应用:在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合
的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。

典型例题:
例 1. (2012 年全国大纲卷文 5 分)已知集合 A ={ x ︱ x 是平行四边形}, B ={ x ︱ x 是矩形}, C ={ x ︱

x 是正方形}, D { x ︱ x 是菱形},则【
A. A ? B 【答案】B。 【考点】集合的概念,集合的包含关系。 B. C ? B C. D ? C

】 D. A ? D

【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图,由图知 A 是大的集合, C 是最小的集合,因此, 选项 A、C、 错误,选项 B 正确。故选 B。 、D

例 2.(2012 年上海市文 4 分)若集合 A ? x 2 x ? 1 ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? B =

?

?

?

?



?1 【答案】 ? , ?2

? 1? 。 ?

【考点】集合的概念和性质的运用,一元一次不等式和绝对值不等式的解法。

1 ?2 x ? 1 > 0 ? x > 1 ? ? ?1 ? 【解析】由题意,得 ? ?? ? < x < 1 ,∴ A ? B ? ? , 1? 。 2 ?2 ? ? x <1 ? ??1 < x < 1 2 ?

例 3.(2012 年山东省文 5 分)函数 f(x) ?

1 ? 4 ? x2 的定义域为【 ln(x ? 1)



A [?2,0) ?(0,2] 【答案】B。

B (?1,0) ? (0, 2]

C [?2, 2]

D (?1, 2]

【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。

?ln ? x+1? ? 0 ?x ? 0 ? ? 【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件,得 ? x+1 > 0 ,解得 ? x > ?1 。 ? ? ?2 ? x ? 2 2 ? ?4 ? x ? 0
∴函数 f(x) ?
1 ? 4 ? x2 的定义域为 (?1,0) ? (0,2] 。故选 B。 ln(x ? 1)

例 4. (2012 年重庆市理 5 分) 设平面点集 A ? ?( x, y ) ( y ? x)( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2

? ?

1 x

? ?

?

?

则 A ? B 所表示的平面图形的面积为【 (A) ? 【答案】D。



3 4

(B) ?

3 5

(C) ?

4 7

(D)

? 2

【考点】线性规划中可行域的画法,双曲线和圆的对称性。

?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 1 ? ? 【分析】∵ ( y ? x)( y ? ) ? 0 ,∴ ? 或? 。 1 1 x ?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 ? ?
又∵ ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , ∴满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ。 ∵y?

1 , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 的图象都关于直线 y=x 对称, x

∴Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等,Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等,即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积 的一半,为

? 。故选 D。 2

二、数形结合思想在函数问题中的应用: 函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了
数形结合的特征与方法。特别地,数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关 于正整数 n 的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析,从而把数列的有关 问题转化为函数的有关问题来解决。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年山东省理 5 分) 设 a > 0,a ? 1 ,则“函数 f ? x ? ? ax 在 R 上是减函数 ”,是“函数

g ? x ? ? ? 2 ? a ? x 3 在 R 上是增函数”的【
A 充分不必要条件 【答案】A。

】 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

B 必要不充分条件

【考点】充分必要条件的判断,指数函数和幂函数的性质。 【解析】∵p:“函数 f ? x ? ? a x 在 R 上是减函数 ”等价于 0 < a <1 , q:“函数 g ? x ? ? ? 2 ? a ? x 3 在 R 上是增函数”等价于 2 ? a > 0 且 a ? 1 ,即 0 < a < 2 且 a ? 1 , ∴p 是 q 成立的充分不必要条件.。故选 A。

( ,g 例 2. (2012 年北京市理 5 分)已知 f ? x ? ? m(x ? 2m) x ? m ? 3 ) ?x ? ? 2 x ? 2 ,若同时满足条件:

①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0,②?x ? (- ?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 ,
则 m 的取值范围是 ▲

【答案】 ? ?4, ? 2 ? 。【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【考点】简易逻辑,函数的性质。 【解析】由 g ? x ? ? 2x ? 2 < 0 得 x < 1。 ∵条件 ①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0 ,∴当 x ? 1 时, f ? x ?<0 。 当 m=0 时, f ? x ? =0 ,不能做到 f ? x ? 在 x ? 1 时, f ? x ?<0 ,所以舍去。 ∵ f ? x ? 作为二次函数开口只能向下,∴ m < 0 ,且此时两个根为 x1 =2m,x 2 = ? m ? 3 。

?m < 0 ?m < 0 ? 1 ? ? ? ?m < ? ?4 < m < 0 。 为保证条件①成立,必须 ? x1 =2m < 1 2 ?x = ? m ? 3 < 1 ? ? 2 ?m > ?4 ?
又由条件 ②?x ? (- ?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 的限制,可分析得出 x ? (- ?, - 4) 时, f ? x ? 恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能,即-4 应该比 x1,x 2 两根中小的那个大。 由 2m= ? m ? 3 得 m= ?1 , ∴当 m ? ? ?1, 0 ? 时, ?m ? 3 < ?4 ,解得交集为空集,舍去。

当 m= ?1 时,两根同为-2>-4,舍去。 当 m ? ? ?4, ? 1? 时, 2m < ?4 ? m < ?2 。 综上所述, m ? ? ?4, ? 2 ? 。 例 3. (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知函数 y =x3 ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c= 【 A. ?2 或 2 【答案】A 【考点】导数的应用。 【解析】若函数图像与 x 轴有两个不同的交点,则需要满足其中一个为零即 可。因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可知 只有在极大值点或者极小值点有一点在 x 轴时满足要求(如图所示) 。 ∵ y =x3 ? 3x ? c ,∴ y' =3x 2 ? 3=3 ? x ? 1?? x ? 1? 。 ∴当 x= ? 1 时,函数取得极值。 由 yx =1 =0 或 yx =-1 =0 可得 c ? 2=0 或 c ? 2=0 ,即 c= ? 2 。故选 A。 例 4. (2012 年全国课标卷理 5 分)设点 P 在曲线 y ? 为【 】 B. ?9 或 3 C. ?1 或 1 D. ?3 或 1 】

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值 2

( A) 1 ? ln 2
【答案】 B 。

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

【考点】反函数的性质,导数的应用。 【解析】∵函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,∴它们的图象关于 y ? x 对称。 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 ∴函数 y ? e 上的点 P( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 ? ln 2 1 x 1 。 e ? x ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,∴ g ( x)min ? 1 ? ln 2 。∴ d min ? 2 2 2
2(1 ? ln 2) 。故选 B 。

∴由图象关 于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d min ?

例 5. (2012 年北京市理 5 分) 某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高。m 值为【 A.5 B.7 C.9 D.11 】

【答案】C。 【考点】直线斜率的几何意义。 【解析】 据图像识别看出变化趋势, 利用变化速度可以用导数 来解,但图像不连续,所以只能是广义上的。实际上,前 n 年的年平均产量就是前 n 年的总产量 S 与 n 的商: 图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。 因此, 要使前 m 年的年平均产量最高就是要这一点的 纵坐标与横坐标之比最大,即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当 n=9 时,倾斜角最大。 从而 m 值为 9。故选 C。 例 6. (2012 年天津市理 5 分)函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是【
x 3

S? n ? n

,在



(A)0 【答案】B。

(B)1

(C)2

(D)3

【考点】函数的零点的概念,函数的单调性,导数的应用。

【分析】∵ f' (x)=2 ln2+3x > 0 ,∴函数 f (x)=2 +x ? 2 在定义域内单调递增。
x 2 x 3

又∵ f (0)=2 +0 ? 2= ? 1 < 0 , f (1)=2 +1 ? 2=1 > 0 。
0 3 1 3

∴函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间(0,1)内有唯一的零点。故选 B。
x 3

1 例 7. (2012 年山东省理 5 分)设函数 f ? x ? = ,g ? x ? =ax 2 +bx ? a,b ? R,a ? 0 ? ,若 y ? f ? x ? 的图像与 x
y ? g ? x ? 图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是【
A. 当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 C. 当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 【答案】B。 【考点】导数的应用。 【解析】令 B. 当 a<0 时,x1+x2>0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 】

1 ? ax 2 ? bx ,则 1 ? ax 3 ? bx 2 (x ? 0) 。 x

设 F(x) ? ax 3 ? bx 2 , F' (x) ? 3ax 2 ? 2bx 。 令 F' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 0 ,则 x ? ?

2b 3a

要使 y ? f ? x ? 的图像与 y ? g ? x ? 图像有且仅有两个不同的公共点必须:

F(

?2b 2b 2b ) ? a(? )3 ? b(? )2 ? 1 ,整理得 4b3 ? 27a 2 。 3a 3a 3a

取值讨论:可取 a ? ?2,b ? 3 来研究。 当 a ? 2,b ? 3 时 , 2x3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? ?1, x 2 ?

1 , 此 时 y1 ? ?1, y2 ? 2 , 此 时 2

x1 ? x 2 ? 0,y1 ? y2 ? 0 ;
当 a ? ?2,b ? 3 时 , ?2x 3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 , 此 时 y1 ? 1, y2 ? ?2 , 此 时 2

x1 ? x 2 ? , y ? y ? 。故选 B。 0 1 0 2
例 8. (2012 年重庆市理 5 分)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f' ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f' ( x) 的图 像如题图所示,则下列结论中一定成立的是【 (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) 】

(D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

【答案】D。 【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象。 【分析】由图象知, y ? (1 ? x) f' ( x) 与 x 轴有三个交点,-2,1,2, ∴ f' (?2)=0,f' (2)=0 。 由此得到 x , y , 1 ? x , f' ( x) 和 f ( x) 在 (??, ? ?) 上的情况:

x
y
1? x
f' ( x)
f ( x)

(??, ?2)
+ + + ↗

-2 0 + 0 极大值

(?2,1)
- + - ↘

1 0 0 - 非极值

(1, 2)
+ - - ↘

2 0 - 0 极小值

(2, ??)
- - + ↗

∴ f ( x) 的极大值为 f (?2) , f ( x) 的极小值为 f (2) 。故选 D。

例 9. (2012 年天津市理 5 分) 已知函数 y = 的取值范围是 ▲ .

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点, 则实数 k x ?1

【答案】 (0,1) ? (1,4) 。 【考点】函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点。 【分析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)( x ? 1) x ?1



当 x ? 1时, y ?

x2 ?1 x ?1
x2 ?1

? x ? 1 ? x ? 1,

当 x ? 1时, y ?

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? , x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 。 综上函数 y ? x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
作出函数的图象,要使函数 y 与 y ? kx 有两个不同的交点,则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄色区 域内, 如图, 此时当直线经过黄色区域时 B(1,2) ,k 满足 1 ? k ? 2 , 当经过蓝色区域时,k 满足 0 ? k ? 1 , 综上实数 k 的取值范围是 (0,1) ? (1,4) 。
?a2-ab,a≤b, ? 例 10. ( 2012 年 福 建 省 理 4 分 ) 对 于 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “*” : a*b = ? 2 ? ?b -ab,a>b.



f ? x ? ? (2x ? 1) *( x ? 1) ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3
的取值范围是 【答案】? ▲ .

?1- 3 ?。 ? ? 16 ,0?

【考点】新定义,分段函数的图象和性质,分类讨论和数形结合思想的应用。

?(2x ? 1) 2 ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) ? ( x ? 1) ? 【解析】根据新运算符号得到函数为 f ? x ? ? (2x ? 1) * ( x ? 1)= ? , 2 ?( x ? 1) ? (2x ? 1) ? ( x ? 1), (2x ? 1) > ( x ? 1) ?

?2x 2 ? x, x ? 0 ? 化简得: f ? x ? = ? 2 。 ?? x +x, x > 0 ? ?2x 2 ? x, x ? 0 ? 如图, 作出函数 f ? x ? = ? 2 和 y ? m的 ?? x +x, x > 0 ?
图象, 如果 f ? x ? ? m 有三个不同的实数解, 即直线 y ? m 与函数 f(x)的图象有三个交点,如图,

?1 1? (1)当直线 y ? m 过抛物线 y ? ? x 2 +x 的顶点 ? , ? 或 y ? m=0 时,有两个交点; ?2 4?
1? ? (2)当直线 y ? m 中 ? m > ? ? ? m < 0 ? 时,有一个交点; 4? ?
(3)当直线 y ? m 中 0 < m <

1 时,有三个交点。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 4

1 设三个交点分别为:x1,x2,x3,且依次是从小到大的顺序排列,所以 x1 即为方程 2x2-x= 小于 4 1- 3 1- 3 1 1 1- 3 1 0 的解,解得 x1= ,此时 x2=x3= ,所以 x1·2·3= x x ××= 。 4 2 4 2 2 16 x x y ? m 与函数 f(x)有 2 个交点的最低位置是当 y=m 与 x 轴重合时,此时 x1·2·3=0。

所以当方程 f ? x ? ? m(m ? R) 有三个不等实根时,x1·2·3∈? x x 例 11. (2012 年全国课标卷文 5 分)当 0<x ? (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2

?1- 3 ?。 ? ? 16 ,0?


1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是【 2
(D)( 2,2)

(C)(1, 2)

【答案】B。 【考点】指数函数和对数函数的性质。 【解析】设 f ? x ? =4x , g ? x ? =log a x ,作图。

1 时, 4x ? loga x , 2 1 ∴在 0<x ? 时, g ? x ? =log a x 的图象在 f ? x ? =4 x 的图象上方。 2
∵当 0<x ? 根据对数函数的性质, a ? 1 。∴ g ? x ? =log a x 单调递减。

2 1 1 ∴由 x ? 时, 4x ? loga x 得 4 2 ? log a ,解得 a ? 。 2 2 2
∴要使 0<x ?

1

2 1 时, 4x ? loga x ,必须 a > 。 2 2

2 ∴a 的取值范围是( 2 ,1) 。故选 B。 例 12. (2012 年北京市文 5 分)函数 f ? x ? A.0 B.1 C.2 D.3
1 =x 2

?1? ? ? ? 的零点个数为【 ?2?

x



【答案】B。 【考点】幂函数和指数函数的图象。

?1? ?1? 【解析】函数 f ? x ? =x 2 ? ? ? 的零点个数就是 x 2 ? ? ? =0 (即 ?2? ?2?
1 x ?1? x2 =

1

x

1

x

? ? )解的个数,即函数 g ? x ? ?2?

1 =x 2

?1? 和 h ? x ? = ? ? 的交点个 ?2?
1 =x 2

x

数。如图,作出图象,即可得到二者交点是 1 个。所以函数 f ? x ?

?1? ? ? ? 的零点个数为 1。故选 B。 ?2?

x

例 13. (2012 年湖南省文 5 分)设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2 ? 的偶函数, f ?( x) 是 f ( x)

的导函数,当 x ? ? 0, ? ? 时,0< f ( x) <1;当 x ? ? 0, ? ? 且 x ?

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

y ? f ? x ? ? sinx 在[-2 ? ,2 ? ] 上的零点个数为【
A .2 【答案】B。 B .4 C.5 D. 8



【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。 【解析】由当 x ? ? 0, ? ? 且 x ≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

? ?? ?? ? x ? ?0, ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数。 ? 2? ?2 ?
又 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 ? 的偶函数,在同一坐标系中 作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 草图像如下,由图知 y ? f ? x ? ? sinx 在[-2 ? ,2 ? ] 上的零点个数为 4 个。

例 14. (2012 年福建省文 5 分)已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下 结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是【 A.①③ 【答案】C。 【考点】函数的零点和单调性。 【解析】对函数求导得:f′(x)=3x2-12x+9, 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=3。 当 x<1 时,函数 f(x)单调递增;当 1<x<3 时,函数 f(x)单调递减;当 x>3 时,函数 f(x)单调递增。 因为 a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,所以函数 f(x)与 x 轴的交点坐标从左到右依次为 abc。 根据 f(b)=0 得 f(b)=b3-6b2+9b-abc=b[(b-3)2-ac]=0,因为 b≠0,所以(b-3)2-ac=0。 又因为 c>0,且方程有解,故 a>0,所以 a>0,1<b<3,c>3。 B.①④ 】 C.②③ D.②④

画出函数 f(x)的图象,如图所示.显然 f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0, 所以 f(0)· f(1)<0,f(0)· f(3)>0。所以②③正确。故选 C。 例 15. (2012 年重庆市文 5 分)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x) ,且函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取 得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是【 】

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】C。 【考点】函数的图 象,函数单调性与导数的关系。 【分析】由函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值可知, 当 x= ? 2 时, f ?( x)=0 ,则 xf ?( x)=0 ,函数 y ? xf ?( x) 的图象与 x 轴相交; 当 x= ? 2 左侧附近时, f ?( x) ? 0 ,则 xf ?( x) ? 0 ,函数 y ? xf ?( x) 的图象在 x 轴上方; 当 x= ? 2 右侧附近时, f ?( x) ? 0 ,则 xf ?( x) ? 0 ,函数 y ? xf ?( x) 的图象在 x 轴下方。 对照选项可知只有 C 符合题意。故选 C。 例 16. (2012 年陕西省理 5 分)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水 位下降 1 米后,水面宽 ▲ 米.

【答案】 2 6 。 【考点】抛物线的应用。 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 x = my , ∴∵当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米, ∴抛物线过点(2,-2, ).
2 代入 x = my 得, 2 = m (- 2) ,即 m = - 2 。
2

2

∴抛物线方程为 x = - 2 y 。 ∴当 y = - 3 时, x =

2

6 ,∴水位下降 1 米后,水面宽 2 6 米。

三、数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用:解析几何的基本思想就是数形结合,在圆锥曲
线解题中将数形结合的数学思想运用于对点、线的性质及其相互关系的研究,借助于图象研究曲线的性质 是一种常用的方法。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知 F1,F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上,

PF1 = 2 PF2 ,则 cos ?F1PF2 = 【
A.

】 C.

1 4

B.

3 5

3 4

D.

4 5

【答案】C。 【考点】双曲线的定义和性质的运用,余弦定理的运用。 【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 由 x2 ? y 2 ? 2 ? ∴ F1F2 =4 。 设 PF2 ? k , PF1 = 2k ,则 PF1 ? PF2 = k 。 ∴根据双曲线的定义,得 PF1 ? PF2 = k ? 2a ? 2 2 。 ∴ PF2 ? 2 2, PF1 = 4 2 。 在 ?PF1F2 中,应用用余弦定理得 cos ?F1PF2 =

x2 y 2 ? ? 1 可知, a ? b ? 2 ,∴ c ? a 2 ? b 2 ? 2 。 2 2

PF12 ? PF2 2 ? F1F2 2 32 ? 8 ? 16 3 ? ? 。故选 C。 2 PF1 ? PF2 32 4

例 2.(2012 年全国课标卷理 5 分) F1 F2 是椭圆 E : 设

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 为直线 x ? P 2 a b 2


上一点, ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为【

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】 C 。 【考点】椭圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义。

【解析】∵ F1 F2 是椭圆 E : ∴ F2 F1 ? 2c 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

∵ ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形, ∴ ?PF2 D ? 600 。 ∵ P 为直线 x ?

F2 D 3 3 3a 上一点,∴ F2 D ? OD ? OF2 ? a ? c 。∴ PF2 ? =2( a ? c) 。 0 cos 60 2 2 2

又∵ F2 F1 ? PF2 ,即 2c ? 2( a ? c) 。∴ e ?

3 2

c 3 ? 。故选 C 。 a 4

例 3. (2012 年北京市理 5 分)在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y2 =4x 的焦点 F,且与该抛物线相交 于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60? ,则△OAF 的面积为 【答案】 3 。 【考点】抛物线的性质,待定系数法求直线方程,直线和抛物线的交点。 【解析】根据抛物线的性质,得抛物线 y2 =4x 的焦点 F(1,0)。 ∵直线 l 的倾斜角为 60?,∴直线 l 的斜率 k= tan 600 = 3 。 ∴由点斜式公式得直线 l 的方程为 y= 3 ? x ? 1? 。 ▲

1 ? ?x 2 = 3 ? y 2 =4x ? x1 =3 ? ? ? ∴? 。 ?? ,? ? y= 3 ? x ? 1? ? y1 =2 3 ? y = ? 2 3 ? ? ? 2 3 ?
∵点 A 在 x 轴上方,∴ A 3, 2 3 。

?

?

1 ∴△OAF 的面积为 ? 1? 2 3= 3 。 2
例 4.(2012 年四川省理 4 分) 椭圆 的周长最大时, ?FAB 的面积是 【答案】3。 【考点】椭圆的性质。 【解析】画出图象,结合图象得到 ?FAB 的周长最大时对应的直线所在位置.即可求出结论.

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 , ?FAB B 当 4 3
▲ 。

如图,设椭圆的右焦点为 E。 由椭圆的定义得:

?FAB 的周长:
AB ? AF ? BF ? AB ? 2a ? AE) 2a ? BE) ( ? (
? 4a ? AB ? AE ? BE 。
∵ AE ? BE ? AB ,∴ AB ? AE ? BE ? 0 ,当 AB 过点 E 时取等号。 ∴ AB ? AF ? BF ? 4a ? AB ? AE ? BE ? 4a 。 即直线 x ? m 过椭圆的右焦点 E 时 ?FAB 的周长最大,此时 ?FAB 的高为:EF=2,直线

x ? m ? c ?1。
把 x ? 1 代入椭圆

x2 y2 3 ? ? 1 得 y ? ? 。∴ AB ? 3 。 2 4 3

1 1 ∴当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是 ? 3 ? EF ? ? 3 ? 2 ? 3 。 2 2
例 5. (2012 年全国课标卷理 12 分)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准 线为 l , A ? C , 已
2

知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点; (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2) A, B, F 三点在同一直线 m 上, 若 直线 n 与 m 平行, n 与 C 只有一个公共点, 且 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 【答案】解: (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角三角形,斜边

BD ? 2 p 。 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p 。
∵ S?ABD ? 4 2 ,∴ ∴ p ?2。 ∴ F ? 0, 1? , FB ? 2 2 。 ∴ 圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 。
2 2

1 ? BD ? d ? 4 2 。 2

(2)由对称性设 A( x0 ,

2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2

∵ A, B, F 三点在同一直线 m 上,

∴点 A, B 关于点 F 对称,得: B(? x0 , p ?

2 x0 x2 p 2 ) 。∴ p ? 0 ? ? ,即 x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

3p p ? 3p p 3p ∴ A( 3 p, ?0。 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ,整理得 x ? 3 y ? 2 2 2 3p
∴直线 m 的斜率为

3 。 3 3 。 3

又∵直线 n 与 m 平行,∴直线 n 的斜率为

由 x ? 2 py 得 y ?
2

x2 x ,∴ y? ? 。 2p p
x 3 3 3p p ? p 。∴切点 P ( , )。 ,得 x ? p 3 3 3 6

∵直线 n 与 C 只有一个公共点,∴令 y? ?

∴直线 n : y ?

p 3 3p 3 p?0 ? (x ? ) ,整理得 x ? 3 y ? 6 6 3 3 3p 3p : ?3。 2 6

∴坐标原点到 m, n 距离的比值为

【考点】抛物线和圆的性质,两直线平行的性质,点到直线的距离,导数和切线方程。 【解析】 (1)由已知 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ,根据抛物线和圆的性质可求得 p ? 2 以及
0

F ? 0, 1? , FB ? 2 2 ,从而得到圆 F 的方程。
(2)设 A( x0 ,
2 x0 x2 2 )( x0 ? 0) ,根据对称性得 B(? x0 , p ? 0 ) ,由 B 在准 线 l 上得到 x0 ? 3 p 2 ,从 2p 2p

而求得 A,B 的坐标(用 p 表示) ,从而得到直线 m 的方程和斜率。由直线 n 与 m 平行和直线 n 与 C 只有 一个公共点,应用导数可求出直线 n 的方程。因此求出坐标原点到 m, n 距离的比值。 例 6. (2012 年北京市理 14 分)已知曲线 C: (5-m)x 2+(m-2)y2 ? 8(m ? R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 c 交于不同 的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G。求证:A,G,N 三点共线。

【答案】 (1)原曲线方程可化为:

x2 y2 + ?1。 8 8 5-m m-2

∵曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,

8 ? 8 ? 5-m > m-2 ? 7 ? 8 ∴? ,是 < m < 5 。 >0 2 ? 5- m ? 8 ? m-2 > 0 ?
∴若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,则 m 的取值范围为 (2)证明:∵m=4,∴曲线 c 的方程为 x 2+2y 2 ? 8 。 将已知直线代入椭圆方程化简得:

7 <m<5 。 2

? 2k

2

? 1 x 2 ? 16kx ? 24=0 。
2

?

由 ? = ?16k ? ? 4 ? 2k 2 ? 1 ? 24=32 2k 2 ? 3 > 0 得,

?

?

?

?

3 k2 > 。 2
由韦达定理得: x M +x N = ?

24 。 ,x M ? x N = 2 2k ? 1 2k ? 1
2

16k

1 设 M ? x M,kx M ? 4 ?,N ? x N,kx N ? 4 ?,G ? x G, ? 。
则 MB 的方程为 y=

? 3x M ? kx M ? 6 , ?。 1 x ? 2 ,∴ G ? xM ? kx M ? 6 ?

AN 的方程为 y=

kx N ? 2 x?2。 xN

欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。

? 3x M ? kx ? 2 kx ? 2 3x M , ? 代入 y= N 1 将G? x ? 2 ,得 1= N ? ?2, xN xN kx M ? 6 ? kx M ? 6 ?
即 ?kx M ? x N ? 6x N =3kx M ? x N ? 6x M ,即 4kx M ? x N ? 6 ? x M ? x N ? =0 , 即 4?

? 16k ? ? 6??? 2 ? =0 ,等式恒成立。 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 24
2

? 3x M ? , ? 在直线 AN 上。 1 由于以上各步是可逆的,从而点 G ? ? kx M ? 6 ?

∴A,G,N 三点共线。 【考点】椭圆的性质,韦达定理的应用,求直线方程,三点共线的证明。 【解析】(1)根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于 0 得不等式组求解即得 m 的取值范围。 (2)欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。故需求出含待定系数的直线 MB 和 AN 的方程,点 G 的坐标,结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线 MB 和 AN 在 y=1 时横坐标相 等来证 A,G,N 三点共线或直线 AN 和 AG 斜率相等。还可用向量求解。

x2 y 2 例 7. (2012 年广东省理 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a b
率e ?

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、 B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 【答案】解: (1)∵ e ?

c ? a

2 ? 3

2 ,∴可设 a = 3

3k , c =

2k

(k > 0) 。

∴b =

a 2 - c 2 = k ,故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 3b 2 b 2

设 P( x, y)
2

(- b #y
2

b) 为椭圆上的任一点,则 x 2 = 3b2 - 3 y 2 。
2 2 2 2 2 2

∵ | PQ | = x + ( y - 2) = - 2 y - 4 y + 4 + 3b = - 2( y + 1) + 3b + 6 ? 3b
2 2 ∴当 y = - 1时, | PQ | 取得最大值 3b + 6 ,即 | PQ | 取得最大值 3b + 6 。
2

6,

又∵椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3, ∴ 3b + 6=3 ,解得 b = 1 。 ∴所求的椭圆 C 方程为
2

x2 ? y 2 ? 1。 3

m2 ? n 2 ? 1 , 即 m2 ? 3n2 ? 3 圆心 O 到直线 l 的距离 (2)假设点 M(m,n)存在,则 3
d= 1 m +n
2 2

< 1 。 ∴ m2 + n 2 > 1 。



1 | AB |= 2

r 2 - d 2 = 11

1 = 2 m + n2

m2 + n2 - 1 m2 + n2
m2 + n2 - 1 m2 + n2

∴ S? OAB =

1 | AB | d = 2

m2 + n2

m2 + n2 - 1 = m2 + n2

m2 + n2 - 1 = 2 = m + n2 - 1+ 1

1 m2 + n2 - 1 + 1 m + n2 - 1
2

1 2

(当且仅当 m + n - 1 =

2

2

1 m +n - 1
2 2

,即 m + n = 2 时取等号) 。

2

2

ì ì ì ì ? ? ì 2 3 ? ?m= 6 ?m= 6 ? ?m= - 6 ?m= - 6 ? ?m = ? ? ? ? ? m ? 3n ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? 解? 2 得í ,即 í 或í 或í 或? 。 í 2 ? ? ? 2 1 ?m ? n ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ?n = ?n= ?n= ?n= ?n= ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?
2 2

∴所求点 M 的坐标为 ( 的面积为

6 2 6 2 6 2 6 2 , )、 , ( )、 (, )、 (,) ,对应的△OAB 2 2 2 2 2 2 2 2

1 。 2

【考点】椭圆的性质,两点间的距离公式,二次函数的最大值,基本不等式的应用。 【解析】 (1)由 e ?

2 x2 y 2 可得椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,设设 P( x, y) (- b #y 3 3b b
2

b) 为椭圆上的任一

2 点,求出 | PQ | 的表达式,一方面由二次函数的最大值原理得 | PQ | 的最大值 3b + 6 ,另一方面由已知

椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3 列式求出 b ,从而得到椭圆 C 的方程。 (2)假设点 M(m,n)存在,求出 S? OAB 的表达式,应用基本不等式求得△OAB 的面积最大时 m, n 的值和对应的△OAB 的面积。

四、数形结合思想在方程与不等式问题中的应用:处理方程问题时,把方程的根的问题看作
两个函数图象的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意 义,从图形上找出解题的思路。特别地,线性规划问题是在约束条件(不等式)下求目标函数的最值的问 题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年陕西省理 5 分)设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线 ??2 x ? 1, x ? 0

在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 【答案】2。 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,简单线性规划。



.

【解析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域 D,利用线性规划的方法求出目标函数 z 的最 大值即可:

?1 ? ,x ?0 ∵ y ? f ?( x) ? ? x , f ?(1) ? 1 , ??2, x ? 0 ?
∴曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线方 程为 y = x - 1 。 ∴由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及 y = x - 1 围成的封 闭区域为三角形。 z ? x ? 2 y 在点 (0,- 1) 处取得最大值 2。 例 2. (2012 年浙江省理 14 分)已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax ? 2bx ? a ? b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ; (Ⅱ)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ?[0 , 恒成立,求 a ? b 的取值范围. 1] 【答案】(Ⅰ) 证明: (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a。 f max ? x ? ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a。 (ⅱ) 设 g ? x ? =﹣ f ? x ? , ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为 : g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
?4 b b 4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? a ? b,b ? 2a} ? ? 3 6a g max ? x ? ? max{g ( ),() ? max{ b g 1} b ? 6a 3 6a 6a ?b ? 2a, ?

b 。 6a

≤|2a-b|﹢a。 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立。 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大。 ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,∴|2a-b|﹢a≤1。 取 b 为纵轴,a 为横轴.
?a > 0 ?a > 0 ? ? 则可行域为: ? b ? 2a 和 ?b ? 2a ,目标函数为 z=a+b。 ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1 ? ?

作图如下:

由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ?1,3? 。 【考点】分类思想的应用,不等式的证明,利用导数求闭区间上函数的最值,简单线性规划。 【解析】(Ⅰ) (ⅰ)求导后,分 b≤0 和 b>0 讨论即可。 (ⅱ) 利用分析法, 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0, 即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a, 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a,且函数在 0≤x≤1 上的最小值比 ﹣(|2a-b|﹢a)要大.根据-1≤ f ? x ? ≤1 对 x∈[0,1]恒成立,可得|2a-b|﹢a≤1,从而利用线性规划知识, 可求 a+b 的取值范围。 例 3. (2012 年四川省理 5 分)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、

B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶
乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。 通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是【 A、1800 元 【答案】C。 【考点】线性规划的应用。 【解析】]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,得 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 】

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? Z=300X+400Y,且 ? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示,目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线,

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ? x ? 4 得? ,即 A(4,4) 。 ?x ? 2 y ? 12 ? y ? 4

∴ Zmax ? 1200 ? 1600 ? 2800 。故选 C。 例 4. (2012 年天津市理 5 分)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ? 1) =1 相
2 2

切,则 m+n 的取值范围是【



(A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 【答案】D。

(B) ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法 【分析】∵直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ? 1) =1 相切,
2 2

∴圆心 (1,1) 到直线的距离为 d = ∴ mn ? m ? n ? 1 。

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1) 2 +(n ? 1) 2

=1 ,

2 2 又∵ 2mn ? m ? n ,∴ 4mn ? m ? n +2mn = ? m +n ? ,即 mn ?

2

2

2

? m +n ?
4

2



∴ m ? n ?1 ?

(m ? n)2 。 4

设 t =m ? n ,则

1 2 t ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?) 。故选 D。 4


?y ? 2 ? 例 5. (2012 年广东省理 5 分)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3x+y 的最大值为【 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D. ?1

【答案】B。 【考点】简单线性规划。

?y ? 2 ? 【解析】如图,作出变量 x,y 约束条件 ? x ? y ? 1 的可行域, ?x ? y ? 1 ?
解?

?y ? 2 得最优解(3,2) ?x ? y ? 1

当?

?x ? 3 时,目标函数 z=3x+y 的最大值为 zmax = 11 。 ?y ? 2

故选 B。 例 6. (2012 年江西省理 5 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨

年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为【 A.50,0 【答案】B。 【考点】建模的思想方法,线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为 】 B.30,20 C.20,30 D.0,50

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .
? x ? y ? 50 ? x ? y ? 50 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? ? 线性约束条件为 ? ,即 ? 。 ?x ? 0 ?x ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 50 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? 如图,作出不等式组 ? 表示的可行域,易求得点 x?0 ? ?y ? 0 ?
A ? 0, 50? , B ? 30, 20? , C ? 0, 45 。 ?
平移直线 x ? 0.9 y ? 0 ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20 ? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最 大值,且 zmax ? 48 (万元) 。故选 B。 例 7. (2012 年湖南省理 5 分)已知两条直线 l1 : y ? m 和 l 2 : y ?

8 ? m > 0 ? ,l1 与函数 y ? log 2 x 2m+1

的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, A. 16 2 【答案】B。 【考点】数形结合,函数的图象,基本不等式的应用。 【解析】如图,在同一坐标系中作出 y ? m , y ? B. 8 2 C. 8 3 4 D. 4 3 4

b 的最小值为【 a



[来源%&:中国~*教育# 出版网]

8 ? m > 0 ? , y ? log 2 x 图像, 2m+1

?m m 由 log 2 x =m ,得 x1 ? 2 , x2 ? 2 ,

由 log 2 x ?

8 8 ? 8 ,得 x3 ? 2 2 m?1 , x4 ? 2 2 m?1 。 2m+1
? 8 2 m ?1 8 2 m ?1

根据题意得 a ? 2

?m

?2

, b ? 2 ?2
m

,

b ? a

2 ?2
m

8 2 m ?1

2

?m

?2

?

8 2 m ?1

? 2m 2 2 m ?1 ? 2

8

m?

8 2 m ?1



∵m?

7 b 8 1 4 1 1 7 ? m? ? ? ? 4 ? ? ,∴ ( ) min ? 2 2 =8 2 。故选 B。 a 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 例 8. (2012 年福建省理 5 分)若函数 y ? 2 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实数 m 的 ?x ? m ?
x

最大值为【 1 A. 2 【答案】B。

】 B.1 C. 3 2 D.2

【考点】线性规划。

?x ? y ? 3 ? 0 ? 【解析】约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 确定的区域为如图阴影部分,即 ?x ? m ?

△ABC 的 边 与 其 内 部 区 域 , 分 析 可 得 函 数 y ? 2 x 与 边 界 直 线
,若函数 y ? 2 x 图象上存在点(x,y)满 x ? y ? 3=0 交与点(1,2) 足约束条件,即 y ? 2 x 图象上存在点在阴影部分内部,则必有 m≤1, 即实数 m 的最大值为 1。故选 B。

? x ? y ? 10 ? 例 9. (2012 年辽宁省理 5 分)设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2 x ? 3 y 的最大值为【 ?0 ? y ? 15 ?
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55



【答案】D。 【考点】简单线性规划问题。 【解析】如图,画出可行域:

根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55。故选 D。

?x ? y ? 1 ? 0 ? 例 10. (2012 年全国大纲卷理 5 分)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z =3x ? y 的最小值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
▲ 。

【答案】 ?1 。 【考点】线性规划。 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点(3,0)时,目标函数 最大 ,当目标函数过点(0,1)时最小 zmin =3 ? 0 ? 1= ? 1 。

? x, y ? 0 ? 例 11.(2012 年全国课标卷理 5 分)设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
▲ 【答案】 [?3,3] 。 【考点】简单线性规划。 【解析】求 z ? x ? 2 y 的取值范围,则求出 z ? x ? 2 y 在约束条件下的最 大值和最小值即可。作图,可知约束条件对应四边形 OABC 边边际及内 的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 。 当 x ? 3, y ? 0 时, z ? x ? 2 y 取得最大值 3;当 x ? 1 y ? 时, , 2

z ? x ? 2 y 取得最小值 ?3 。
∴ z ? x ? 2 y 的取值范围为 [?3,3] 。

? x?0 ? 例 12.(2012 年安徽省理 5 分)若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 ?2 x ? y ? 3 ?
【答案】 [?3,0] 。 【考点】简单线性规划。 【解析】求 x ? y 的取值范围,则求出 x ? y 的最大值和最小值即可。作图, 可知约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 。 当 x ? 1, y ? 1时, x ? y 取得最大值 0;当 x ? 0, y ? 3 时, x ? y 取 得最小值 ?3 。 ∴ x ? y 的取值范围为 [?3,0] 。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 13.(2012 年广东省理 5 分)不等式 x ? 2 ? x ? 1 的解集为 【答案】 x ? ▲ 。



来源:21 世

3 2

1 。 2

【考点】分类讨论的思想,解绝对值不等式。 【解析】分类讨论:由不等式 x ? 2 ? x ? 1 得,

当x?

2 时,不等式为 ? ? x ? 2 ? ? ? ? x ? ? 1 ,即 - 2 1 恒成立; 0 时,不等式为 2x + 2 1 ,解得, - 2 < x ?
1 ; 2

当- 2 < x

当 x > 0 时,不等式为 ? x ? 2 ? ? x ? 1 ,即 2 ? 1 不成立。 综上所述,不等式 x ? 2 ? x ? 1 的解集为 x ?

1 。 2

另解:用图象法求解:作出图象,由折点——参考点——连线;运用相似三角形性质可得。

例 14.(2012 年江苏省 5 分)已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 c b c 是 ▲ .

b 的取值范围 a

7 【答案】 ? e, ? 。
【考点】可行域。

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 。 c ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x,y 满足 ? ,求 的取值范围。 x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?

作出( x,y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的切 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0 ? , 则

y0 ex0 ? m m ,要使它最小,须 m=0 。 = =e ? x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x,y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x

y b 7 7 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? 。 a x

五 、数形结合思想在三角函数问题中的应用:有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值 的大小等问题, 一般借助于单位圆或三角函数图象来处理, 数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. ( 2012 年 四 川 省 理 5 分 ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x? c o sx {an } 是 公 差 为 ,
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a2 a3 ? 【

? 的等差数列, 8


2

A、 0 【答案】D。

B、

1 2 ? 16

C、 ?

1 8

D、

13 2 ? 16

【考点】等差数列性质,三角函数性质。 【解析】∵ f ( x) ? 2 x ? cos x , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,

2 ? ∴ (a1 ? a 2 ? ? ? a5) (cos a1 ? cos a 2 ? ? ? cos a5 ) ? 5? 。
∵ {an } 是公差为

? 的等差数列, 8

∴ (a1 ? a2 ? ? ? a5)=2 ? 5a3 ? 10a3 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 。 2 ∴ 10a3 ? 5? ,解得 a3 ?
2 2

?
2

, a2 ?

3? 。 8

∴ [ f (a3 )] ? a2 a3 ? ? ?

3? ? 13? 2 ? ? 。故选 D。 8 2 16

关于 cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 可化为 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 。

?

?

由 10a3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 10a3 , 设 f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos x, g ? x ? ? 5? ? 10 x ,作图可得二者交点在 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 处:

?

?

?

?

?

?

例 2. (2012 年上海市理 5 分)设 a n ? 个数是【 A.25 【答案】 D。 【考点】正弦函数的周期性。 】 B.50

1 n? , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,在 S1 , S 2 , ?, S100 中,正数的 sin n 25

C.75

D.100

【解析】∵对于 1 ? k ? 25,ak ? 0(只有 a25 =0 ),∴ Sk ?1 ? k ? 25? 都为正数。 当 26 ? k ? 49 时,令

?
25

? ? ,则

k? ? k? ,画出 k? 终边如右, 25

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) ,

1 1 1 1 1 1 ∴ Sk ? sin ? + sin 2? + ??? + sin 24? +0+ sin 26? + sin 27? + ??+ sin k? 1 2 24 26 27 k
1 1 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? sin ? + sin 2? + ??? + ? ? ? sin 24? + ? ? ? sin 23? + ??+ ? ? ? sin ? 50 ? k ?? 1 2 ? 24 26 ? ? 23 27 ? ? 50 ? k k ?
其中 k =26,27,…,49,此时 0 ? 50 ? k ? k 。 ∵

1 1 ? ? 0 , 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,∴ sin(50 ? k )? ? 0 。 50 ? k k

从而当 k =26,27,…,49 时, S k 都是正数。 又 S50 ? S49 ? a50 ? S49 ? 0 ? S49 ? 0 。 同上可得,对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 S k 都是正数,故选 D。

例 3. (2012 年浙江省理 14 分)在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos A ?

2 , 3

sin B ? 5 cos C .
(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.
5 2 【答案】解:(Ⅰ)∵ cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? 。 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= 整理得:tanC= 5 。 (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= ∴ sin B ?
5 。 6
5 1 , cos C ? , 6 6

5 2 cosC+ sinC. 3 3

又由正弦定理知:

a c ,解得 c ? 3 ? sin A sin C
1 2 1 2


5 5 。 ? 6 2

∴ ? ABC 的面积为:S= ac sin B ? ? 2 ? 3 ? 【考点】三角恒等变换,正弦定理,三角形面积求法。

【解析】(Ⅰ)由 A 为三角形的内角,及 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再将 已知等式的左边 sinB 中的角 B 利用三角形的内角和定理变形为 π-(A+C) ,利用诱导公式得到 sinB=sin (A+C) ,再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出 tanC 的值。 (Ⅱ)由 tanC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 和 cosC 的值,将 cosC 的值代入

sin B ? 5 cos C 中,即可求出 sin B 的值,由
角形 ABC 的面积。 例 4. (2012 年上海市文 5 分)若 Sn ? sin 数的个数是【 A、16 【答案】C。 【考点】正弦函数的周期性和对称性。 】 B、72

a c 1 求出 c 的值,最后由 S= ac sin B 即可求出三 ? sin A sin C 2

?
7

? sin

2? n? ? ( n? N ) ,则在 S1 , S2 ,..., S100 中,正 ? ... ? sin 7 7

C、86

D、100

【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项:

??? 14 ??? 在 S1 , S2 ,..., S100 中,分成 7 部分 n ? ? i, 2i, , i ??i =1,2 , 7 ? ,加上 S99,S100 。在 7 部分中,
每一部分正数的个数是相同的。 讨论一个周期的情况:

??? 14 如图, n ? ?1, 2, , ? 中,当 n=1, 2, ,时, sin ??? 7

n? ? 0 ,所 7

以 S n 均为正数; n=8,9, , 时, 当 由于正弦函数的性质, S n 也为正数; 知 ??? 12 当 n=13,14 时,由于正弦函数的性质,知 S n 为 0。因此共有 12 个正数。 另 S99 =S1,S100 =S2 为正数。 ∴在 S1 , S2 ,..., S100 中,正数的个数是 12 ? 7+2=86 。故选 C。 例 5. (2012 年湖南省文 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 所示. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】解: (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,∴ ? ? ? 2。 12 12 T 5? 5? 5? ∵点 ( , 0) 在函数图像上,∴ A sin(2 ? ? ? ) ? 0,即sin( ? ? ) ? 0 。 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又∵ 0 ? ? ? ,∴ 。∴ ? ?? ? ? ? =? ,即 ? = 。 2 6 6 3 6 6
又∵点 0,1) 在函数图像上,∴ A sin (

?

6

? 1, A ? 2 。

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ) g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ?

?
6

)。

? ? ? ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ?

? ? ??

1 3 ? cos 2 x) ? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? 2 2 3

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 。 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

3

? 2 k? ?
? ?

?

2

, 得 k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? ,k ? z 12

∴ g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? 【考点】三角函数的图像和性质。 【解析】 (Ⅰ) 结合图形求得周期 T ? 2(

?
12

, k? ?

5? ? ,k ? z 。 12 ? ?

11? 5? 2? ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 12 12 T

? , A ,从而求出 f ( x) 的解析式。
(Ⅱ)用(Ⅰ)的结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得。 六 、数形结合思想在平面向量问题中的应用:平面向量中应用勾股定理、面积公式、相似三角 形的相似比、三角函数等将抽象的向量问题转化纯粹的代数运算。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
??? ? ??? ? ? ? ? ? ? 例 1. (2012 年全国大纲卷理 5 分) ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若 CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0,a ? 1,

? ???? b ? 2 ,则 AD ? 【



1? 1? A. a ? b 3 3
【答案】D。

2? 2? B. a ? b 3 3

3? 3? C. a ? b 5 5

4? 4? D. a ? b 5 5

【考点】向量垂直的判定,勾股定理,向量的加减法几何意义的运用。

? ? 【解析】∵ a ? b ? 0 ,∴ ?ACB =900 ,
∴在 Rt ?ABC 中,根据勾股定理得 AB=

?2 ?2 a ? b ? 12 ? 22 = 5 。

? ? 2 ∴由等面积法得 AB ? CD = a ? b ,即 5CD= 1? 2 ,得 CD= 5。 5

? 2 5 b ? CD 2 ? 4 5 ? 5。 ∴ AD = ? ? 1 5 a

???? 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ? 4? 4? 又∵点 D 在 AB 上,∴ AD ? AB ? CB ? CA ? a ? b 。故选 D。 5 5 5 5

?

?

? ? ? ? a b 例 2. (2012 年四川省理 5 分)设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是 |a| |b|
【 】

A、 a ? ?b 【答案】C。 【考点】充分条件。

?

?

B、 a // b

? ?

C、 a ? 2b

?

?

D、 a // b 且 | a |?| b |

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? a b a b 【解析】若使 ? ? ? 成立, 即要 a 、 b 共线且方向相同,即要 a ? ? b ? ? > 0 ? 。所以使 ? ? ? 成立 | a| | b| |a| |b|
的充分条件是 a ? 2b 。故选 C。 例 3. (2012 年天津市理 5 分)已知 ?ABC 为等边三角形, AB=2 ,设点 P, Q 满足 AP=? AB ,

?

?

??? ?

??? ?

???? ???? ??? ??? ? ? 3 AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP= ? ,则 ? = 【 2
(A)



1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

【答案】A。 【考点】向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.。 【分析】∵ BQ = AQ ? AB = (1 ? ? )AC ? AB , CP = AP ? AC = ? AB ? AC ,

??? ???? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ??? ???? ? ?

??? ???? ?

??? ???? ? ??? ???? ? 3 0 ,且 | AB|=| AC|=2 , < AB, AC >=60 , 2 ??? ???? ??? ???? ? ? 0 ∴ AB ? AC =| AB?|| AC|cos 60 =2 ,
又∵ BQ ? CP = ?

??? ??? ? ?

3 , 2 ??? 2 ? ??? ???? ? ???? 2 3 2 即 ?| AB| +(? ? ? ? 1) AB ? AC +(1 ? ? )| AC| = , 2 3 1 2 ∴ 4? +2(? ? ? ? 1)+4(1 ? ? )= ,解得 ? = 。故选 A 。 2 2 ??? ??? ? ? 例 4. (2012 年湖南省理 5 分)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? 【
即 [(1 ? ? ) AC ? AB](? AB ? AC )= ? A.

???? ??? ?

??? ???? ?



3

B.

7

C. 2 2

D.

23

【答案】 A。 【考点】平面向量的数量积运算,余弦定理。

【解析】如图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B ) ? 2 ? BC ? ( ? cos B ) ? 1 。 ∴ cos B ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

1 。 ?2 BC
AB 2 ? BC 2 ? AC 2 1 22 ? BC 2 ? 32 ,即 ,解得 BC ? 3 。 = 2 AB ? BC ?2 BC 2 ? 2 ? BC

又由余弦定理得 cos B ? 故选 A。

例 5 (2012 年上海市理 4 分)在平行四边形 ABCD 中,?A ?

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、

N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足
【答案】 ? 2,5? 。 【考点】平面向量的基本运算。

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是



.

【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 A 垂直 于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 ∵平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

, AB ? 2, AD ? 1 ,

?5 3? ?1 3? ∴ A ? 0,0 ?,B ? 2,0 ?,C ? , ? 2 2 ?,D ? 2 , 2 ? 。 ? ? ? ? ? ? ?

??? ? ???? 5 ??? ? ? 3 ?? 1 5? 设 N ? x, , ? ? ? x ? ? ,则 BC ? 1 CN ? - x,CD ? 2 。 ? 2 ?? 2 2? 2 ? ?
∴由

| BM | | BC |

?

| CN |

???? 5 1 ? 得, BM ? - x 。 4 2 | CD |

3 ? 21 1 ?5 1 ? ? 5 3 ?5 1 ? ? x。 ∴ M 的横坐标为 2 ? ? - x ? cos = ? x , M 的纵坐标为 ? - x ? sin = 3 8 4 3 8 4 ?4 2 ? ?4 2 ?
???? ? ? 3 ? ???? ? 21 1 5 3 3 ? ? x? ∴ AN ? ? x, ?,AM ? ? ? x, ? 2 ? ? 8 4 8 4 ? ? ? ? ?
2 ???? ???? ? 3?5 3 3 ? 1 2 9 15 1? 9? ? 21 1 ? ? x ? ? ? x ? x ? = ? ? x ? ? +6 。 ∴ AN ? AM ? x ? ? x ? ? ? 4 ? 4 4 16 4? 2? ? 8 4 ? 2 ? 8 ? ?

1? 9? 9 ∵函数 y = ? ? x ? ? +6 在 x = 有最大值, 4? 2? 2

2

1 5 ? x ? 时,函数单调增加。 2 2 ???? ???? ? 9 5 ∴ AN ? AM 在 x = 时有最小值 2;在 x = 时有最大值 5。 2 2 ???? ???? ? ∴ AN ? AM 的取值范围是 ? 2,5? 。版权归锦元数学工作室,不得转载】
∴在

??? ??? ? ? 例 6. (2012 年北京市理 5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 l,点 E 是 AB 边上的动点。则 DE ? CB 的值为


??? ??? ? ? ; DE ? DC 的最大值为



【答案】1;1。 【考点】平面向量的运算法则。 【解析】如图,根据平面向量的运算法则,得

??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? DE ? CB=DE ? DA ? DE ? DA cos ? 。

??? ? ???? ??? ??? ???? 2 ? ? ∵ DE cos ? = DA ,正方形 ABCD 的边长为 l,∴ DE ? CB= DA =1。
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 又∵ DE ? DC= DE ? DC cos ? = DE cos ? , ??? ? ??? ? 而 DE cos ? 就是 DE 在 DC 上的射影,要使其最大即要点 E 与点 B
重合,此时 ? =450 。

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ∴ DE ? DC 的最大值为 DE cos ? = DC =1 。
例 7. (2012 年浙江省理 4 分)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 ,则 AB ? BC ? ▲ .

??? ??? ? ?

【答案】 ?16 。 【考点】平面向量数量积的运算。 【解析】此题最适合的方法是特殊元素法: 如图,假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形, AM=3,BC=10,由勾股定理得 AB=AC= 34 。
34 ? 34 ? 100 16 ?? , 2 ? 34 34 ??? ???? ? ??? ???? ? ∴ AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16 。

则 cos∠BAC=

? 例 8.(2012 年湖南省文 5 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, AP ? 3 , A C 且 则 PA
▲ .

?? ?? ?

=

【答案】18 【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。 【解析】设 AC ? BD ? O ,则

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? AC ? 2( AB ? BO) AP?AC = AP? 2( AB ? BO) ? 2 AP?AB ? 2 AP?BO
??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? ? 2 AP?AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 。
七 、数形结合思想在立体几何问题中的应用:立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面 的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年北京市理 5 分)某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是【 A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5 】

【答案】 B。 【考点】三棱锥的三视图问题。 【解析】如下图所示。图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过 勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系、等腰三角形 的性质和三角形面积公式,可得:

1 1 1 1 S S底 = ? ? 2 ? 3? ? 4=10, 后 = ? ? 2 ? 3? ? 4=10,S右 = ? 4 ? 5=10,S左 = ? 2 5 ? 2 2 2 2
这里有两个直角三角形,一个等腰三角形。 ∴该三梭锥的表面积是 30 ? 6 5 。故选 B。

? 41? ? ? 5 ? =6
2 2

5

例 2. (2012 年四川省理 5 分)如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂 线交半球面于点 A , 过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球面相交, 所得交线上到平面 ? 的距
?

离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为【
?



A B D P α C O

A、 R arccos 【答案】A。

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

【考点】球面距离及相关计算,向量和反三角函数的运用。 【解析】要求 A 、 P 两点间的球面距离,由于 OA ? OP ? R ,故只要求得 ?AOP 即可。从而可求出 AP 即 可求(比较繁)或用向量求解: 如图,以 O 为原点,分别以 OB 在平面 ? 上的射影、 OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴。 过点 P 作 OB(即面 OBx ) 的垂线 PE , 分别过点 B, E 作 x 轴 的垂线 BH , EF 。 ∵ ?BOP ? 60 ,∴ PE ?
?

3 1 R, OE ? R 。 2 2
? ?

∵面 CDB 与平面 ? 的角为 45 ,即 ?BOx ? 45 , ∴ OH ? BH ?

2 2 R 。∴ OF ? EF ? R。 2 4

∴ A ? 0, 0, R ? , P ?

? 2 3 ? 4 R, 2 R, ?

2 ? R ?。 4 ? ?

???? ??? ? AO ? PO 2 2 2 ∴ COS ?AOP ? 。∴ ?AOP ? arccos 。∴ ? ? R ? arccos 。故选 A。 ? AP 2 R 4 4 4
例 3.(2012 年重庆市理 5 分)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为

2 的棱异面,则 a 的取值范围是【
(A) (0, 2) 【答案】A。 (B) (0, 3)

】 (C) (1, 2) (D) (1, 3)

【考点】异面直线的判定,棱锥的结构特征,勾股定理和余弦定理的应用。 【分析】 如图所示, 设四面体 ABCD 的棱 AC 长为 a , BD 中点 P, 取 连接 AP, CP , 所以 AP ? BD, CP ? BD , 在 Rt?ABP 中,由勾股定理得 AP ? CP = ∴在 ?ACP 中,

2 。 2

AC 2 ? a 2 ? AP2 ? CP2 ? 2 AP ? CP cos?APC ? 1 ? cos ?APC 。
∵ ?APC ? (0,? ) ,∴ cos ?APC ? (?1,1) 。∴ a 2 ? (0, 2) ∴ a ? (0, 2) 。故选 A。 例 4. (2012 年上海市理 4 分)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2 , c 且 AB+BD ? AC+CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 ▲ .

【答案】

2 c a2 ? c2 ?1 。 3

【考点】四面体中线面的关系,椭圆的性质。 【解析】作 BE ? AD 于 E ,连接 CE ,则 ∵ BC ? AD , BE ? BC ? B ,∴ AD ⊥平面 BEC 。 又∵ CE ? 平面 BEC ,∴ CE ? AD 。 由题设, AB+BD ? AC+CD ? 2a ,∴ B 与 C 都在以 AD 为焦距的椭球上,且 BE 、 CE 都垂直于 焦距所在直线 AD 。∴ BE = CE 。

取 BC 中点 F ,连接 EF , ∵ BC ? 2 ,∴ EF ⊥ BC , BF ? 1 , EF ? BE 2 ? 1 。 ∴ S?BEF ? 1 BC ? EF ? BE 2 ? 1 。
2

1 2c ∴四面体 ABCD 的体积 V ? S?BEC ? AD ? BE 2 ? 1 。 3 3
显然,当 E 在 AD 中点,即 B 是短轴端点时, BE 有最大值为 b ? a 2 ? c 2 。

2c 2 2 a ? c ?1 。 3 例 5. (2012 年四川省理 4 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中点,
∴ Vmax ? 则异面直线 A1 M 与 DN 所成角的大小是 ▲
D1 A1 B1 N D M A B C


C1

【答案】90? 。 【考点】异面直线夹角问题。 【解析】如图,以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直 角坐标系 D — xyz .设正方体边长为 2,则 D (0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0) A1(2,0,2)

( ), ( ? ∴ DN ? 0,2,1 MA1 ? 2, 1,2) 。

MA ∴cos< ? DN, 1 ? ?

DN ? MA1 = 0。 | DN || MA1 |

∴ DN ? D1M ,即异面直线 A1 M 与 DN 所成角为 90? 。 例 6. (2012 年上海市理 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; 分) (6 (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分)

【答案】解: (1)∵PA⊥底面 ABCD,CD ? 底面 ABCD,∴PA⊥CD。 又∵AD⊥CD,∴底面 ABCD⊥平面 PAD。 又∵CD ? 底面 ABCD,∴CD⊥平面 PAD。 又∵PD ? 平面 PAD,∴CD⊥PD。 ∵PD= 2 ? ( 2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

1 ∴三角形 PCD 的面积为 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 。 2
(2)如图所示,建立空间直角坐标系。 则A (0, 0) B(2, 0, 0), 0, , C(2, 2 2 ,0), E(1, ??? ? ??? ? ∴ AE= 1, 2, 1 ,BC ? 0, 2 2, 0 ,
2 , 1)。

?

?

?

?

? ??? ? ??? 设 AE 与 BC 的夹角为 ? , ??? ??? ? ? AE ? BC 则 cos? = ??? ??? = ? ? AE ? BC 12 +
∴?=

0+4+0
2

? 2?

+12 ?

?2 2 ?

2

=

4 2?2 2

=

2 。 2

?
4

,即异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是

? 。 4

【考点】直线与直线、直线与平面的位置关系,异面直线间的角,勾股定理。 【解析】 (1)要求三角形 PCD 的面积,由于底边 CD 已知,只要找并求出底边 CD 上的高即可。由线面、 面面垂直的判定和性质,可证 CD⊥PD,从而根据勾股定理求出 PD 即可求得三角形 PCD 的面积。

? ??? ? ??? (2)建立空间直角坐标系,即可表示出各点坐标,从而用向量表示 AE 和 BC ,即可直接用公式
求二者之间的夹角余弦,从而求出二者之间的夹角。 本题不用向量的解法:取 PB 中点 F,连接 EF、AF, 则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的 角。 在△AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2,

? 。 4 ? 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 。 4
知△AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= 例 7. (2012 年北京市理 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

【答案】解: (1)∵CD⊥DE,A1E⊥DE, ,∴DE⊥平面 A1CD。 又∵A1C ? 平面 A1CD ,∴A1C⊥DE。 又∵A1C⊥CD,∴A1C⊥平面 BCDE。 (2)如图建立空间直角坐标系 C-xyz ,则 B(0,3,0) ,C(0,0,0) ,D(-2,0,0) ,E(-2。2。0) 1(0,0, 2 3 ) ,A 。

???? ? ???? ∴ A1B ? 0, 3,? 2 3 , BE ? ? ?2,? 1, 0 ? 。

?

?

? 设平面 A1BE 法向量为 n= ? x,y,z ? ,

? 3 ???? ? ? ?z= y ?A1B ? n=0 ?3y ? 2 3z=0 ? ? ? 2 则 ? ???? ? ,即 ? ,∴ ? 。 ??2x ? y=0 ? BE ? n=0 ? ? x= ? 1 y ? ? 2 ?
? ∴ n= ?1,2, 3

?

?

???? ? 又∵M 是 A1D 的中点,∴M(-1,0, 3 ) 。∴ CM ? ?1, 0, 3 。

?

?

设 CM 与平面 A1BE 法向量所成角为 ? ,则

???? ? ? CM ? n 1? 0 ? 3 2 cos ? = ???? ? = = ? 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 CM ? n
∴ ? =450 。 ∴CM 与平面 A1BE 所成角为 900 ? 450 =450 。 (3)设线段 BC 上点 P,设 P 点坐标为 ? 0,p,0 ? ,则 p ? ?0, 3? 。

???? ? ???? 则 A1P ? 0, p,? 2 3 , DP ? ? 2,P, 0 ?

?

?

? 设平面 A1DP 法向量为 n1 = ? x1,y1,z1 ?

?py ? 2 3z1 =0 ? 则? 1 ?2x1 ? py1 =0 ?

? 3 ?z1 = py1 ? ? 6 ∴? 。∴ n1 = ?3p, 6, 3p 。 ? x = ? 1 py ? 1 2 1 ?

?

?

? ? 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 n ? n1 =0 ,即

3p ? 12 ? 3p=0 ,解得 p= ? 2 。
与 p ? ?0, 3? 不符。 ∴线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直。 【考点】线面垂直的判定,线面角的计算,两平面垂直的条件。 【解析】(1)根据线面垂直的判定进行判定。 (2)建立空间直角坐标系可易解决。 (3)用反证法,假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,得出与已知相矛盾的结论即可。 例 8. (2012 年天津市理 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB 丄

BC , ?ABC =450 , PA=AD=2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 ,求 AE 的长.
0

【答案】解:(Ⅰ)证明:如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系,

? 1 1 ? 则 A(0, 0) D(2, 0) C (0, 0) B ? ? , , 0 ? , 0, , 0, , 1, , ? 2 2 ?

P (0,0,2)
??? ? ???? (,, ), (, ) ∴ PC ? 0 1 ? 2 AD ? 2 0,0 。
??? ???? ? ∴ PC ? AD ? 0 。所以 PC 丄 AD 。

??? ? ???? (,, ), (, ) (Ⅱ)由(Ⅰ), PC ? 0 1 ? 2 AD ? 2 0,0 。
设平面 PCD 的一个法向量为 n ? x,y,z , ( )

? n ? PC ? 0 ? y ? 2z ? 0 则 ? , 即 ? 。 ? n ? CD ? 0 ?2 x ? y ? 0
取 z ? 1,则 n ? 1,2, ) ( 1 。 又平面 PAC 的一个法向量为 m ? 1 0,0 , (, ) ∴ cos m,n =

1 30 m?n 1 1 = = 。∴ sin m,n = 1 ? cos 2 m,n = 1 ? = 。 m?n 6 6 6 12 +22 +12

30 。 6 ??? ? 1 1 (Ⅲ)设 E 0 0,h h?[0, ,∴ BE ? ,? ,h 。 (, ), 2] ( ) 2 2 ??? ? 2 ,) 又∵ CD =( ,? 1 0 ,
∴二面角 A ? PC ? D 的正弦值为

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BE ? CD ∴ cos BE , CD ? ??? ??? ? ? ? BE ? CD

1+

1 2

1 2 +h ? 5 2

=cos300 ,即

3 10+20h
2

=

3 。 2

解得 h=

10 10 ,即 AE ? 。 10 10

【考点】用空间向量求平面间的夹角,用空间向量求直线间的夹角、距离,二面角的平面角及求法。

??? ? ???? ??? ???? ? 【分析】(Ⅰ) 以 A 为原点,建立空间直角坐标系,通过点的坐标得出 PC 和 AD ,求出 PC · =0 即可证 AD
明。 (Ⅱ)求出平面 PCD ,平面 PAC 的一个法向量,利用两法向量夹角求解。 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BE ? CD (Ⅲ) E 0 0,h h?[0, ,利用 cos BE , CD ? ??? ??? =cos300 ,得出关于 h 的方程求解即 (, ), 2] ? ? BE ? CD 可。 非向量解法: (Ⅰ)通过证明 AD ⊥平面 PAC 得出 PC 丄 AD 。 (Ⅱ) 如图 1 作 AH ? PC 于点 H , 连接 DH , AHD 为二面角 A ? PC ? D 的平面角. Rt?DAH ∠ 在 中求解即可。

(3)如图 2,因为∠ ADC <45° ,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点为 F , 连接 BE, EF ,故∠ EBF (或其补角)为异面直线 BE 与 CD 所成的角。在△ EBF 中,因为 EF < BE ,从 而∠ EBF =30° 由勾股定理用 AE 表示 BE, BF 的长。 , 在△ EBF 中由余弦定理得出关于 AE 的方程求解即 可。 例 9. (2012 年浙江省理 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面是边长为 2 3 的菱形, BAD ? 120? , ? 且 PA ? 平面 ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB , PD 的中点. (Ⅰ)证明: MN ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角 A ? MN ? Q 的平面角的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)如图,连接 BD。 ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD。 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD。 (Ⅱ)如图,建立坐标系: 则 A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0)。 设 Q(x,y,z), 则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z ), ? (? 3, 3, 6) 。 CP ? 2
? 2 ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6? ) , 3 2 ∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6? ) 。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3 3 , ,0), 2 2

由 OQ ? CP 即: Q(

????

??? ?

???? ??? ? 1 ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 3

2 3 2 6 ,2, )。 3 3
?

对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) 。 ∵ AM ? (?
???? ? ???? 3 3 , ,0),AN =( 3,0,0) , 2 2
? 3 ?a ? 3 ? ? 1 ? 3 1 。 ∴ n ? ( , ,0) 。 ?b ? 3 3 3 ? ?c ? 0 ? ?

???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? ∴ ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

1 同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,,? 6) 。

?

记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,

? ? n?v 10 则 cos ? ? ? ? ? 。 5 n?v

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【考点】线面平行的证明,建立坐标系求二面角。

10 。 5

【解析】(Ⅰ)连接 BD,由三角形中位线定理,得 MN∥BD,由 MN ? 平面 ABCD 即可得 MN∥平面 ABCD。 (Ⅱ)建立坐标系,由向量知识即可求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值。


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