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民大附中高一年级第二学期期末数学试题


民大附中高一年级第二学期期末数学试题
数 学 2013.06

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U 为实数集, A ? x x 2 ? 2 x ? 0 A. ?x | ?1 ? x ? 0? B. ?x | ?1 ? x ? 0?

?

2 BB ?? ?x ? ? ,, ?1? ,则? ?x |?x1 U (A∪B)=(



C. ?x | x ? 0?

D.? ) D. y ? 2? x ( D.
1 3

2.下列函数中,是偶函数且在区间 (0, ??) 内单调递减的函数是( A. y ? log2 x B. y ? ?
1 x

C. y ? x

3. 在区间[1,9]上随机取一实数, 则该实数在区间[4,7]上的概率为 A.
4 9



B.

3 8

C.

1 2

4.已知 S n 是各项为正的等比数列 ?an ? 的前 n 项的和, a3 ? a6 ? 数列 ?an ? 的公比为( A.
1 2

9 63 , S6 ? ,则等比 32 32

) B. ?
1 2

C.2

D. -2

5.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是 一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( A. 3? C.
3 ? 2


主视图 左视图

B. 2? D. 4?

俯视图

6.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( A.
2 5

) D.
9 10
9

B.

7 10

C.

4 5

甲 8

8 9

乙 3 3 7 9

2 1 0

-1-

7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题:

① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ;② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( A. ①③ ) B.①② C.③④ D. ②③

8.如图,半径为 2 的⊙O 与直线 MN 相切于点 P,射线 PK 从 PN 出发绕点 P 逆时针方 向旋转到 PM,旋转过程中,PK 交⊙O 于点 Q,设? POQ=x,弓形 PmQ 的面积为 S= f (x),那么 f (x)的图象大致是( )
S 4? 2? 4? 2? S 4? 2? 4? 2? S
M O P Q m N

S

O

?
A.

2?

x O

?
B.

2?

x O

?
C.

2?

x

O

?
D.

2?

x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.某路段检查站监控录像显示,在某段时间内有 2000 辆车通过该站,现随机抽取其 中的 200 辆进行车速分析, 分析结果表示为如图所示的频率分布直方图. 则图中 a= 估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于 90km/h 的约有 辆.
开始 S=1 k=1 k=k+1 k≤4? 否 输出 S S= k ? S 是



10.若某程序框图如右图所示,则输出的 S 的值是



结束

11.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的八个顶点在同一个球面上,且 AB2 ? BC 2 ? CC12 ? 1 ,则

-2-

其外接球的表面积为

.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 12.如果点 P 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所确定的平面区域内, O 为坐标原点,那么 PO ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

的最小值为______. 13.如图,四边形 ABCD 为正方形,PA= 2 ,PB=4, ?APB ? 45 ,则 AB=_______, PD=______.

D C A P B

14.设 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数,如 [0.3] ? 0 , [?0.4] ? ?1 .则在坐标平面内满 足方程 [ x] 2 ?[ y]2 ? 25 的点 ( x, y ) 所构成的图形的面积为 .

民大附中高一年级第二学期期末数学试题答题卷
-3-

姓名:

学号:

班级:

总分:

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

9.





10.



11.

.

12. __

___.

13.___

____;___

___. 14.



三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ? A 是锐角,且

3b ? 2a ? sin B .
(Ⅰ)求 ? A 的度数; (Ⅱ)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 b 2 ? c 2 的值.

16. (本小题共 13 分)

-4-

已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a4 ? 81 (n ? N* ) . (Ⅰ)若 ?bn ? 为等差数列,且满足 b2 ? a1 , b5 ? a2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
? 1 ? (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

17. (本小题共 13 分)
-5-

围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙 需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口. 已知旧墙的维修费用为 45 元/ m ,新墙的造价为 180 元/ m ,设利用旧墙的长度为 x (单 位:m). (Ⅰ)将修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ)当 x 为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最小?并求出最小总费用.

18. (本小题共 14 分)
-6-

某中学高中学生有 600 名,学校要从中选出 6 名同学作为国庆 60 周年庆祝活动的 志愿者.已知高一有 300 名学生,高二有 200 名学生,高三有 100 名学生.为了保证每 名同学都有参与的资格,学校采用分层抽样的方法抽取. (Ⅰ)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数; (Ⅱ)若再从这 6 名同学中随机的抽取 2 人作为活动负责人,求抽到的这 2 名同学 都是高一学生的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求抽到的这 2 名同学不是同一年级的概率.

19. (本小题共 14 分)
-7-

如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=AC=BC=2,点 C 在面 ABB1 A1 上的正投 影为 O,且 AB1

A1B ? O .

(Ⅰ)求证:四边形 ABB1 A1 是矩形; (Ⅱ)在线段 CC1 上是否存在一点 M,使得 OM ∥平面 ABC ?并说明理由; (Ⅲ)若平面 ACB1 ? 平面 BCA1 ,求该三棱柱的体积.

C A1 O B B1

C1

A

20. (本小题共 13 分)
-8-

若数列 An : a1, a2 , ???? an (n ? 3) 满足 an ?1 ? an ?

? ,则称 An 为 D 数列.记 ?n ??

S ( An ) ? a1 ? a2 ???? ? an .
(Ⅰ)若 a1 ? 1 ,写出一个 D 数列 A5 ; (Ⅱ)是否存在非零实数 a1 ,使得 D 数列 An 为等比数列,若存在,求 D 数列 An 的 通项公式;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) (ⅰ)对于给定的偶数 n0 ,证明: S ( An0 ) 是与 a1 无关的常数; (ⅱ)当 n ? 3 时, S ( An ) ?
1 恒成立,求 a1 的取值范围. 2

一、选择题:
-9-

1.A

2. D

3. B

4.A 5.C

6. C 7.D

8.D

二、填空题: 9.0.02;600 10.24 11. ? 12.
2 5 5

13.

10 , 2 5

14.12

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. 解: (Ⅰ)∵ 3b ? 2a ? sin B ,∴由正弦定理知: 3 sin B ? 2 sin A ? sin B , ∵ B 是三角形内角,∴ sin B ? 0 ,从而有 sin A ?
3 ,∴ ? A = 60o 或 120o , 2

∵ ? A 是锐角,∴ ? A = 60o .??????????????6 分

? ? 2 2 2 7 ? b ? c ? 2 bc cos ? ? 3 (Ⅱ)∵ ? ?10 3 ? 1 bc sin ? ? 2 3 ?

∴ bc ? 40 , b 2 ? c 2 ? 89 .???13 分

16. 解: (Ⅰ)在等比数列 {an } 中, a1 ? 3, a4 ? 81 . 所以,由 a4 ? a1q3 得 81 ? 3q3 ,即 q3 ? 27 , q ? 3 . 因此, an ? 3 ? 3n?1 ? 3n . 在等差数列 {bn } 中,根据题意, b2 ? a1 ? 3, b5 ? a2 ? 9 可得, d ?
b5 ? b2 9 ? 3 ? ?2 5?2 3

---------------2 分 ----------------4 分 --------------------6 分 ---------------------7 分 ---------------------8 分 ------------------10 分
? 1 n(n ? 1)

所以, bn ? b2 ? (n ? 2)d ? 3 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ? 1 (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an ,则 bn ? log3 3n ? n , 因此有
1 1 ? ? b1b2 b2 b3 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? bn bn ?1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 3 4

1 1 ?( ? ) -----12 分 n n ?1

?1?

1 n . ? n ?1 n ?1

----------------------13 分

17.解: (Ⅰ)设矩形的另一边长为 am ,

- 10 -

则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 . 由已知 ax ? 360 ,得 a ? 所以 y ? 225 x ?
360 , x

3602 ? 360( x ? 2) . x

??????????6 分

(不写 x>2 扣 1 分) (II)因为 x ? 0 ,所以 225 x ?
3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 , x

所以 y ? 225 x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440 ,当且仅当 225 x ? 时,等号成立.?12 分 x x

即当 x ? 24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.????13 分 18. 解: (Ⅰ)样本容量与总容量的比为 6: 600 ? 1:100 则高一、高二、高三应分别抽取的学生为
300 ? 1 1 1 ? 3 (人) ? 2 (人) ? 1 (人).------ 4 分 , 200 ? , 100 ? 100 100 100

(Ⅱ)设“抽到的这 2 名同学是高一的学生为事件 A” 则 P ( A) ?
3 1 ? . 15 5

------ 8 分

(Ⅲ)设“抽到的这 2 名同学不是同一年级为事件 B” 则 P( B) ?
11 . 15

------ 13 分

19. 【证明】: (1)因为 CO⊥面 ABB1 A1 , BC=AC, 所以 AO=BO, 又因为 AO=OB1=BO= OA1, 所以, 四边形 ABB1 A1 是矩形.

C A E B O

M A1

C1

B1

(2)在线段 CC1 上存在一点 M,使得 OM ∥平面 ABC , 点 M 为线段 CC1 的中点. 设 AB 的中点为 E,连接 CE,EO,OM,则由已知条件,得 CM∥EO, CM=EO,所以四边形 CEOM 是平行四边形,则

- 11 -

CE∥OM, OM?平面 ABC, CE?平面 ABC, 所以 OM ∥平面 ABC . (3)因为平面 ACB1 ? 平面 BCA1 ,平面 ACB1 平面 BCA1 =CO,且 BO?CO,

所以 BO?平面 ACB1 ,故 BO?AO,因此四边形 ABB1 A1 是正方形,则 CE= 3 ,EO=1,CO= 2 ,
1 4 2 四棱锥 C ? ABB1 A1 的体积 V0 ? ? 22 ? 2 ? , 3 3 3 3 4 2 又三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? V0 ? ? ?2 2, 2 2 3

故该三棱柱的体积为 2 2 .
5 19 53 163 20.【解析】 : (Ⅰ) A5 :1, ? , , ? , . 9 27 81 243 ? ? ? an ?1 ? an ? n ? ? ? an (Ⅱ)由 ?1 ? an ? n ? ? ?n ? ? ?

??

? a?n1

? ? ?n

??

? a? n

? ? ?n

? an?1 ?

? ?? ? ? ? ? an ? n ? , n ?? ? ? ? ?

? ? ? ? 当 a1 ? 时, a1 ? ? 0 ,此时 an ? n ? 0 ? an ? n , ? ? ? ? ? ? 故存在 a1 ? ,使得 D 数列 An 为等比数列,其通项公式为 an ? n . ? ?

1? 1 ? 1? 1? (Ⅲ) (ⅰ) S ( An ) ? ?1 ? n ? ? ? a1 ? ? [1 ? (?1) n ] . 2? 3 ? 2? 3?

(ⅱ)当 n 为偶数时, S ( An ) ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ??? (an?1 ? an )
n ? ? 1 ? ? 1 ?2 ? 1? ? ? 32 ? ? 32 ? ? 4 4 4 ? ? 1 ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 , ? 2 ? 4 ??? n ? 4 ? ? ? ? 1 3 3 3 2 ? 3n ? 2 2 ? 3n 1? 2 3

显然, S ( An ) ?

1 恒成立,且与 a1 的取值无关; 2

当 n 为奇数时, S ( An ) ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? ??? (an?1 ? an )

- 12 -

n ?1 ? ? 1? ?1?2 ? 1 ? ? ? 33 ? ? 32 ? ? 4 4 4 ? ? a1 ? 3 ? 5 ??? n ? a1 ? 4 ? ? 1 3 3 3 1? 2 3

1 ?1 ? 1 ?? 1?1 1 ? ? a1 ? ? ?1 ? n?1 ?? ? a1 ? ? ? n ? , 2 ? 3 ? 3 ?? 2?3 3 ?
欲使 S ( An ) ?
1 1?1 1 ? 1 1 1 恒成立,则 a1 ? ? ? n ? ? ? a1 ? ? , 2 2?3 3 ? 2 3 2 ? 3n

1 所以, a1 ? 即可. 3

1? ? 综上, a1 的取值范围是 ? ??, ? . 3? ?

- 13 -


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