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笔记(高中数学复习6—计数原理)


高中数学复习 6—计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m+n 例 1 一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近 路线共有多少条? 分步乘法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. 例 1.设某班有男生 30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代 表班级参加比赛,共有多少种不同的选法? 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某 一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色 方案有多少种?

3

综合应用 例 1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的 文艺书,第 3 层放 2 本不同的体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 例 2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边 墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法? 例 3.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车 牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都 必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母 必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照? 例 4.一个字节共有 8 位, 每位上有 2 种选择. 根据分步乘法计数原理, 8 一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 2 =256 个不同的字符;

练习 1.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数字是 不变的,后四位数字都是。到 9 之间的一个数字,那么这个电话局不同的 电话号码最多有多少个? 2.从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名,有多少种不同的选法? 3.某商场有 6 个门,如果某人从其中的任意一个门进人商场,并且要求从 其他的门出去,共有多少种不同的进出商场的方式? 4.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到 丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种 不同的走法? 5.书架上放有 3 本不同的数学书,5 本不同的语文书,6 本不同的英语书. (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的 取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法? 6.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同 一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180
② ① ③ 图一

B. 160


C. 96


D. 60

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① ③ ④ ② 图二 ③ ④



图三

若变为图二,图三呢? 7.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多 少?又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种? 8.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分

排列 例 1.(课本例 2).某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加,每队 要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛? 例 2.(课本例 3).(1)从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同 的送法? 例 3.(课本例 4).用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的 三位数? 例 4.(1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有 多少种不同的送法?(2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人 各 1 本,共有多少种不同的送法? 例 5.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号, 每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共 可以表示多少种不同的信号? 例 6.将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆 汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 例 7.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 例 8.(1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? (2)7 位同学站成两排(前 3 后 4),共有多少种不同的排法?(3)7 位 同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 例 9.从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独 唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 例 10. 7 位同学站成一排, (1) 甲、 乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3)甲、乙两同学必 须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 例 11.7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?(2)甲、乙和丙三个同 学都不能相邻的排法共有多少种? 例 12.5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法:(1)男女相间; (2)女生按指定顺序排列
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组合 例 1.判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之 间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(2) 高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?(3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的 选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?(4)10 个人互相通 信一次,共写了多少封信?(5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 例 2.求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n n?m
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x?1 2 x?3 例 3.设 x ? N ? , 求 C2 x?3 ? C x ?1 的值

例 4. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过 比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问:(l) 这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选 出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做 这件事情? 例 5.(1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 例 8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中 任意抽出 3 件 . (1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有 多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种? 例 9.(1)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种 不同的分法?(2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议, 要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加,有多少种选法? 例 10. 4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组, 问组成方法共有多少种?
m m m?1 2.组合数的性质 2: Cn . ?1 = C n + C n

例 6.一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法?(3)从 口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
x ?1 2 x ?3 例 7.解方程:(1) C13 ;(2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ? ? C13
x?2 x ?3

1 3 Ax ?3 . 10

二项式定理 二项式定理:
0 n 1 n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? )

例 5.(1)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式常数项; x

例 6.(1)求 (1 ? 2 x)7 的展开式的第 4 项的系数;
3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

1 x

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例 7.求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数 例 8. 已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?
m
2

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n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系
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数为 36 ,求展开式中含 x 项的系数最小值 例 9. 已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中, 前三项系数的绝对值依次成等差数列,

(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项
n

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例 1.在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项 式系数的和
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例 2. 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
2 10

求: (1) a1 ? a2 ? ? a7 x7 ,

? a7 ;

(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) | a0 | ? | a1 | ?
3

? | a7 | .
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例 3.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数 例 6. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?
2 3

? ?1 ? x ? ?
n
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a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? an xn ,

当 a0 ? a1 ? a2 ?
1 n

? an ? 254 时,求 n 的值
2 n 3 n n n

例 7.求证: C ? 2C ? 3C ?

? nC ? n ? 2n?1 .

例 9.已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x ? 1 ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的 项.
x


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