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2015-2016学年河南京翰教育高三数学(文科)一模考试卷

洛阳市 2015—2016 学年度高三年级统一考试

数学试题(文 A)
注意:本试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时间 120 分钟,满分 150 分,学生 应先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上用蓝色笔或者黑色笔作答, 在试 题卷上作答无效,交卷时交答题卡。

题号 分数







总分

一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分,每小题只有一个正确选项)
1、已知集合 M={x|x≥x },N={y|y=2 ,x∈R},则 M∩N=( A. (0,1) B. [0,1] C. [0,1) D. (0,1]
2 x



2、已知复数 z=3+4i,z 表示复数 z 的共轭复数,则

z i

=(

)

A.

5

B.5

C.

6

D.6

3、下面程序运行后,输出的值是(

)

A.4

B.5

C.6

D.7

4、 设变量 、 满足约束条件

, 则目标函数

的最小值为 (



A.

B.

C.

D.

5、 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A.

B.

C.

D.

6、在△ABC 中“ A.充分不必要条件

”是“△ABC 为直角三角形”的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7、把 1,3,6,10,15,21 这些数叫作“三角形数”,这是因为这些数目的点可以排成一个正 三角形(如图所示),则第七个三角形数是( )

A.27

B.28

C.29

D.30

8、已知

是定义在

上的奇函数,且当

时不等式

成立,若



,则

大小关系是

A.

B.

C.

D.

9、在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= 仅有一个零点的概率为

1 3 x +ax-b 在区间[-1,1]上有且 3

(A)

(B)

(C)

(D)

10、设曲线 y= x 前 10 项和等于 (

n2 ?n

( )

)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则数列{ xn }

A、

B、

C、

D、

11、设 F 为抛 物线 y =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 | 为 ( A.3 B.4 ) C.5 |+| |+| |的值

2

+

+

=0,则

D.6

12、点 : 是

到图形

上每一个点的距离的最小值称为点 ,那么平面内到圆

到图形

的距离. 已知点

,圆

的距离与到点

的距离之差为 1 的点的轨迹

(A)双曲线的一支

(B)椭圆

(C)抛物线

(D)射线

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)

13、直线 y=kx+b 与曲线 y= x +ax+1 相切于点(2,3),则 b 的值为___________.

3

14、数列

?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,则 an =



15、命题 A:|x-1|<3,命题 B:(x+2)(x+a)<0;若 A 是 B 的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是 .

16、 如图, 在 ?ABC 中, ∠B=45°, D 是 BC 边上一点, AD=5, AC=7, DC=3, 则 AB 的长为________.

三、简答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,已知 a=csinB+bcosC. (1)求 A+C 的值;

(2)若 b=

2 ,求△ABC 面积的最大值.

18、 (满分 12 分)如图,直三棱柱 上一点,且 .

中,





中点,



(1)求证:



(2)若

,求三棱锥

的体积.

19、(满分 12 分)在某次数学测试中,记答对题数:大于或等于 6 道为合格,小于 6 道为不合 格,现从 A,B 两个班级随机抽取 5 人答对的题数进行分析,结果记录如下:

A班 B班

5 m

5 4

8 7

8 n

9 8

由于表格受损,数据 m,n 看不清,统计人员只记得 m<n,且在抽取的数据中,A 班的平均数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同 (1)求表格中 m 和 n 的值; (2)若从抽取的 B 班 5 人中任取 2 人,求 2 人都合格的概率.

20、 (满分 12 分) 已知双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3 , a2 b2

过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程;

(2)若△F1AB 的面积等于 6

2 ,求直线 l 的方程.

21、(满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? c ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x ) 取得极值 ?

(2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 ?0,1 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请 写清题号
22、 如图所示,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB,交圆 于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连接 PB 交圆 O 于点 D,若 MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

23、在直角坐标系 xoy 中,曲线 c 的参数方程为

为参数),以该直角坐标系的原点 .

为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 p 的方程为 (Ⅰ)求曲线 c 和曲线 p 的普坐标方程; (Ⅱ)设曲线 c 和曲线 p 的交点为 A、B,求

AB .

24、已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1) 当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2) 若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题
1、D 2、B 3、B 4、B 5、C6、A7、B 8、D 9、A 10、A 11、D 12、D

二、填空题

13、—15

14、

15、(-∞,-4)

16、

三、简答题

17、 解:(1)由正弦定理得到:sinA=sinCsinB+sinBcosC, ∵在△ABC 中,sinA=sin[π ﹣(B+C)]=sin(B+C), ∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC, ∴cosBsinC=sinCsinB, ∵C∈(0,π ),sinC≠0, ∴cosB=sinB,即 tanB=1, ∵B∈(0,π ),

∴B=

,即 A+C=



(2)由余弦定理得到:b =a +c ﹣2accosB,即 2=a +c ﹣

2

2

2

2

2

ac,

∴2+

ac=a +c ≥2ac,即 ac≤

2

2

=2+



当且仅当 a=c,即 a=c=

时取“=”,

∵S△ABC= acsinB=

ac,

∴△ABC 面积的最大值为



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键.

18、(1)证明:∵

是直三棱柱























(2)

?





为三棱锥

的高



19、解:(1)A 班平均数为

=7,方差为 = ,

∵A 班的平均数比 B 班的平均数多 1 道题,两班数据的方差相同



由 m<n,解得 m=4,n=7 (2)由(1)的结果可知,B 班 5 个人中,2 人不合格,3 人合格,分别设为 a,b,1,2,3, 从 B 班 5 人中任抽取 2 人共有 10 中情况:ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23 其中满足条件的有:12,13,23,

故两人都合格的概率为



点评: 本题考查了平均数与方差的公式,以及随机事件的概率.

20、解:(1)依题意,b=

, =2? a=1,c=2,

∴双曲线的方程为 x - =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意, 故可设直线 l:y=k(x-2),

2

由 消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0,
2 2 2 2

k≠±

时,x1+x2=

,

x1x2=

,

y1-y2=k(x1-x2), △F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|?|x1-x2|

=2|k|?

=12|k|?

=6

.

得 k +8k -9=0, 则 k=±1. 所以直线 l 方程为 y=x-2 或 y=-x+2.

4

2

21、解:

(1)由已知得

,令

,得

,

要取得极值,方程

必须有解,

所以△

,即

,

此时方程

的根为

,

,

所以



时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x1) + 增函数

x 1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

所以

在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.



时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x2) - 减函数

x 2 0 极小值

(x2,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,+∞) - 减函数

所以

在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

综上,当

满足

时,

取得极值.

(2)要使

在区间

上单调递增,需使



上恒成立.



恒成立,

所以



,

,







(舍去),



时,

,当



,

单调增函数;





,

单调减函数,

所以当

时,

取得最大,最大值为

.

所以



时,

,此时

在区间

恒成立,所以

在区间

上单调递增,当



最大,最大值为

,所以

综上,当

时,

;



时,

22、证明:(1)∵PM 是圆 O 的切线,NAB 是圆 O 的割线,N 是 PM 的中点,

∴MN2=PN2=NA?NB, ∴

=

,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP, ∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA. ∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC, ∴∠MAP=∠PAB, ∴△APM∽△ABP. (2)∵∠ACD=∠PBN, ∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM, ∴PM∥CD, ∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA, ∵PM 是圆 O 的切线,∴∠PMA=∠MCP, ∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC, ∴MC∥PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形.

23、(I)由题意知曲线

的普通方程为:

曲线 P 的普通方程为:

(II)曲线 P 的圆心

到直线



的距离

24、解:(1) 当 a=-3 时,f(x)≥3|x-3|+|x-2|≥3



x≤1 或 x≥4. (2) 原命题 f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立 |x+a|+2-x≤4-x 在[1,2]上恒成立-2-x≤a ≤2-x 在[1,2]上恒成立-3≤a≤0.


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