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岢岚县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

岢岚县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图在圆 O 中, AB , CD 是圆 O 互相垂直的两条直径,现分别以 OA , OB , OC , OD 为直径作四个 圆,在圆 O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( A )

姓名__________

分数__________

D

O B

C

A.

1

?

B.

1 2?

C.

1 1 ? 2 ?

D.

1 1 ? 4 2?

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法,借助圆这个载体,突出了几何概型的基本运算能力,因用到圆的 几何性质及面积的割补思想,属于中等难度. 2. 在复平面内,复数(﹣4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? ?20 ,在区间 ? 3,5? 内任取一个实数作为数列 ?an ? 的公差,则 Sn 的最小值仅为 S6 的概率为( A. ) C. )

1 5

B.

1 6

3 14

D.

1 3


4. 已知偶函数 f(x)=loga|x﹣b|在(﹣∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系是( A.f(a+1)≥f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2) C.f(a+1)≤f(b+2) D.f(a+1)<f(b+2) )

5. 有一学校高中部有学生 2000 人,其中高一学生 800 人,高二学生 600 人,高三学生 600 人,现采用分层 抽样的方法抽取容量为 50 的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( A.15,10,25 B.20,15,15 C.10,10,30 D.10,20,20

6. 对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a,b]中的任意数 x 均有|f(x)﹣g
2 (x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x ﹣3x+4

与 n(x)=2x﹣3 在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是( A.[3,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[2,3]



7. 函数 y=|a|x﹣

(a≠0 且 a≠1)的图象可能是(



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A.

B.

C.

D.

8. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 别为( ) D.x= ,y=1

+

,则 x、y 的值分

A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y=

9. 设集合 S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( A.﹣3<a<﹣1 10.若复数 z= A.3 B.6 B.﹣3≤a≤﹣1 C.a≤﹣3 或 a≥﹣1 D.a<﹣3 或 a>﹣1 )



(其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则 a=( C.9 D.12

11.若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象的对称轴方程是( A. x ? 1 B. x ? ?1
2

)111.Com] D. x ? ?2 ,则下列判断:①p 且 q )

C. x ? 2

12.已知命题 p;对任意 x∈R,2x ﹣2x+1≤0;命题 q:存在 x∈R,sinx+cosx= 是真命题;②p 或 q 是真命题;③q 是假命题;④?p 是真命题,其中正确的是( A.①④ B.②③ C.③④ D.②④

二、填空题
13.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 结论的序号是 .
k k+1

)”;其中所有正确

14.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 .

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3 15.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ,若曲线 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线经
2 过圆 C : x ? ? y ? a ? ? 2 的圆心,则实数 a 的值为__________. 2

?

?

16.若关于 x,y 的不等式组 k= .

(k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则

17.如图,已知 m , n 是异面直线,点 A , B ? m ,且 AB ? 6 ;点 C , D ? n ,且 CD ? 4 .若 M , N 分 别是 AC , BD 的中点, MN ? 2 2 ,则 m 与 n 所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能 力. 18.已知函数 ,则 __________; 的最小值为__________.

三、解答题
19.如图所示,两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB , M ? AC , N ? FB ,且

AM ? FN ,求证: MN / / 平面 BCE .

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20. 本小题满分 12 分如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 , 点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上. 点

E 与点 C 、D 不重合, EF ? AC , EF
平 面 ABFED . Ⅰ求 证 : BD ? 平 面 P O A;

AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ?

Ⅱ记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥 P ? BDEF 的 体 积 为 V2 ,且
D E A O F B C

P

V1 4 求此时线段 PO 的长. ? , V2 3

D A B F O

E C

21.【南京市 2018 届高三数学上学期期初学情调研】已知函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R. (Ⅰ)曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线的斜率为 3,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意 x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a>1,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为 M(a)、m(a), 记 h(a)=M(a)-m(a),求 h(a)的最小值.

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22.已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC. (1)求证:FG∥面 BCD; (2)设四棱锥 D﹣ABCE 的体积为 V,其外接球体积为 V′,求 V:V′的值.

,过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,

23.本小题满分 12 分 设函数 f ( x) ? e x ? a ln x Ⅰ讨论 f ( x ) 的导函数 f '( x) 零点个数; Ⅱ证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln a

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24.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 1111] 如图,点 C 为圆 O 上一点, CP 为圆的切线, CE 为圆的直径, CP ? 3 .

16 ,求 CE 的长; 5 (2)若连接 OP 并延长交圆 O 于 A, B 两点, CD ? OP 于 D ,求 CD 的长.
(1)若 PE 交圆 O 于点 F , EF ?

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岢岚县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 C 【解析】设圆 O 的半径为 2 ,根据图形的对称性,可以选择在扇形 OAC 中研究问题,过两个半圆的交点分别 向 OA , OC 作垂线,则此时构成一个以 1 为边长的正方形,则这个正方形内的阴影部分面积为

?

? ? 1 ,扇形 2

OAC 的面积为 ? ,所求概率为 P ? 2
2. 【答案】B 【解析】解:∵(﹣4+5i)i=﹣5﹣4i,

?1

?

?

1 1 ? . 2 ?

∴复数(﹣4+5i)i 的共轭复数为:﹣5+4i, ∴在复平面内,复数(﹣4+5i)i 的共轭复数对应的点的坐标为:(﹣5,4),位于第二象限. 故选:B. 3. 【答案】D 【解析】

考 点:等差数列. 4. 【答案】B 【解析】解:∵y=loga|x﹣b|是偶函数 ∴loga|x﹣b|=loga|﹣x﹣b| ∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|
2 2 2 2 ∴x ﹣2bx+b =x +2bx+b

整理得 4bx=0,由于 x 不恒为 0,故 b=0 由此函数变为 y=loga|x| 当 x∈(﹣∞,0)时,由于内层函数是一个减函数, 又偶函数 y=loga|x﹣b|在区间(﹣∞,0)上递增 故外层函数是减函数,故可得 0<a<1 综上得 0<a<1,b=0

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∴a+1<b+2,而函数 f(x)=loga|x﹣b|在(0,+∞)上单调递减 ∴f(a+1)>f(b+2) 故选 B. 5. 【答案】B 【解析】解:每个个体被抽到的概率等于 800× =20,600× =15,600× =15, = ,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

故选 B. 【点评】 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的 个体数,属于基础题. 6. 【答案】D
2 【解析】解:∵m(x)=x ﹣3x+4 与 n(x)=2x﹣3, 2 2 ∴m(x)﹣n(x)=(x ﹣3x+4)﹣(2x﹣3)=x ﹣5x+7. 2 令﹣1≤x ﹣5x+7≤1,

则有 ∴2≤x≤3. 故答案为 D.



【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组,本题的计算量不大,新定义也比较容易理解,属于基 础题. 7. 【答案】D 【解析】解:当|a|>1 时,函数为增函数,且过定点(0,1﹣ 当|a|<1 时且 a≠0 时,函数为减函数,且过定点(0,1﹣ 故选:D. 8. 【答案】C 【解析】解:如图, + 故选 C. + ( ). ),因为 0<1﹣ ),因为 1﹣ <1,故排除 A,B

<0,故排除 C.

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9. 【答案】A 【解析】解:∵S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R, ∴ 故选:A. 【点评】本题考查并集及其运算,关键是明确两集合端点值间的关系,是基础题. 10.【答案】A 【解析】解:复数 z= 由条件复数 z= 解得 a=3. 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 11.【答案】A 【解析】 试题分析:∵函数 y ? f ( x ? 1) 向右平移个单位得出 y ? f ( x) 的图象,又 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,对称轴方程 为 x ? 0 ,? y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? 1 .故选 A. 考点:函数的对称性. 12.【答案】D 【解析】解:∵命题 p;对任意 x∈R,2x ﹣2x+1≤0 是假命题, 命题 q:存在 x∈R,sinx+cosx= 故选 D. 是真命题, ∴①不正确,②正确,③不正确,④正确.
2

,解得:﹣3<a<﹣1.

=

=



(其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,得,18﹣a=3a+6,

二、填空题

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13.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …
m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ), m+1



∈(1,2],f(x)=2

﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9, n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2 ,2 故答案为:①②④. 14.【答案】 .
k k+1

)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

【解析】解:如图,将 AM 平移到 B1E,NC 平移到 B1F,则∠EB1F 为直线 AM 与 CN 所成角 设边长为 1,则 B1E=B1F= ∴cos∠EB1F= , 故答案为 ,EF=

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【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 15.【答案】 ?2 【解析】结合函数的解析式可得: f ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ?1 ,
3

对函数求导可得: f ' ? x ? ? 3x ? 2 ,故切线的斜率为 k ? f ' ?1? ? 3?1 ? 2 ? 1 ,
2 2

则切线方程为: y ? 1 ? 1? ? x ?1? ,即 y ? x ? 2 ,
2 圆 C : x ? ? y ? a ? ? 2 的圆心为 ? 0, a ? ,则: a ? 0 ? 2 ? ?2 . 2

16.【答案】 ﹣1 或 0 . 【解析】解:满足约束条件 的可行域如下图阴影部分所示:

kx﹣y+1≥0 表示地(0,1)点的直线 kx﹣y+1=0 下方的所有点(包括直线上的点) 由关于 x,y 的不等式组 (k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,

可得直线 kx﹣y+1=0 与 y 轴垂直,此时 k=0 或直线 kx﹣y+1=0 与 y=x 垂直,此时 k=﹣1 综上 k=﹣1 或 0 故答案为:﹣1 或 0

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【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式(组)与平面区域,其中根据已知分析出直线 kx﹣y+1=0 与 y 轴垂直或与 y=x 垂直,是解答的关键. 17.【答案】 【

5 12
解 析 】

18.【答案】 【解析】【知识点】分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】 当 当 故 时, 时, 的最小值为

故答案为:

三、解答题
19.【答案】证明见解析. 【解析】

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考点:直线与平面平行的判定与证明. 20.【答案】 【解析】Ⅰ证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO Ⅱ设 AO
PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . BD ? H .由Ⅰ知, PO ? 平面 ABFED ,

平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,

∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 及四棱锥 P? BDEF 的高,

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V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4 ∵ BD ? AC, EF ? AC , CO 2 S?CEF 1 ) ? ? , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴ ( CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , ∴ PO ? OC ? 3 . 2 2 2
21.【答案】(1)a=

1 1 8 (2)(-∞,-1- ].(3) 2 e 27

【解析】 f(x)+f(-x)=-6(a+1)x ≥12lnx 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,
2

(2)

所以-(a+1)≥ 令 g(x)=

2 ?1 ? 2lnx ? 2lnx ,x>0,则 g?(x)= . 2 x x3 令 g?(x)=0,解得 x= e .
当 x∈(0, e )时,g?(x)>0,所以 g(x)在(0, e )上单调递增; 当 x∈( e ,+∞)时,g?(x)<0,所以 g(x)在( e ,+∞)上单调递减. 所以 g(x)max=g( e )= 所以-(a+1)≥

2lnx . x2

1 , e

1 1 ,即 a≤-1- , e e 1 所以 a 的取值范围为(-∞,-1- ]. e
(3)因为 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,

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所以 f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),f(1)=3a-1,f(2)=4. 令 f ′(x)=0,则 x=1 或 a. f(1)=3a-1,f(2)=4.

②当

5 <a<2 时, 3

当 x∈(1,a)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,a)上单调递减; 当 x∈(a,2)时,f ?(x)>0,所以 f(x)在(a,2)上单调递增. 又因为 f(1)>f(2),所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(a)=-a3+3a2, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-(-a3+3a2)=a3-3a2+3a-1. 因为 h? (a)=3a2-6a+3=3(a-1)2≥0. 所以 h(a)在( 所以当 a∈(

5 ,2)上单调递增, 3

5 5 8 ,2)时,h(a)>h( )= . 3 3 27

③当 a≥2 时, 当 x∈(1,2)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,2)上单调递减, 所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(2)=4, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-4=3a-5,

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所以 h(a)在[2,+∞)上的最小值为 h(2)=1. 综上,h(a)的最小值为

8 . 27

点睛:已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法:(1)利用导数结合参数讨论函数最值取法,根据最值 列等量关系,确定参数值或取值范围;(2)利用最值转化为不等式恒成立问题,结合变量分离转化为不含参 数的函数,利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 22.【答案】 【解析】解: (1)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,FH, ∴GH∥BD,FH∥BC, ∴GH∥面 BCD,FH∥面 BCD ∴面 FHG∥面 BCD, ∴GF∥面 BCD (2)V= 又外接球半径 R= ∴V′= ∴V:V′= 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积,其中根据 E 点三条棱互相垂直,故 棱锥的外接球半径与以 AE,CD,DE 为棱长的长方体的外接球半径相等,求出外接球半径是解答本题的关键 点. 23.【答案】 【解析】:Ⅰ f '( x) ? e ?
x

π

a ,因为定义域为 (0, ??) , x

a x 有解 即 xe ? a 有解. 令 h( x) ? xe x , h '( x) ? e x ( x ? 1) , x 当 x ? 0, h '( x) ? 0, h(0) ? 0 ? h( x) ? 0 f '( x) ? 0 ? e x ?
所以,当 a ? 0 时, f '( x) ? 0, 无零点; 当 a ? 0 时,有唯一零点. Ⅱ由Ⅰ可知,当 a ? 0 时,设 f '( x) 在 (0, ??) 上唯一零点为 x0 , 当 x ? ( x0 , ??), f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( x0 , ??) 为增函数; 当 x ? (0, x0 ) , f '( x) ? 0, f ( x ) 在 (0, x0 ) 为减函数.

e x0 ?

a ? e x0 x0 ? a x0

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? f ( x0 ) ? e x0 ? a ln x0 ?

a a a a ? a ln x0 ? ? a(ln a ? x0 ) ? ? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a x0 e x0 x0 6 13 . 13

24.【答案】(1) CE ? 4 ;(2) CD ? 【解析】

试题分析:(1)由切线的性质可知 ?ECP ∽ ?EFC ,由相似三角形性质知 EF : CE ? CE : EP ,可得 CE ? 4 ; (2)由切割线定理可得 CP2 ? BP(4 ? BP) ,求出 BP, OP ,再由 CD ? OP ? OC ? CP ,求出 CD 的值. 1 试题解析: (1)因为 CP 是圆 O 的切线, CE 是圆 O 的直径,所以 CP ? CE , ?CFE ? 90 ,所以 ?ECP ∽ ?EFC ,
0

设 CE ? x , EP ? 所以 x ?
2

x2 ? 9 ,又因为 ?ECP ∽ ?EFC ,所以 EF : CE ? CE : EP ,

16 2 x ? 9 ,解得 x ? 4 . 5

考点:1.圆的切线的性质;2.切割线定理;3.相似三角形性质.

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