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高中数学配套同课异构1.5.1 曲边梯形的面积 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用
1.5.1 曲边梯形的面积

1.任何一个平面图形都有面积,其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积,可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y=f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线,则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.

3.如图所示的平面图形,是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x) 所围成的,称之为曲边梯形,如何计算 这个曲边梯形的面积呢??
y y=f(x)

O

a

b x

三角形面积的算法

设△ABC的底边AB=a,AB边上的高CD=h, 将CD分成n等分,过每个分点按如图所示 作n-1个矩形,则从下到上各矩形的长 分别为多少?宽为多少?
n- i a , 第i个矩形的长为 ai = n h 每个矩形的宽为 .
n
A C

D

B

这n-1个矩形的面积之和Sn-1等于多少?
C

A

D

B

Sn- 1

ah(n - 1) = 2n

随着n的增大,Sn-1与△ABC的面积愈接 近,当n趋向于无穷大时,Sn-1的极限为 多少?由此可得什么结论? C

A
n?

lim S n - 1

ah(n - 1) ah = lim = n? 2n 2

D

B

结论:三角形的面积等于各矩形面积之 和的极限.

曲边梯形面积的算法 由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所 围成的平面图形是什么?它与我们熟悉 的平面多边形的主要区别是什么?
y
y=x2

直线x=0,x=1,y=0 和曲线y=x2所围成的曲 边梯形.多边形的每条边 都是直线段,上图中有 O 一边是曲线段.

1

x

设想用极限逼近思想求上面图形的面积, 在该曲边梯形内作若干个小矩形. 具体操作:
y y=x2 O
1

x

将区间[0,1]分成n等分,按如图所示作 n-1个矩形.

上述n-1个矩形,求出从左到右各矩形 的高分别为多少,宽为多少.如下:
y

y=x2
O
1

x

i 2 第i个矩形的高为 hi = ( ) , n 1 每个矩形的宽为 . n

利用公式
2 2

n (n + 1)(2n + 1) 1 +2 +L +n = 6 计算,这n-1个小矩形的面积之和Sn-1.
2

y

y=x2
O
1

x

Sn- 1

(n - 1)n (2n - 1) = 3 6n

利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的 面积S,所得的结果是:
y
y=x2 O
1

x

S = lim S n - 1
n?

1 1 1 1 = lim (1 - )(2 - ) = n? 6 n n 3

上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的 过程的几个基本步骤: 分割→近似代替→求和→取极限.

若按如图所示作小矩形,那么这些小矩 形的面积之和的极限等于曲边梯形的面 y=x2 积吗? y
1 S = lim S n = n? 3
O 1 x

若分别以区间
1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ],? ? ?, [ , ], n n n n n n n

内任意一点对应的函数值为高作矩形, 那么这些小矩形的面积之和的极限等于 曲边梯形的面积吗? y=x2
y

相等
O

1

x

理论迁移

例 求直线x=0,x=3,y=0和曲线y =-x2+2x+3所围成的曲边梯形的面积.
y

S = lim S n = 9
n?

3

O

3

x

小结

1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积, 是一种“以直代曲”的思想,它体现了 对立统一,量变与质变的辨证关系. 2.求曲边梯形的面积的基本思路是: 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小 矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形 的面积之和→求各小矩形面积之和的极 限.

3. 上述求曲边梯形面积的方法有一 定的局限性,如果用一般方法不能求出 各小矩形的面积之和,则得不到曲边梯 形的面积.


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