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庄浪县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

庄浪县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 复数 Z= (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( C.(3,﹣1) D.(2,4) ) )

姓名__________

分数__________

A.(1,3) B.(﹣1,3)

2. 用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心到该截面的距离为 1,则该球的体积是( A. π B.2 π C.4 π D. π ) C. D.

3. 函数 f(x)=lnx﹣ A.

+1 的图象大致为( B.

4. 如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf ( m) ? nf ( n) ? mf ( n) ? nf ( m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2 x ? 5 ;② f ( x) ? ? x 3 ? 4 x ? 3 ;③ f ( x) ? 2 2 x ? 2(sin x ? cos x) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? ?0 , x ? 0
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大. 5. 已知函数 f ( x) ? e sin x , 其中 x ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数. 当 x ? [0,
x

?
2

函数 y ? f ( x) ] 时,

的图象不在直线 y ? kx 的下方,则实数 k 的取值范围(
? 2


?

A. ( ??,1)     B. ( ??,1]     C. ( ??, e )     D. ( ??, e 2 ] 【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,意在考查逻辑思维能 力、等价转化能力、运算求解能力,以及构造思想、分类讨论思想的应用. 6. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

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D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 7. 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ? A、 22 A.1 B、 23 B.2 ) C、 24 D、 25 ) D.6 C.4 8. 设 {an } 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是(

9. 设定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x),对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)﹣lnx]=e+1,若 x0 是方 程 f(x)﹣f′(x)=e 的一个解,则 x0 可能存在的区间是( A.(0,1) B.( ,1)   e﹣1 10.在等差数列 A.12 中,已知 B.24 C.(0, ) e﹣1 ,则 C.36 的渐近线的距离为( C. D.(1,e) ( ) D.48 ) D. )

11.抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 A.1 B.

12.在抛物线 y2=2px(p>0)上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=   C.x=﹣1 D.x=﹣

二、填空题
13.若圆 ____. 14.已知 f(x)= ,则 f(﹣ )+f( )等于  . 与双曲线 C: 的渐近线相切,则 _____; 双曲线 C 的渐近线方程是

15.(文科)与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为___________. 16.函数 f(x)= (x>3)的最小值为  .

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17.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差是 2,另一组数据 ax1 , ax2 , ax3 , ax4 , ax5 ( a ? 0 ) 的标准差是 2 2 ,则 a ? 18.二项式     .

展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为      .

三、解答题
19.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果. (1)y= (2)y= + . ;

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且 ?ABC ? 60 ,侧面 PDC 为等边三角形,
o

且与底面 ABCD 垂直, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: PA ? DM ; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 DCM 所成角的正弦值.

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21.已知曲线 f ( x) ? e x ?
2

1 2 ( x ? 0 , a ? 0 )在 x ? 1 处的切线与直线 (e ? 1) x ? y ? 2016 ? 0 ax

平行. (1)讨论 y ? f ( x) 的单调性; (2)若 kf ( s ) ? t ln t 在 s ? (0, ??) , t ? (1, e] 上恒成立,求实数的取值范围.

22.已知椭圆 C: 顶点.

+

=1(a>b>0)与双曲线

﹣y2=1 的离心率互为倒数,且直线 x﹣y﹣2=0 经过椭圆的右

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; N 两点, MN、 ON 的斜率依次成等比数列, (Ⅱ) 设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M、 且直线 OM、 求△OMN 面积的取值范围.

23.(本小题满分 16 分)

2 给出定义在 ?0,?? ? 上的两个函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? x ? a x .

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取最值.求的值;

2 (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x ) 在区间 ? 0,1? 上单调递减,求实数的取值范围;

(3)试确定函数 m( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 6 的零点个数,并说明理由.

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24.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.  

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庄浪县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解 : 复数 Z= 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.   2. 【答案】C 【解析】解:用一平面去截球所得截面的面积为 2π,所以小圆的半径为: 已知球心到该截面的距离为 1,所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选:C.   3. 【答案】A 【解析】解:∵f(x)=lnx﹣ ∴f′(x)= ﹣ = , +1, =4 π , cm; = =(1+2i)(1﹣i)=3+i 在复平面内对应点的坐标是(3,1).

∴f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减; 且 f(4)=ln4﹣2+1=ln4﹣1>0; 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用.   4. 【答案】 B

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第 5. 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx , 且 g ( x) ? 0 在 x ? [0, ] 时 恒 成 立 , 而
x

? 2

g '( x) ? e x (sin x ? cos x) ? k .令 h( x) ? e x (sin x ? cos x) ,则 h '( x) ? 2e x cos x ? 0 ,所以 h( x) 在 [0, ] 上递 2
增,所以 1 ? h( x) ? e 2 .当 k ? 1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0,
? 2

?

?

?
2

] 上递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;当

? ? k ? e 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, ] 上递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;当 1 ? k ? e 2 时, g ?( x) 为一 2 ? ? 个递增函数,而 g '(0) ? 1 ? k ? 0 , g '( ) ? e 2 ? k ? 0 ,由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 2 g '( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g '( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题

意不合,综上所述: k 的取值范围为 ( ??,1] ,故选 B. 6. 【答案】D.

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第Ⅱ卷(共 110 分) 7. 【答案】A 【解析】 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? 7 a1 ? ∴ k ? 22 . 8. 【答案】B 【解析】 试题分析:设 ?an ? 的前三项为 a1 , a2 , a3 ,则由等差数列的性质,可得 a1 ? a3 ? 2a2 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 , 解得 a2 ? 4 ,由题意得 ?

7?6 d ? 21d ? a1 ? (22 ? 1)d , 2

?a1 ? a3 ? 8 ?a1 ? 2 ?a1 ? 6 ,解得 ? 或? ,因为 ?an ? 是递增的等差数列,所以 ?a3 ? 6 ?a3 ? 2 ?a1a3 ? 12

a1 ? 2, a3 ? 6 ,故选 B.
考点:等差数列的性质. 9. 【答案】 D 【解析】解:由题意知:f(x)﹣lnx 为常数,令 f(x)﹣lnx=k(常数),则 f(x)=lnx+k. 由 f[f(x)﹣lnx]=e+1,得 f(k)=e+1,又 f(k)=lnk+k=e+1, 所以 f(x)=lnx+e, f′(x)= ,x>0. ∴f(x)﹣f′(x)=lnx﹣ +e, 令 g(x)=lnx﹣ +﹣e=lnx﹣ ,x∈(0,+∞) 可判断:g(x)=lnx﹣ ,x∈(0,+∞)上单调递增,

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g(1)=﹣1,g(e)=1﹣ >0, ∴x0∈(1,e),g(x0)=0, ∴x0 是方程 f(x)﹣f′(x)=e 的一个解,则 x0 可能存在的区间是(1,e) 故选:D. 【点评】本题考查了函数的单调性,零点的判断,构造思想,属于中档题.   10.【答案】B 【解析】 ,所以 答案:B 11.【答案】A 【解析】解:因为抛物线 y2=8x,由焦点公式求得:抛物线焦点为(2,0) 又双曲线 .渐近线为 y= =1. ,故选 B

有点到直线距离公式可得:d= 故选 A.

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法.其中应用到点到直线的距离公式,包含知识 点多,属于综合性试题.   12.【答案】C 【解析】解:由题意可得抛物线 y2=2px(p>0)开口向右, 焦点坐标( ,0),准线方程 x=﹣ , 由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为 4 的点到准线的距离等于 5, 即 4﹣(﹣ )=5,解之可得 p=2 故抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故选:C. 【点评】本题考查抛物线的定义,关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线,属基础题.  

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二、填空题
13.【答案】 ,

【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线 【试题解析】双曲线的渐近线方程为: 圆 的圆心为(2,0),半径为 1.

因为相切,所以 所以双曲线 C 的渐近线方程是: 故答案为: , 14.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4.   15.【答案】 【解析】 试题分析:依题意可知所求直线的斜率为 3 ,故倾斜角为 考点:直线方程与倾斜角. 16.【答案】 12 . 【解析】解:因为 x>3,所以 f(x)>0 由题意知: = ﹣ =t﹣3t2 . )=f( )=2× = ,

?
3

?
3

.

令 t= ∈(0, ),h(t)=

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因为 h(t)=t﹣3t2 的对称轴 x= ,开口朝上知函数 h(t)在(0, )上单调递增,( , )单调递减; 故 h(t)∈(0, 由 h(t)= 故答案为:12   17.【答案】2 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 组 数 据 平 均 数 为 x,? ( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? ( x4 ? x) ? ( x5 ? x) ? 2 ,
2 2 2 2 2

] ≥12

?f(x)=

(ax1 ? ax) 2 ? (ax2 ? ax) 2 ? (ax3 ? ax) 2 ? (ax4 ? ax) 2 ? (ax5 ? ax) 2 ? 8,? a 2 ? 4,? a ? 2 .
考点:方差;标准差. 18.【答案】 70 . 【解析】解:根据题意二项式 则 n=8, 所以二项式 Tr+1=(﹣1)rC8rx8﹣2r 令 8﹣2r=0 得 r=4 则其常数项为 C84=70 故答案为 70. 【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.   = 展开式的通项为 展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵y= ∴ , + ,

解得 x≥﹣2 且 x≠﹣2 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞); (2)∵y= ,

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解得 x≤4 且 x≠1 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4].   20.【答案】 【解析】由底面 ABCD 为菱形且 ?ABC ? 60 ,∴ ?ABC , ?ADC 是等边三角形,
o

取 DC 中点 O ,有 OA ? DC , OP ? DC , ∴ ?POA 为二面角 P ? CD ? A 的平面角, ∴ ?POA ? 90 .
o

分别以 OA, OC , OP 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 A( 3, 0, 0), P (0, 0, 3), D (0, ?1, 0), B ( 3, 2, 0), C (0,1, 0) . (Ⅰ)由 M 为 PB 中点, M (

    …… 3 分

???? ? 3 3 3 3 ,1, ), ∴ DM ? ( , 2, ), z 2 2 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ?2 ??? ? ???? PA ? DC ( 3, ?0, (0, ? 2,3), 0),? PAADM ? 0, PAADC ? 0 P ∴ PA ? DM …… 6 分 ??? ? ???? ???? M (Ⅱ)由 DC ? (0, 2, 0) , PA ? DC ? 0 ,∴ PA ? DC , ??? ? ∴ 平面 DCM 的法向量可取 PA ? ( 3, 0, ? 3), …… 9 分 O C D ??? ? PC ? (0,1, ? 3) , 设直线 PC 与平面 DCM 所成角为 ? , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? PA 3 6 A ? ??? ? |? 则 sin ? ?| cos ? PC , PA ?|?| ??? . ? x 4 | PC || PA | 6 ?2
即直线 PC 与平面 DCM 所成角的正弦值为

y
B

6 .…… 12 分 4

21.【答案】(1) f ( x) 在 ( ??, ? ) , ( , ??) 上单调递增,在 ( ? , 0) , (0, ) 上单调递减;(2)

1 e

1 e

1 e

1 e

1 [ , ??) . 2
【解析】

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1 ? e 2 ? 1 ,∴ a ? 1 , a 1 e2 x 2 ? 1 1 2 2 f '( x ) ? e ? ? f ( x ) ? e x ? 由 ,可得 , x2 x2 x ?e 2 x 2 ? 1 ? 0, 1 1 由 f '( x) ? 0 ,可得 ? 解得 x ? 或 x ? ? ; e e ? x ? 0,
试题解析:(1)由条件可得 f '(1) ? e ?
2

?e 2 x 2 ? 1 ? 0, 1 1 由 f '( x) ? 0 ,可得 ? 解得 ? ? x ? 0 或 0 ? x ? . e e ? x ? 0, 1 1 1 1 所以 f ( x) 在 ( ??, ? ) , ( , ??) 上单调递增,在 ( ? , 0) , (0, ) 上单调递减. e e e e (2)令 g (t ) ? t ln t ,当 s ? (0, ??) , t ? (1, e] 时, f ( s ) ? 0 , g (t ) ? t ln t ? 0 , t ln t 由 kf ( s ) ? t ln t ,可得 k ? 在 x ? (0, ??) , t ? (1, e] 时恒成立, f (s) ? t ln t ? ? g (t ) ? 即k ? ? ?? ? ? ,故只需求出 f ( s ) 的最小值和 g (t ) 的最大值. ? f ( s ) ? max ? f ( s ) ? max
由(1)可知, f ( s ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增,

1 e

1 e

1 e 由 g (t ) ? t ln t 可得 g '(t ) ? ln t ? 1 ? 0 在区间 (1, e] 上恒成立,
故 f ( s ) 的最小值为 f ( ) ? 2e , 所以 g (t ) 在 (1, e] 上的最大值为 g (e) ? e ln e ? e , 所以只需 k ?

e 1 ? , 2e 2 1 2

所以实数的取值范围是 [ , ??) . 考点:1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率;2、不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导 数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数 f ? x ? 的 定义域;②对 f ? x ? 求导;③令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的范围就是递增区间;令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的 范围就是递减区间;④根据单调性求函数 f ? x ? 的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小). 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵双曲线的离心率为 又∵直线 x﹣y﹣2=0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为(2,0),即 a=2,c= ,b=1,… ,所以椭圆的离心率 ,

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∴椭圆方程为:

.…

(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:y=kx+m?(k≠0,m≠0),M(x1,y1)、N(x2,y2) 联立 消去 y 并整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0…

则 于是

, …

又直线 OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列. ∴ 由 m≠0 得: 又由△=64k2m2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0,得:0<m2<2 显然 m2≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0, 直线 OM、ON 中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾) 设原点 O 到直线的距离为 d,则 … …

∴故由 m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)… 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,弦长公式以及三角形的面积的表式,考查转化思想以及计算能 力.   23.【答案】(1) a ? 2 (2) a ≥ 2 (3)两个零点. 【解析】

(1) ? 0 ,解得 a ? 2 ,需 试题分析:(1) 开区间的最值在极值点取得,因此 f ( x) 在 x ? 1 处取极值,即 f ′

( x)≤0 在区间 ? 0,1? 上恒成立,再利用变量分离转化为对应 验证(2) h( x) 在区间 ? 0,1? 上单调递减,转化为 h′
函数最值 : a≥

4 x2 4 x2 的最大值,根据分式函数求最值方法求得 F ? x ? ? 最大值 2(3)先利用导数研究函数 x ?1 x ?1 m? x ? 单调性:当 x ? ?0,1? 时,递减,当 x ? ?1,?? ? 时,递增;再考虑区间端点函数值的符号: m ?1? ? 0 ,

m (e?4 ) ? 0 , m(e4 ) ? 0 ,结合零点存在定理可得零点个数 a ( x) ? 2 x ? (1) ? 0 即: 2 ? a ? 0 , 试题解析:(1) f ′ 由已知, f ′ x 解得: a ? 2 经检验 a ? 2 满足题意
所以

a?2

………………………………………4 分

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? ? 1 ?2 1 ? 1 ?2 因为 x ? ? 0,1? ,所以 ? ?1, ?? ? ,所以 ? ? ? ? ?? ? x ? ? x ? x ?min 所以 F ? x ?max ? 2 ,所以 a ≥ 2 ……………………………………10 分
2 (3)函数 m ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? 6 有两个零点.因为 m ? x ? ? x ? 2ln x ? x ? 2 x ? 6

所以 m′ ? x? ? 2x ?

当 x ? ?0,1? 时, m?? x ? ? 0 ,当 x ? ?1,?? ? 时, m?? x ? ? 0 所以 m ? x ?min ? m ?1? ? ?4 ? 0 ,
3

2 1 2 x2 ? 2 ? x ? x ?1? ? ? x x x

?

x ? 1 2x x ? 2x ? x ? 2 x

??

?

………12 分

……………………………………14 分
8 4 2

1 ? 2e ? e (2e ? 1) (1-e)(1+e+2e ) (e?4 ) ? ?0 m(e?2) = ?0 ,m 4 e8 e 4 m(e4 ) ? e( e4 ? 1) ? 2(e2 ? 7) ? 0 故由零点存在定理可知:
所以函数 m ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? 6 有两个零点. 【思路点睛】

?4 4 函数 m? x ? 在 (e ,1) 存在一个零点,函数 m? x ? 在 (1, e ) 存在一个零点,

……………………………………16 分

考点:函数极值与最值,利用导数研究函数零点,利用导数研究函数单调性 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参 数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的 走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 24.【答案】

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【解析】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|= 当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2).… (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2, ∵4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)=(a2﹣4)(4﹣b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.… 【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利 用作差法证明不等式.

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