fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第1讲(必修1)集合的概念及其运算_图文

第 1讲
集合的概念及运算

知识体系

?理解集合、子集、真子集、交集、并集、 补集的概念,了解全集、空集、属于、 包含、相等关系的意义,掌握有关的术 语和符号,能使用韦恩图表达集合的关 系及运算.

1.已知集合A={0,a,a2},且1∈A,则a= -1

若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异 性矛盾;

若a2=1,则a=-1或a=1(舍去),故a=-1 符合题意.

2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},
集合S={1,3,5},T={3,6},则 (S∪T)等于 {2,4,7,8} .
U

S∪T={1,3,5,6},

U(S∪T)={2,4,7,8}.

3.若A、B为两个集合,A∪B=B,则一定有( A )
A. A ?B B. B ?A C. A∩B= ? D. A=B 4.如图所示,设U为全集,M、N是U 的两个子集,则图中阴影部分表示 的集合是 M∩( UN) .

图中阴影部分是表示在M中且不在N中的部 分,故可表示为M∩( UN).

5.设A={y| y=x2+1, x∈R},B={x| y=x-3},则 A∩B= [1,+∞) .

因为A={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞), B={x|y=x-3}=(- ∞,+∞),

故A∩B=[1,+∞).

知识要点
1.集合的有关概念

(1)一般的,某些指定的对象集中在一起 就构成了一个集合,集合中的每个对 象叫这个集合的元素.
(2)元素与集合的关系有两种: ① 属于“∈”, ②

?

.

(3)集合中元素的性质: ③ 确定性、互异性、无序性

.

(4)集合的表示法: ④ 列举法、描述法、韦恩图法 ; (5)集合的分类:按元素个数可分为 ⑤ 空集、有限集、无限集; .

(6)两个集合A与B之间的关系:
定义 如果集合A的任何一 个元素都是集合B的 元素,那么集合A叫 集合B的子集,记为 A? B(或B ?A). 性质与说明 A? A;? ? A; 若A ? B,B ? C, 则A ? C; 有n个元素的集合 的子集的个数是 ⑥ 2n .

子集

定义

性质与说明

如果A是B的子集,且B中 真 至少有一个元素不属于A, 子 那么集合A是集合B的真子 集 集,记为A ? ? A). ? B(或B ?
集 对于两个集合A与B,若A 合 ? B且B ? A,则这两个集 相 合相等,记为A=B. 等

空集是任何非空集合的 真子集; ? 若A ? C , 则 A ? B, B ? ? C; ? 有n个元素的集合的真 n-1 2 子集的个数是⑦ .
两个非空集合相等当且 仅当它们的元素完全相 同.

? (7)常用数集的记法:

数集 自然 正整 整数 有理 实数 复数 数集 数集 集 数集 集 记法 N N* Z Q R C

2.集合的运算及运算性质
定义 性质与说明

由所有属于集合A⑧且 属于 交集 集合B的元素所组成的集合, 叫A与B的交集,记作A∩B, {x|x∈A且x∈B} . A∩A=A 即A∩B=⑨ A∩ ?= ? A∩B=B∩A

定义

性质与说明

由属于集合A⑩ 或 属于集 A∪A=A 合B的元素组成的集合叫A与 A∪? =A A∪B,即 并集 B的并集,记作 A∪B=B∪A 11 A∪B= {x|x∈A或x∈B} . 设全集为U,A是U的一个子 补集 集,由U中所有不属于A的元 A∪ UA=U 素组成的集合叫A在U中的补 A∩ A= ? U 集,记作 UA,即 U( UA)=A ? A} U A= 12{x|x∈U且x

要点指南
①属于“∈ ? 性、互异性、无序性;④列举法、描述法、 韦恩图法;⑤空集、有限集、无限集;⑥2n; ⑦2n-1;⑧且;⑨{x|x∈A且x∈B};⑩或; 11 {x|x∈A或x∈B}; ? 12 {x|x∈U且x ? A} ?

典例精讲
题型一 集合的概念 例1 (1)下面四个命题中,正确的有 ③④ .
①{0}= ? ; ②0∈? ;

?∈{? }. ? { ? }; (2)若A={(x,y)||x+2|+ y ? 1=0},B={-2,-1}, 则必有( D ) ?B A.A ? B.A ? B ?
C.A=B D.A∩B= ?

? 是空集的符号, ? 元素的集合,规定空集是任何集合的子集 . 本例应从概念入手. (1){0}表示含有一个元素0的集合, {0}≠ ? ;0 ? , ? 0 ∈ ? ;{ ? } , 故正确的命题有③④. ( 2 )因为 A={(-2,-1)} ,表示点集, B={-2,-1} , 为数集,两个集合不可能有公共部分,故选 D.

分析

点评
(1) ,然而在不 ? 同的问题背景下,其含意却是十分具体的, ,利用此特 ? 征才能找到解题的突破口. ( 2 )解集合问题,首先是读懂集合语言, 把握元素的特征 . 本题第 (2) 问许多同学易 错选 C,错因是未能正确理解集合的概念, 误认为A={-2,-1}.

题型二 集合的运算 例2 ( 1 ) 集 合 P={y|y=x2} ,
Q={y|x2+y2=2},则P∩Q等于( D ) A.{1} C.{0,?2 } B.{(1,1),(-1,1)} D.[0, 2]

( 2 )设 I 为全集, S1,S2,S3 是 I 的三个非空 子集,且 S1∪S2∪S3=I, 则下面论断正确 的是( C ) A. IS1∩(S2∪S3) C

?

B.S1 D.S1 (

( IS2∩ IS3)
IS2∪ IS3)

IS1∩ IS2 ∩ IS3=?

分析
集合的运算 → 优先化简 → 数形结合, 按交、并、补、子集概念依次进行.

?

(1)因为P= [0,+∞),Q=[ 所以P∩Q= [0,
2],故选D.

?2, 2],

( 2 )(方法一)利用韦恩图分析,可 知 选 C. ( 方 法 二 ) 取 I={1,2,3,4.5},S1 ={1,2,3}, S2 ={2,3,4}, S3 ={3,4.5}, 检验知只 有C成立.故选C.

点评
(1)读懂集合语言,化简集合,才能找到解 题的突破口. (2)解决集合问题,常用韦恩图直观地表示. (3)理解补集的意义: UI指在全集U中但不 在集合I中的元素组成的集合.

2+x-6=0}, 已知集合 M ={ x | x 变式 N={x|ax-1=0} , 且 M∩N=N, 求 实 数a的值.

分析 N∩M=N ?N

M,根 据子集的概念,集合 N 可以是 空集,所以要对 a 的值进行分 类讨论.

?

解析
? ? ? ? ? ? ? 由x2+x-6=0,得x=2或x=-3, 所以M={2,-3}. N∩M=N? N? M. (ⅰ)当a=0时,N= ?,此时N ? M; 1 (ⅱ)当a≠0时,N={ }. 1 a 1 1 1 ? -3, ? 2 由N ?M,得 或 即a ? 或 a ? - . a 1 a 3 1 2 故所求实数a的值为0或 2 或 ? 3 .

点评
? ? ? ? ? ?
? (1) . (2)常见的等价结论:①A∩B=A ?A ? B; ②A∪B=B?A ?B;③ U(A∩B)= UA∪ UB ; ④ U ( A∪ B) = U A ∩ U B . (3)空集的性质: A(A≠ ? ), ? ∪A=A, ?? A, ? ? ? ? ∩A= ?

题型三

集合的创新与应用

例3( 1 ) 定 义 集 合 运 算 :
A*B={z|z=xy , x∈A , y∈B} , 设 A={1,2}, B={0,2},则集合 A*B的所 有元素之和为( D) A.0 C.3 B.2 D.6

解析
( 1 )因为 z=xy , x∈{1,2} , y∈{0,2} , 故 xy=0,2,4 ,从而 A*B={0,2,4} ,故集 合A*B的所有元素之和为6.故选D.

(2)该班学生参加竞赛如图所示,集 合A、B、C、D、E、F、F中的任何 两个无公共元素,其中G表示三科都 参加的学生集合,card(G)=2.

因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的 有12人, 所以card(D)=12-2=10.

同理,得card(E)=6-2=4,
card(F)=5-2=3. 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人 数分别为21,17,10. 所以card(A)=21-2-10-4=5, card(B)=17-2-10-3=2,

card(C)=10-3-2-4=1.

故需预定火车票的张数为
5+2+1+10+4+3+2=27.

点评 本题是属于创新型的概念理解题.
准确理解 A*B 是解决本题的关键所在, 并且又考查了集合元素的互异性,因此 要准确理解集合的含义,明确题目所要 解决的问题,从而使问题得以解决.

方法提炼
1. 读懂集合语言、把握元素的特征是分析解 决集合问题的前提. 2. 化简集合(具体化、一般化、特殊化)是 解集合问题的策略. 3. 注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、 不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍.

4. 数形结合、分类讨论、补集思想、转换化 归是解集合问题能力的具体体现.

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007·

王新敞
奎屯

新疆


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图