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简单的三角恒等变换(5)


简单的三角恒等变换
一、知识点 1、两角和与差的三角函数公式 (1)cos(α + β)=cosαcosβ ?sinαsinβ cos(α ? β)=cosαcosβ +sinαsinβ (2)sin(α + β)=sinαcosβ +cosαsinβ sin(α ? β)=sinαcosβ ?cosαsinβ (3)tan(α + β)= 1?tan αtan β
tan α+tan β

tan(α ? β)= 1+tan αtan β

tan α?tan β

tanα + tanβ = tan(α + β) (1 ? tanαtanβ) tanα ? tanβ = tan(α ? β) (1 + tanαtanβ) 2、二倍角公式 (1)sin2α =2sinαcosα (2)cos2α = cos 2 α ? sin2 α = 1 ? 2sin2 α = 2cos 2 α ? 1 (3)tan2α = 1?tan 2 α 3、公式的变形 (1)sin2 α =
1?cos 2α 2 2tan α

cos 2 α =

1+cos 2α 2 b

(2)asinα + bcosα = a2 + b 2 sin(α + φ) (tanφ = a ) (3)tan2 = 1+cos α =
α sin α 1+cos α sin α

二、基础训练 1、计算 sin43° cos13°? cos43° sin13°=( A、2
1

) D、 2
π 3 2 5 5

B、 3

3 3

C、 2

2

2、若 sin(π + θ)= ? 5,θ是第二象限角,sin(2 + φ)= ? 角,则 cos(θ ? φ)的值是( A、?
5 5

,φ是第三象限

) C、
11 5 25

B、 5
a

5

D、 5

3、定义运算 a?b= ( ) A、? 2

a + b,ab ≤ 0 , ab > 0 b

则函数 =(sinx)?(cosx)的最小值为

B、?1
sin 20 ° cos 10 °

C、0

D、1

4、化简:sin 10 °(1+cos 20 °)的结果为

5、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的 终边分别与单位圆交于 A、B 两点,已知 A、B 两点的横坐标分别为 10 和 (1)求 tan(α + β)的值 (2)求α +2β的值
y
2 2 5 5

A

α
β

B x

0

三、例题讲解 例 1、已知函数 =cos(3 + x)cos(3 ? x) , = 2sin2x? 4 (1)求函数 的最小正周期 (2) 求函数 = ? 的最大值,并求使 取得最大值的 x 的集合
π π 1 1

例 2、求值:

sin 50 ° 1+ 3tan 10 ° ?cos 20 ° cos 80 ° 1?cos 20 °

例 3、已知 cosα = 7,cos(α ? β)= 14,且 0< β < α < 2 (1) 求 tan2α的值 (2) 求β

1

13

π

练习:已知α,β ∈ (0,π),且 tan(α ? β)= ,tanβ = ? 求 2α ? β的值
2 7

1

1

例 4、求证:

cos 2 α
α α?tan 2 tan 2 1

=

1 4

sin2α

例 5、已知向量m = sin2x,cosx ,n = (1) 求 的单调递增区间

3,2cosx , = m ·n ? 1
π

(2) 在?ABC中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, =2, a= 3 , B= 4 , 求b的 值

四、课后巩固 1、已知 sinα = 3,则 cos(π ? 2α)等于( ) A、?
5 3 π 2

B、? 9
4 3 5

1

C、9 ,sin(α + C、? 5
4 7π 6

1

D、 3

5

2、已知 cos(α ? 6)+sinα = A、?
2 3 5

)=( ) D、5 2cos
A+B 2 4

B、

2 3 5

3、cos43° cos77°+ sin43° cos167°= 4、已知 A、B 是?ABC的两个内角,向量a = ,sin
A ?B 2

若|a|=

6 2

(1)证明 tanAtanB 为定值 (2)当 tanC 取最大值时,求?ABC的三个内角的大小

五、作业 1、计算 1?2sin2 22.5° 的结果等于( ) A、2 2、若 A、2 A、2
1 1 1

B、 2
cos 2α sin ? (α+ )
π 4

2

C、 3

3

D、 2 )

3

=

2 2

,则 sinα ?cosα的值为(
1

B、? 2 B、 2
2 2

C、 4 C、 2
3

2

D、?

2 4

3、在?ABC中,若 cos2B+3 cos A + C + 2 = 0,则 sinB=( D、1
π 1 π



4、已知 tan(α + β)= 5,tan(β ? 4)= 4,则 tan(α + 4)=( A、18 A、?3,1 6、若 cosα =
4 13



B、22

13

C、22

3

D、6 ) D、?2, 2 等于( )
3

1

5、函数 =cos2x?2sinx 的最小值和最大值分别为( B、?2,2 C、?3, 2
1+tan
3

α 2 ? 5,α是第三象限的角,则 α 1?tan 2

A、? 2

1

B、2
π

1

C、2

D、?2

7 、已知向量 a = ( sin (α + 6 ) ,1), b = (4,4cosα ? 3)若 a ⊥ b ,则 sin (α + A、?
3 4 4π 3

) =(


1

B、? 4

C、 4
3

3

D、4

1

8、已知α是第二象限角,sinα = 5,则 tan2α = 9、函数 =sin(2x? 4)?2 2sin2 x的最小正周期是 10、已知α是第三象限的角,cos2α = ? 5,则 tan(2α + 4)= 11、 已知 cos (α ? 2 ) = ? 5, sin (β ? 2) = 13, 且2 < α < π, ,0< β < 2, 求cos
β 4 α 5 π π α+β 2 3 π π

的值

12、已知函数 = 2 3sinxcosx + 2cos 2 x ? 1 (1)求函数 的最小正周期及在区间[0,2]上的最大值和最小值 (2)若 0 = 5,0 ∈ [4 , 2]求cos20 的值
6 π π π

答案 1、A、 2、B
1

3、B
1

4、1 T=π
π

5、-3, 4



例 1、 (1) = 2 cos 2 ? 4 (2) = 例 2、 2 例 3、 (1)tan2α = ? 练习 ?
3π 4 8 3 47 2 2

cos(2 + 4)

x|x = kπ ? 8 , k ∈ Z

π

(2)β =

π 3

例 4、略
π

例 5、 (1) = 2sin? (2 + 6) 1、 B 2、C
3

[kπ ? 3 ,kπ + 6 ] k ∈ Z
1

π

π

(2) 6
1

3 、 ?2
3 3

4、 ( 1 ) tanAtanB= 3
3

( 2 ) tanC=

-tan(A+B)= ? 2(tanA+tanB)≤ ? 2 × 2 × 作业 1、B、 9、π 2、B 10、? 7
1

= 3

π 6

π 6

2π 3

3、C

4、C
β

5、 C
π

6、A
α

7、B
π π

8、?
α+β 2

24 7

11、α ? 2 ∈ ( 4 ,π),β ? 2 ∈ ? 2 , 4 cos = 2sin? (2 + 6)
2π 7π 6 π

= ? 65

63

12、 (1)T=π 最大值 2,最小值-1 ( 2 ) sin 20 + 6 = 5 cos 20 + 6 ? 6 =
π π 3?4 3 10 π 3 π

20 + 6 ∈ [ 3 ,

]

cos 20 + 6 = ? 5 → cos 20 =

π

4


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