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椭圆经典例题分类汇总--(学生2版)


椭圆
一、求方程问题 1.已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: x ?3

?

?2 ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动圆圆心 P 的

轨迹方程.

二. 焦半径及焦三角的应用 2. 已知椭圆

x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准线 l 的距离 4 3

2

MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

3. 已 知 椭 圆 方 程

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 焦 点 为 F1 , F2 , P 是 椭 圆 上 一 点 , a 2 b2

. ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示)

三. 第二定义应用
4. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 ,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为最小值时, 16 12

? ?

求点 M 的坐标.

1

5. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距离. 4b 2 b 2

四. 相交情况下--弦长公式的应用
6.已知椭圆 4 x
2

? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

五. 相交情况下—点差法的应用

OM 7. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中点,
的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

8. 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

2

9. 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不 3

同的两点关于该直线对称.

六、直线恒过定点问题 1、已知点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 E :

xx x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1 , 直线 l0 过 2 2

P 点与直线 l 垂直,点 M(-1,0)关于直线 l0 的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐 标。

2、已知 椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为

2 , P 是椭圆在第一象限弧上一 2

点,且 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

???? ???? ?

3

x2 y2 ? ? 1 相交于 A 、 B 两点,已知点 3、已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C : 5 5 3 ???? ???? 证: MA ? MB 为定值.
[

7 M ( ? , 0) , 求 3

4、 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原

点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,

射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直
2

2 2 线 x ? ?3 于点 D(?3, m) .(Ⅰ)求 m ? k 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE ,求证:直线 l 过

定点;

(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号, 确定参数的取值范围。 5、已知直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m ) ,与椭圆 C : 2 x ? y ? 1 交
2 2

于相异两点 A、B,且 AP ? 3PB ,求 m 的取值范围.

??? ?

??? ?

4

(2)利 用 题 中 其 他 变 量 的 范 围 , 借 助 于 方 程 产 生 参 变 量 的 函 数 表 达 式 , 确 定 参 数 的 取 值 范 围. 6、已知点 M (4, 0) , N (1, 0) , 若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | PN | . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A , B 两点,若 ? 线 l 的斜率的取值范围.
[来源:学科网]

???? ? ????

??? ?

? ??? ? 18 ??? 12 ≤ NA ? NB ≤ ? ,求 7 5



(3)利用基本不等式求参数的取值范围 7、已知点 Q 为椭圆 E : 取值范围.
??? ? ???? x2 y 2 ? ? 1 上的 一动点,点 A 的坐标为 (3,1) ,求 AP ? AQ 18 2



8.已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程.
( k? 0 )与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N . 当 | AM |?| AN | 时 , 求 m 的 ( 2 ) 设 直 线 y ? k x? m

取值范围.

5

9. 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,



N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E .
(I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两
[来源:学科网 ZXXK]

点 G , H (点 G 在点 F , H 之 间) ,且满足 FG ? ? FH , 求 ? 的取值范围.

10、.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,两个焦点分别为 A(?1,0) 、 B(1,0) ,一个顶点为 H ( 2,0) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)对于 x 轴上的点 P(t ,0) ,椭圆 E 上存在点 M ,使得 MP ? MH ,求 t 的取值范围.

11.已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长 2 2 a b



半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (2, 0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B , 设 P 为椭圆上一点, 且满
2 5 ,当 PA ? PB < 时,求实数 t 取值范围. OA ? OB ? t OP (O 为坐标原点) 3



6

(1)利用基本不等式求最值, 12、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为

2 , P 是椭圆在第一 2

象限

弧上一点,且 PF B 两点, 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交 椭圆于 A、 求△PAB 面积的最大值。

???? ???? ?

(2)利用函数求最值,
2 2 13.如图, DP ? x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 | DM |? 2 | DP | .当点 P 在圆 x ? y ? 1 上 运

动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (0, t )作圆x ? y ? 1的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面 积 S 的最大值和
2 2

相应的点 T 的坐标。

14、已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点 (m, 0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

将| AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

7

选做
1、已知 A、B、C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 a2 b2

(2 3,0) ,BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC |.
(1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | .求实数 t 的取值范围.

2 2 2 2. 已 知 圆 M : ( x ? m) ? ( y ? n) ? r 及 定 点 N (1, 0 ) , 点 P 是 圆 M 上 的 动 点 , 点 Q 在 NP

上,点 G 在 MP 上, 且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r , 使得直 线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说 明理由.

??? ?

????

????

??? ?

8

3、已知椭圆 C 的中心在坐标原 点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小 值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

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