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大纲全国版理科数学11版例题详解全品高考复习方案


例题详解!

例题详解
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原不等式的解集为 d d o C C a d d C 当 Ca 时 d C 例 wD n 解答 L o d a ode CCeCC e do C CCe 原不等式的解集为 d a C C d o d C 当 Ca 时 d C de Ce do Ce C 例 oD n 解答 L o d d da d o oo d a Ca C o de Ca C ed C dCdoC Ced C da C C e Co d d o oo d o d oe oa a a Ca C de da Ca C o de Ca e 故原不等式的解集是 d da C C d C d 或 C do d e C dC Ce Co d 原不等式可化为 e a 故原不等式 o d o CC CC oa CC C oo oaC C d d C o oad o o do d o oo d o da d d Ca C a d o da d o oo Ca 的解集是 d C d d o C C doC C da 或 aC Ca 或 Co o d 解法一 d 零点分段讨论法 o 利用绝对值的代数定义 d e C C dCdoC C dad 或a d 或 Co d C Ca 当 时 d d d de C 例 oD n " C da Ca oa Ca 解答 L 解法一 d 注意到一元二次不等式的解集与相 d d d o de o o oa C 应二次方程的根之间的关系 d Ca CaCad 可以知道 o o a 的两 C 个实根为 ad a CC d 即原不等式与 o d o d e da de Ca 同解 d C 即 da oeCa 与 d d d Ca 同解 d # 当 da C Ce 时 d C a a d d d d d d o de d o oa ad Ca C C d C Ced o o C 因此 a da e Cad $ 当 Ce 时 d C 这样目标不等式 o o Ca 可变成 o de d d d o oa Ca C da CaC Cod C 由于 e da oa a 的根为 a d d a d a dC Ce C e da oaCad e C 因此所求不等式的解集为 综上 d 原不等式的解集为 d C a d d 或 Cad d Ca o e C 也可以这样写 d 由 d d o o Ca 的解集为 dC a C Ce C 解法二 d 原不等式等价于 可知 的两个实根为 d d 且 d o o a ae Ca C d C da C 或 根据根与系数关系 d d " a e d d d o de o o oa Ca C 不等式 d o o Ca 可变成 da C Ce C 又 Cad 或 # o d o d d de d oa Ca C o oa Cad d Ce C $ a 或 o de d d d d o oa Ca 解得 d C d Cad C 即 e da oaCad e " 的解集为 C d C 解法三 d 由题意可得 Ca d 若 d 则 a o o Ca 化 为 a C Cad d # 的解集为 d C Ced 即 是解集中的一个解 d a o C 若 Cad 在目标不等式两边同除以 d 得 的解集为 d d d $ C Ce C a a a o Cad" C o do o d a 原不等式的解集为 d C d o C 因为 o o Ca 的解集为 dC d d a C Ce 解法二 d 数形结合 C 则 的解集为 d d 或 d d o o Ca C Ca Ce 从形的方面考 虑 d 不 等 式C de CdC oa CCa 表 示 数 轴 上 C a 到 e 和 da 两点的距离之差小于 a 的点 或 a Ce d C 因此 " 的解满足 Cad C 即 Ca 或 Ca 或 aC C a d e C a 又 也成立 d 从而不等式 a o o Ca 的解集是 C a 原不等式的解集为 d C d o C dC C a d 或 Cad 例 w 变式题 DaD n 解析 L 就是求函数 C oo CoC da C e C 的最小值 d 让 小于等于函数 的 最 小 值 d 几何意义是数轴上 例o 变式题 D do 解析 L 由不等式判断可得 Ca 且不等 Dn 到 do 的距离与到 a 的距离和的最小值 d 从数 轴 上 表 示 最 小 C 由 解 集 特 点 可 得 Ca 且 C 式等价于 o oado d a d Cad 值是 ed 故选 a Ca 例wD n 解 答L da C e C d e C daCeC a d C do C o do C Ca D C a时d aCe 恒成立 d Cod "当 d C a o da 例o 解答 L 由 d a o oa d 得d Dn C o o o a 原不等式 C d C C d # 当 Ca 时 d C ao d a dC a o da dd d da C d o oa o o o C a o 原不等式 C C C d $ 当 Ca 时 d o C C oad C a dC 综上 d 当 时 d 原不等式的解集为 d 由 o d oo o d a o de oa e oa Ca 得 d C

第 o 讲 D 简单不等式的解法

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例题详解!

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则有 L n 即L d oe o d e o 若 oen 易验证该函数满足题设条件 o 只需 Loa 或 解得 aoLD d e 所求函数为 L e C L de LDan o d e o& o 综上 n 例 #D ! 解答 " e 当 oa 时 n o oan L o 第 ( 讲 D 函数的值域与最值 故 Ln n oL o o L o 设L 解答 " e 解法一 n 单调函数法 o oa n o 例 !D ! n 故 od e 图象过点 an dn C 有 L a o od ed 为 o e o 为 d dn d 上 的 增 函 数n o d 槡 又 eL 满足 L oL d 且 L oa 的 两 实 根 平 o dd n n 上的增函数 n e n 方和为 e a oC o n上的增函数 n o d槡 ed 为 dd n e 得对称轴 o 且 n o d oe a o C o ded 槡 edeo n o 故该函数没有最小值 n 即 d o 且 d C oe n noden a C oe 最大值为 o 即值域为 dd nn CL o de d o 解法二 n 换元法 令 edd n 则L nn n d 解法一 n d d o L a on o 则 oed ed n LL oa n 则d d d oe d L o 设Lo 槡 C L o o o ed L d L CL L oL edd d d od d d oed d d d o L L d n oed ed L od L L o od L e e L oa e d CL od a o o o 在n n 上是减函数 n 解法二 n eL edd d d od d d oe dd d d o eLL a d C L a o o L L od edd d d edd d d n o 故该函数没有最小值 n 最大值为 CL od a o o o 即值域为 dd n n e o e e 已知 L od n D" L ! ! n n n 设 od n de e d d L d o L o 函数的定义域是 n o n d o 将 " 中 换成 e 得 L e o n D# L ed 化为 o则 o 槡 d ! o od oC d n "d d#得d L d d L d d d L o槡d d dL e o e ! ! ! d ! CL o d oa L Cd o L o n o n o ed ! o e e e o e e ! 例# 变式题 D ! 解 答 " e eL o o o Cd槡 o n d d dL C on de oen 槡n e o e e n e n e 则 dd 因 aD n 根据指数函 o L oe o d dD 令Lo en d CL o dd o 或 od o 数图象得 e e on n d L d d n o ! 则L e o n Lo! n Lo 解析 " 令Lo 则 o o 例 ! 变式题 !D D ! d d L d n L d d ! ! ! n 且 n o L o L C L Co L d dd ee d e o o o od C o n od L n n 求 得 n n 的 最 大 值 o Ceo od Cao L oL oe L n o oa 为e o d L 由o 解得 a D D L d d! ! o oa d n d o oen o 例 ! 变式题 " 解析 "L o DC D! o d n eD o 例 $D ! 解答 " e 因为对任意 o&n 有 o 当 d o oe 时 n 为增函数 n o d L n d oL d LL o CL n oL e ode 所以 L L d oL d o 当e o d 为增函数 n D o 时n L 又由 L n 得 L dd n od odd o o oC L L 即 L e oe o CL oL oC 若L a o n 则 L da a o da a n 即L o o 例 "D ! 解答 " e o D 本小题主要考查均值不等 式 L 因为对任意 o&n 有L L d o L d o e e 当且仅当 e 即 又因为有且仅有一个实数 n 使得 L o o e 时取等号 o 槡o n o 槡eo e 槡 所以对任意 o&n 有L d o 槡 o 槡 在上式中令 o n 有L d o n o e d e e 又因为 L 所以 d n o n d o n oa o L o d n d 故 oa 或 oe o d e e 若 oa n 则L n 即L d oa o d o e o nCL o n 槡 d d d oe 但方程 d o 有两个不同实根 n 与题设条件矛盾 n o 当且仅当 e 时n 即 od 时取到最小值 n d o 故 oa d o
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解答 " 求函数 dC 的导数 e oe oe a o o dL oaLo dC d D 例 #D ! 当d C e C e 时 e C e 是减函数 e 即 D d o DL oD& d o C 且不恒为零 D o o dL oaLDL oD&e oDL 且 Da a LdL d o L o aa o ! D D D D 由d e 知 dC C 是减函数 o dC oe oe oD&e DL D 所以当oD aa 时 e 当 oD aa 时 e 在 & 上存在一个区间 e 其上有 d C e d oe DL D 当 oD aa 时 e 函数 dC C 不是减函数 o oe oD&e D 所以 e 综上 e 所求 o 的取值范围是 C e e aa aa o D 例 # 变式题 DaD ! 解析 " 由题知 dC e 故 o 在 & 上是增函数 e D 得 da 解得 ad 故选择 ao da oe oe oD oe oDLe DdC D D 由dC 例 ! 解答 " C e 证明 e 令 e 则 C e e $ L o o L L L o d dC D D L o a 又 C e e C e 即 d o a d e D d L DL Ld L Lo o a o a e 证明 e 当 oDL 时 e e d aoDL DC L L 对一切 成立 e a a oa e LC L o & C e C e e C e D L L o a o L o d d D d o C ae L D LdC oe C e o DL 则 oa L L e L o aLe L oDLe L o Lo d ao o D e oe DLDL dC C e 证法一 e 设 LDo Do e 则 d D 又 oDL 时 e 恒有 dC oe o DL L L D LoD& 时 e o o oe adC oe a aa d o a o dC C e 证明 e 设 e 则 a o o o a o DLo D a a D o do C e C e edC o ao e oe o L Laa o o e o C o ao D Ld o d o ao do dC C e e a aa a a aL o do aL o do C e e C e a a L o a o L L o a o L o D D d D 由 o DL e 得 e edC e o DLe o ao DLe oe LdC o ao e oe oe DL DdC D 又 dC o ao o do e e C e C e e C e 是 上的增函数 o do DLe a aL L Laa L D D o D Ld o Dd o Ld o & C e 由 dC e edC e e C e L得 LdC oe adC oe DLe L o d o a o L L D d D 即 dC e 在C 上为增函数 o e oe oe LdC oe Le da e DdC a oao e L o DdC D dC 证法二 C 导数法 e e 由 dC e e 得 C e 又 C e 是 上的增函数 e o a da d o a aa d La oao DLe D do & e 当 oD C 时e a eC a aL o Le da e a DLe a aL o DL D LLDoDao 此时 d e 所以 dC 在C 上是增函数 o dC oe oe Le da e DL D 第 + 讲 D 函数的周期性 例 "D ! 解答 " 函数的定义域为 C e e e aa e L d da e DC D 令d o aa 则o a 解析 " LdC 是奇函数 e e odde a o ad oe LdC oe adC aoe D 例 !DLD ! 当d 时e 由 C e 关于直线 对称 e Le da e DC o 是减函数 o o o L d D 当 oD C 时e e e de da e d 是增函数 e oe dC daoe aoe adC daoe dC D LdC C e e 时 e 是减函数 e e e adC e oD aa L d o oe adC odd odL odd o dC D dC 根据同增异减 e 得单调减区间为C e 单 调 增 区 间 为 D LdC e dC e de d ae odL oe C e 的一个周期是 Lo aa e L o oe D 即 dC 例 " 变式题 D ! 解答 " 解法一 e 令d dao e 解答 " 解法一 e e e e则 aoD C e e e L oD C L d ad aL D 例 "D ! 则 dC e add C e e e e C e 是偶函数 e d d a de L da o L L L d d o D d D 函数d d e e e ao 的单调增区间为 C aa e L oe dC aoe dC daoe daodL aaoC oD C L D L dC 减区间为 C e e e e L da o D de ea e e e e d dd d a d 的单调增区间为 C aa e L dC oe dC odd dC D 解法二 e 减区间为 C e 如下图 e C e e 时 e C L da e o o L L o D d e odLo D e e dao DL dao DL D 由 或 oDL oDL D 解得 oD aL 或 L DoDLe D e e C e e L 单调增区间为 C aa e aL Le L D e dao DL e dao DL D 由 或 解得 oDL 或 aL e DoDL oDL oDL D 是偶函数 e 单调减区间为 C e e e C e e oe L L da aL L o D LdC C e 时e 解法二 e C L oe dC aoe aodL o dC oe dC dao e add d ao e aC dao e D LoD aLe dC e e 时e e e e oD C L d oadD C aL L ao dd dC o dae oe aL o dL oe D 又周期为 de d e aC e oe dC oad oad dL aaoo 令d 得 oD aL 或 L D LdC dC oe DLe DoDLe 例 变式题 ! 解 析 " C L L ae ddC d L L ae dC Le d 令d 得 oDL 或 aL DaD d ad D " dC oe DLe DoDLo ea e 故选 ao L a a a 和C e e 单调减区间为C aLd ad L L 单调 增 区 间 为 C a ae aLe L Le LeD dC 解析 " LdC e 与 dC e 都是奇函数 e odL oaL 和C e e D 例 #DLD ! da e aL L o C e C e e C e e e oaL D Ld aodL ad odL d aoaL adC e C o o o o C oa o o o Ld dd da Le e o adC o a Le de dC e C e oLd o odd o C o o o o Ld dd C e C e L oa oDLe o o Le o o o o DLe da LD Ld dd C e C e e C e C e e Ld o Ld o L a d D L D d do do 即 dC 在C 内是减函数 o oe a oe da e 同理可证 dC 在C e 内也是减函数 o oe aa e a o C e C od o a od oe oa o 证法二 e Ld dC oe Le d dD C e C e od o od o 在C e 和C 上都单调递减 o LdC oe aa e a o a oe da e 例 ! 变式题 D ! 解答 " C e 依题意 e 对一切 oD&e L 有 dC e aoe dC oe
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例题详解!

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数 学n 理 科n

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例o 解答nC d 条件说明抛物线dC o od e o o o o o与 Dw d d 和C dd 内d 画出示意图 C 如下 o 轴的交点分别在区间 C oo o o d 得 图d

解 答 nd 由 题 意 知 方 程d od eo o o o o o o o od dC dC D 例 oD w 且o Dd d d dd d 则有 eo 有两 个 根 o d od oo od o Dd o D d d d d dC dC dC d C dD oo故 oo odD o odD o Do d d d Dd d o o D ooo D oDo d D D d o C d d o D do e o o D 有D Do D d o o D o o oood D d d o o e D o dC D D DD o D Cd o oo o oo o D d oDo d o o D o do e D 如下图中阴影部分即是满足这些条件的点 C d 的区域 o od o D e o o o o D dCd D o oDo D o D o o D oo DoDo o o D Cd 据抛物线与 o 轴交 点落 在区间 C d d 内C 如下图 d d 列不等 o o D 式组 D o D D oDo d d d o o D dC D D d d od o o D dC o o D D DD D d o !D D D oD o 槡或 oD o o槡d o o DooD 解答 n C d 若 oeo d 则oeo d D 例 o 变式题 D w o o Do o o o DoD C d d C d dC d d D o o o eo o Do do do e o oo DoD o o槡o d ddC d 故 oDoo o o D 与 dC Do 矛盾 d o o o o oeo 的 ! eo o ooo oeoC o oo o od e 这里o d d 内通过o D 又o o是因为对称轴oeoo 应在区间C o o DooD o o D od C doo d o o d o o o o eod o Dod C o d D od eo 有两不等实根 o D 故 dC Cd C d ddC d C d d o o o e o o o o o Do d D 又o C d d 即C d dC d d eo o o o o o o Do D 而 o Dod D o o o d D 故C o o D D oo o Do C o d DDD od o D 例o变式题Dw 解答n 利用韦达定理o o o d do o oC o oo de C o o doo oo e oo DC d o o o o o o DD D d C d d C d d o o ooo o oo o oo o o o o oo o o oo D o !e e e D o o o o o C d 由D d o oD o o Do D o oe D o o D o o o o e C o d o o o o D o o oo eo o D o o D D 由第 C d 问知 o D o D oo d 故 o DC o oo dD d o o o d oD o D D d oD o D d o o !D D 故槡 d o oo DD o Cd 由D DD o odo o D D oo oC o o C d C d d D oo o oo o o D D o oo D o D D oo o oo o o D 第 讲 D 指数与对数运算 D d oo o o D D D D例 w 解答 n oDoo DD D o D oo D D oDo 或oD C d oo oo D C d 原式 eC o o 槡 odo oo o ooo o oo D o 利用二次函数的图象 o o 槡 o oo o o oo D eo oDod oDod C d 或 d o oD oo 或oDoo o 槡 oo槡 o oooeo o D D eo d d o o Do Do dC dC d 原式 C d C d C eo o o o o o o o o o o D oDod oDod !Dod !Dod D D C d eo o oo o o o o o o o D o d eo o Dod dC o d Dod dC d d o o o o oe C o o e o o o o o o D eC C d 或 C d d C d o oo Do D D d o eoo d o Dod D 例 变式题 w o C ooo od o o o 原式e od o D 解 答n C o D o e Do o D Do D o o o o o o o o D D Do o o oD o o Do D o o D o oo C d d C d d o eo eo d d D D D C d d ddC d o o Do 或D o o 或Do o dC d o d o oo d o e oo D eo C o D D o oo D D D oDo o D o 原式 e d 槡 C d o o o o o槡 C o槡 o o o槡 oo D Cd oD oo 或oD o D o
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例题详解!

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d 当# 1 1dw 时 d C 1 n a 1 ! o C !e o d 原式 a a d C 1 n a 1 ! !e o C ! ! o d a d C n a o C o ee 2 e 2 % e % o o 槡2 d a d C n a o eC o e d 综上可得 原式 e % 2a d C n a " 当2 de 时 B e o e C o e e d ! e a d C n a !e o eC o d例 ea d C n a e % C n a n a o C o e o C o L 解 析 o e e e wo o C n a d C ! oea o d e a d C ea d C e o ! o 2 e ee 2a d C # 当2 de 时 B ee o d ee 2 e d e % 2 e e C C C o e C n a e ea d C n a e % o o C o d ee 2 e e e e 解 答o 利用同角基本关系 并讨论角的 d 例 w 变式题 o L 设6’ 槡 是角 终边 e ’ ’de e " 上一点 % * 槡 o 范围 % d 若 ’de 则o 是第三象限角 B e ’ dd 当o 在第一象限时 e ’ e 槡 槡 e e 此时 a 槡 槡 d C n a da o e’ e C o e d C C a C eC n a o o o 槡 e a d C e o e e 槡 槡 d 若 ’de 则o 是第一象限角 B ’ da e 槡 C C % o e ’ 槡 e 槡 此时 a d C C n a % d o ’ o dd e e 槡 槡 e ! ! 因为 ! ! ! d 当o 在第三象限时 a d C n a o e C o e 例 wo o L 解析 o a d C ’ a d C d d e e d e e e da e 槡 ! ! !选 C C a C e% o e C o e槡 所以 ed C n a d a d C d d C C C % d e e e 例 wo L 解答 o 设弧长为5 弓形面积为 @ % d C n a d C ed C n a d Co a d Co C n a o a o e槡 o a o ed d e ! ! C C C C C C o o 由已知o C e5 C C e C C e C C C dC oe d o % e e C C Co d e@ @ e@ d 例 wo L 解答 o 由所 给 条 件 知o 是 第 二 象 限 角 则 o 是 第 一 e ! ! d n n ee n e na d C e e d 或第三象限角 % o o e C d ea d C a d C e e ! e槡 C % e 原式 d o 扇形周长+ C 5 C o o C% C n a ea d C d 槡 + d eC % o o 是第一象限角 o da C C d + e@ o C o d d o o 是第三象限角 o ea C C % d d + o d 例 wo L o o 解答 o a d C n a ea d C C n a oeC o o o d + + d % e e d ea d C n a o C o o e o d 当且仅当o 即o 弧度 时 扇形面积最大 最大值为 d a d CoeC n a d C n a d Co a d C C n a n a o a oeC o a o o C o d C n a a d C C n a oeC o o o + d a C C% e d d e 第w 讲 同角三角函数的关系式及诱导公式 w o d Co C n a d Co C n a d Co C n a o a o ea o da e a d C C n a o o 槡 d 例 oL 解答 o C 且e !d n a d C o ode ea o e e e e d e n Ce d C e C n C d C o a o o a o d 槡 e原式 C C n C o e % a d Co C n a d Co C n a d Coea d Co C n a n a o a o a o C o C n ae C C a d C o C o o d a d Coea d Co C n a n a o C o 槡% d a eC n C o d Co C n a a d Co C n a o ee o d e e 例 变式题 o L 解答 o 当# 1 1dw 时 d e% a d C 1 C n a 1 e ! ! o ! ! o 原式 d a d C 1 e n a 1 ! o C ! o 解答 o 法一 由a d C " C n a " d 例 w 变式题 o L e ea d C n a o eC o e % d e a d C n a o C o 平方得 a d C" a d C " C n a " C n a" e d
半轴 又C C C ode 得o 在第一 三象限 所以o 在第三象限 % 例 wo L 解 答o 据 题 意 有 " 2 * ee 2 所 以B
弓 弓 扇 三角形 扇 e e e e

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例题详解!

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第" # 讲 ! 两角和与差的三角函数
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从而 d ! o C Cod od Lo % C L d

d 例 $ 变式题 o ! 解答 " 由已知得 o e C C C C d e o e Lo o L de C d e d e L% L dC 平方相加得 o C d e C d e C e C % o o L e L 即 C d eLd o oC d eLd o d %

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同理可求 C d eLd o 又 o oo Lo !o

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第" 余弦 % 正切 $ 讲 o 二倍角的正弦 %
例 !o o ! 解析 " C C C C d eo e C C d e ! ! d o C d e d o C d eo e C ! d d e oC ! d o % o e C C d e L L o e CL C d e L ! d o C d e od ! d C oe !

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o o C d e 槡 o o o d C d e o 槡 o eC o eC o % o 槡 d 槡 C d e d 槡e Cd C d e d e 槡C o 槡 deC e C dC d eo o C d eo C d e de CdC d e oo d e de C% o dC o例 ! dC d eL " 槡 d d 解答 "/ " e CL " 槡e CL "d o "o o C ! "d d eL " e C L % o 且 Lo o o 因为函数 / " 的最小正周期为 !o o 所以 ! !o 解得 L % L o ! ! 解答 "e o 例 " 变式题 o ! do C C oe o ! d e o o eC ! o nC o ! e C o o o C d eo o o o o d ! o ! o 得C o 又oo ! o d eo % o o C C d C odC od o eCo C e C dC d e o o o dC d eo e C C d e o o o dC d eo d eo o dC e Co o dC d eo C d Co o d d ! ! C d C d e o dC o d槡 d % o o例 ! do ! ! 解 答" 法 一o 由C 得C " d e d e C d e "d d o #o o ! do d槡 o d " C d e "de C " e C " C d e " % o eC eC d d d o d d ! ! d e "oe C " 且e C "o C d e " 同号 o o"o o C o d ! ! o d o"o o o o eC " C d e " d槡 e C " C d e " d 槡% d o e C " C d e " e C " o 原式 e C " d o C d e " o d d d 槡 o eC d " C d e "C d e " e C " d o C d e "de C " d槡 o d o o d % d o dd

例题详解!

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例题详解!

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!C "d o 即ddwaddCddwa a oo a C oo oo oo oo od dwd dCd dwd dC d dwa !C "C "wa !C "d C C C d d dd w o a 若d oo o o o o o o o o e 则 dw d d dwd dCd dw !C a !C " "d " o 则 令 dw on o L o a dC e dd dd w d d w "Ca!a "d o oo与oo共线 e 存在实数 e oo oo oo dooe dw d 是减函数 d d 使d dw dd de o o odd dd C o ! 由a e e 得 do e 此 为 o 即 "Ca!a 解得"w d d C e d !C " e do e a d a d do- e "w da ! !e !C! ! C a C o o o o o o o 的减区间 例 ! 解答 " e d d $ o d d a d d a d d w , o d o d oo oo oo d wC d dad d e ! e 由a 得 do e 此为 d d do e a d a d ! !a edo- e !e !a!e o 即d oo o o o o a dad d是与 d d 方向相反且长度相等的向量 d o 如下 图 所 示 e以 dde d d 的增区间 d d d 为相邻的两边作平行四边形 o dddd e oo o o o o o d Cd w d d e d d wd Cd e d d 为偶函数 d 则d dwd dad de o d oo o o o d da! w d d e d da! wd d e dwCd dd o 在平行四边 形 dddd 中 e 最小正周期为 ! oo d d d 为周期函数 e 设d 则d d 与d d 相 交 于 de dw o 当 dw o o o o o o d !do- 时 e d d wod e d dd dwd dd o dd 是 oddd 的 dd 边的中线 e oo oo ! C 且o e d d wa d d o o o 当 dw 时 e d d d !a dodd w o 点 d 是 oddd 的重心 d a o 第五单元 o 平面向量 o o o 第" * 讲 o 平面向量的概念与运算 o o o o o 例! 解答 " o d 直线 d 也可 o dod de d 和d d 可以共线 e o! o 以平行 e 故不正确 d o 则其方向不确定 e 故不正确 d a 若其中一个是零向量 e o o 则d 所以d C 若四边形 d d d d 是平行四边形 e dod de dw o oo oo oo oo oo oo oo 若四边 形 d 则d 所 以 四 边 o 例 $ 变式题 oano d de d d d 中e d dwd de dod de 解析 " 由d 得 dad dad dwd de o! o o o o o o o o o o o 形d 是平行四边形 e 判断正确 d d d d d dad dwd dad dwd de o 则 Cad oo oo o 由实数与向量的积可知判断正确 d 从而 d nd wano dwd de d oo oo o d d 与 d d 分 别 表 示 oo 与 oo 方 向 的 单 位 向 量 e 设 它 C oo d d d d 第" oo + 讲 o 平面向量的坐标运算 o d d d d o o o o od o o o 设以它 们 为 两 条 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 o 例 们分别为d d与d d de 解答 " o 由题意 e 得C e e ! a wd Co aa d oe oe o! o o oo od o od o 一个菱形d d d d d d de d d d平 分 od d de d dw dad d 与o "d C o dw e od o oo oo oo 也平分 od 由d d d的方向相同 e d dd dwd dad d知 动 点 d o Cdao dwCe L 所以 得o o 的轨迹 为 od 的 平 分 线 e 一 定 通 过 的 内 心 e 故 e d d d d od a da dwa d dw d o o L 正确 d oo oo oo o a!ad #w Cao de aa de a "C !w CCe ae 例 "o ! 解答" od dwd dCd dw !C "e o o aL Cao o o o oo o o oow od oo d C CC aa d woe dwC d d dw d dw !C "e o C o C o o o o o o o o o 设 e e 则 e e e C $ w d $ C # w d C o C o ! a " wa oe d d o d wd dad e o d Co Ca Co wo d o 由题意得 o o w "a !C " o o dCo a dCo wCe o o C o 解得 dwCe 或 dwCe w !a "e o o dwCo dwCd o o oo o oo o o o o o o 从而 e 或 $w C Co $w Ce Cd o dd wd dadd w d da d d a C oo 解答 " 设 d de 则d dw de d e d e o 例 ! 变式题 o ! o oo o oo a oo a o o e w d da d dw d dw !a " d dw dCoe d o a o C C oo oo dw Cae oe d dw oe oe o 又d a a ooCd oow o!C o"d w !a "e oo d wdd de d 三点及 de de d 三点分别共线e o 则由 de C C a o o o o o e o d C o C C a w o o d 例 #o ! 解答 " od 在 d 上 e 与 共线 e d d d d d 得 oo oo oo oo oo oo dC o o d o o dw 即d d dw d d de dCd dw dd dCd d e 解得 即d C e o o o o o o o o o o o o dw Cd o dwCe d dwd da d d dC d d d w oC dd da d d dd oo 例 ! 解答 " o o o o o o " o d d w oe ae d dw Ce Ce o o 设o e e 则 e 且 e e C d w w dw d da d d "a o")o&d "d " o ) d ) )w o o o o o o e d d w d d a d d d w oaC d aaC d d o 例 # 变式题 o ! 解答 " o 依题意 e d 是d d 的中点 e oo oo oo o ad dwd dad de
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例题详解!

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且w n L o d e wea C w w 设点 n 的坐标为 C o C

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例题详解!

" 7" "$ <# "" " 7, <# 得 # 7" # 7, # * *$ *" * # # 代入*", 即平移后的抛物线为 *" " 得* 7, # ",! " 7, <"# # " # 顶点坐标为! " ", < $ # <# # % ,!
由平移公式

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# 由已知 # 它过原点得 #" < % "

令 *") # 求得 "" <4槡 ## 因此它在 " 轴上截得的弦长为 #槡 ## 据题意得 % /#槡 #/ #"%# # 代入 " 得 <"4% + #"%# % 故存在这样的平移 !" ! " 或!" ! # " %# % ,% % %
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第# " 讲 ! 解斜三角形及应用举例
例 !! ! 解答 " 解法一 + 在 >& ( 3 中# (; < = & > 7 ; 3". > 7 ; & ; < = 3# 则由正弦定理及余弦定理有 +
# # # # # # ’ $ ) , + ) $ + , ’ / # ’/ ". + # ’ ) # ) + # # # 化简并整理 # 得# ! " ’ , + " ) % # # # 又由已知 # ’ , + "# )# +& )" ) 解得)"& 或)") ! 舍" % # # # 解法二 + 由余弦定理得 + ’ , + " ) ,# ) + > 7 ; &# # # 又’ , + "# )# )+)#

所以)"# + > 7 ; &$#% !" 又; < = & > 7 ; 3". > 7 ; & ; < = 3# +; < = & > 7 ; 3$> 7 ; & ; < = 3"& > 7 ; & ; < = 3# ! 即; ; < = &$3" "& > 7 ; & ; < = 3# < = ("& > 7 ; & ; < = 3#

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例 ! 变式题 ! ! 解答 " 由正弦定理得

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& ! " 在 中 # # 故由正弦定理得 # >& ( D & ("# & D # # " ! ! " " ; < = & / F ,% / F ) F $% / F ; < =9 % #: # ; < = . ) F # 故& D" " "槡 *,槡 #% > 7 ; % / F 槡 *$槡 # & ! " +> 7 ; ( D"> 7 ; & / F ,. ) F " 83 *$槡 # 槡 %

解答" 连 结 ( 设四边形 & 4# ( 3 4 的面积 3 例"变 式 题 ! ! 为@% 3 3 则 @"@ $@ % / / 3 " %&(/&4/; < = &$ ( 3 3 4 ; < = 3% # # 3 3 ( 四边形 &(34 为圆内接四边形 # # 1 ) F 3 +&$3"% < = &"; < = 3# > 7 ; &",> 7 ; 3# 3 +; 3 +@" %; < = &! & (/&4$( 3/3 4" # 3 " ; < = &! #:&$*:& "% * ; < = &% 3 "% # 3 在 >&(4 中 # 由余弦定理 # 得 3 (4 "&( $&4 ,# & (/&4/> 7 ; & 3 "# $& ,#:#:&:> 7 ; &"# ),% * > 7 ; &% 3在 同理可得 3 4 中# >( 3 ( 3/3 4/> 7 ; 3 3 (4 "(3 $34 ,# 7 ; &"/ #$& 1 > 7 ; &% 3 "* $& $#:*:&:> 由( # 得 4 "( 4 3 % 3# ),% * > 7 ; &"/ #$& 1 > 7 ; &/> 7 ; &", # # 3 # # ) F 3 +&"% * ; < = % # ) F "1槡 .% 3 +@"% 例 ! 解答 " 解法一 + # ! 3 8 !# ! 3! " 依题意 # 有 &"#槡 # 又 8"# % .# ". + ’" # & * ’ 3 ! 3 +*"#槡 . ; < = "% * 3 # ! # . ; < = ". 3 当 ""& 时 # *"#槡 . 3 +!! # " # 又 6! " # & . 1# ) 3 "$ ! ""/ ! 1,& ),. G ?" % 3 +!6" 槡! ! " 在 >!$6 中 # # # # !$6 "% # ) F !6 "/ 8 3 设 86!$ " # 则 # F ) F % ) % %%* 3 !6 $6 !$ 3 由正弦定理 # 得 # " " ! " ; < = % # ) F ; < = < =* ) F , % ; % 3 )槡 . % ). ! 3 +$6"% " # ; < = !$ " 槡; < =* ) F , %# % . . 3 )槡 . % )槡 . ! 3 故 $6$!$"% " ) F , ; < = ; < =* %$ % . . 3 )槡 . % % )槡 . ! . 槡 3 "% " ) F % < =%$* ; < = 7 ; %$ > % " . ; . # # 3 # 时# 折线段赛道 !$6 最长 # F ) F + 当%". ) F % %%* 3 () 将 86!$ 设计为 . 时# 折线段赛道 !$6 最长 % ) F 3 亦即 # 解法二 + 3 " 同解法一 % % 3! " 在 >!$6 中 # # # # ) F !6"/# 8!$6"% 3! 由 余 弦 定 理 得 / $6 /> !$ $ $6 ,# !$ 7 ;8!$6 3 # 3 "!6 # 3 即 !$ $$6 $!$/$6"# / 3 故! !$ $$6 # !$ $$6",# /"!$ /$6( ! " # 3 3 从而 . ! )槡 .# # 即 !$ $$6(% !$ $$6"(# / & . 3 折线段赛道 !$6 最长 % 3 当且仅当 !$"$6 时 #
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解答 o 且e ea ea e 为 oe e e 的 内 角d o 例 n 变式题 o L d o !d C e C o d e C e C o d e 例 no L 解答 o 解法一 a 由正弦定理 d 得 d o C o d e C e C o de d C o d e o e ! ed C e e C o d 即 d o C e C o d e ! 槡 C 槡 e C o d o d e C o d e e o C C o de C o d ed o e e或 e ed 槡d d o 由 知C o d e C o d e 即e e 或e e d o e e 为等腰三角形或直角三角形 oe 由正弦定理 d 得 e 槡 d 在 oe e e 中d o 又 e !d e ae e e o d e C e e e e e e 化o e C o d e 解法二 a由题设知C o o e C C e C o d e e e e e ae e o d e e e e o 槡 e e C o d e 简d 得e e e e d 槡 e e e e o oeee 的 面 积 e e e e e e e e 或e e e o 槡 为等腰三角形或直角三角形 e e o oe 例 n 变式题 o L 解答 o 解法一 化成角的关系求解 a o 例 wo o L 解析 o 解法 一 a 根 据 四 个 选 择 项 的 特 点d 本题可 o 采用 验 证 法 来 处 理 不 妨 先 验 证 等 边 三 角 形 d C o d e C o de e d 刚好适合题 由条件可得 o 意d 则可同时排除其他三个选择项 d 故选 o oo oo ed C o de e C o de e d e e e 所在直线穿过 由于 e 则 e e 的内心 d oe o o oo o 解法二 a ed C o de e C o de e d e e e e o o o o oo oo o 按和差化积公式展开 d 得e C e C o d e eC o d e C ed e e e e oo oo oo 由 oo ae 知d e e e e e o o o o 等腰三角形 oo o o 由正弦定理 d 上式可化为 e e e e o o o oo oo o 的三线合 一 定 理 a C o de C e C o d e C o de C o d e C e e a e e 又 e d 所 以 e !d 即 o o o o o d e e e e o o o o C o d e C o d eo o oeee 为等边三角形 d 故选 C o d e C e C o d e C ed o 例 w 变式题 o L 解答 o 即C &o ’d e C o d e e C o d ed o de C o de o 因为 ea 为三角形的内角 d e 即 ae ae d 其中 e 是三角形 e e e 外接圆半径 d o e e e e ! 所以 e e 或 e e o e ed 故 oe o oeee 为等腰三角形 e e 为等腰三角形或直角三角形 即ee d 解法二 化为边的关系求解 a o 由题意可知 &a( d ee d o 由条件 e e C d e e e e o de e e e C o d e o 由余弦定理可知 d e e e 可得 e e e C e e e e ed e e C e e ee o 即 d e e e e e e e e e e e ee oe e e e o e 或e 舍去 d e e o e ee oe e e e ! a a e C o d e C o d 槡 o e e e e e 或 e ed o 故 oe 解答 o 延长 e o 例 wo L e e 为直角三角形或等腰三角形 e 交e e 于点 e 由条件知 垂直平分 d 若 d o e e e e e e % " oe 例n 解答 o 由 C e e 及e ! e e C e oL o则 e e d故 e e e e C C C % % % o 得d Ce e d Ce e d %d o 又 ee o 所以 e ee ee ee d C e C e C o d e C o d e C e C e C o d e C o d e d %d C C % % o C o d ! % C o d e C o d e o 所求函数关系式为 e o %o C % o 又由e e e 及正弦定理得 则e d e o # 若 ee d 故C d C o de C o d e C o d ed o de 槡 o 所以 ee ee 槡 o 所求函数关系式为 e o o 槡 槡 舍去 d 即C o d e 槡 或C o d e o 选择函数模型 " d o C C o d C o d %a C % % % 于是 e ! 或 e ! e oe C % o C o d % 又由e e 所以 e ! e 知eo e 或eo ed C % o

第w w 讲 o 三角形中的三角函数

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例题详解!

3 程 .$1"&#解之得 .".# 1"%% 3 .,1"## ! ! " ! "$ / ! #(% ( / ! # + ,# ". ,% %" ,%"( # / / 当%. & 时# # 是 的减函数 )# " 7%) * % * 3 * ! " # ! " ! " # # % & +/ . ,% $ % % ) ( ( ( ( / / / 3 !# ! 时# 当%. ! " 7&) # ,# ) % * * 是% 的增函数 % (% ’ 3 故 /(/! * & % ’, )(## ( 3 方法二 ! 线性规划方法 " + 所以当%" ! 时 # 这时点 : 位于线段& )$% )槡 .# ( * "% # ’ $ ) ( (&# * 3 ! " # 由线性规划知识可知 ’,# ) 3 / ,# "& % ). 的中垂线上 # 在矩形区域内且距离 & ? 处% (边 槡G ! " / ,# % ) % ( ( / . 3 3 第# % 讲 ! 均值不等式 第六单元 ! 不等式 3 % 9 3 例 !! ! 解答 " ! " # % ("&) *&)# $ "%% " * 3 第# $ 讲 ! 不等式的概念与性质 % 9 ! " * 9 " 3 +"$*" ! $ "$ " $ $ % ) * $ % ) " % * % ) * " *" " * % % 3 例 !! ! 解答 " ! " % " ,"$%, "" ,"$ " 又% 9 * 9 # # # " # $ "% 3 当且仅当" " * * % % 3 即 ""&# ", "$ &)% "! 上式等号成立 % #时# *"% # & 3 故当 ""&# 时# ! "% # "$ * % * *" "% % 所以 # " ,"$%& % 3 / # ! " # ("% # +/,& "&)# & ! ! " #3 # " ,! " ,"$%" "" ," $",%" ! ",%" " $%" 3 % % 因为 ")%# 所以 ! " ! " ",% " $% ))# "$ + ",#$ ", ! /,& $.( ,#$. *"& /,& "" & ",/ 3 所以 # " )" ,"$%% 3 "%% 例 ! 变式题 ! ! 解答 " % # 3 当且仅当 /,& 即 ""% 时 # 上式等号成立 % ! " ! ! "" % (! "$ ", ,! ", "$ *" *" *" *" /,& " 3 ! " & ! " ! " ’ " ", * "$ * , "$ * * "%% 3 故当 ""% 时 # ",# " ", % *" *! " 3! . !!# $# )# 槡 # /# "# 槡 # "&槡 #% 又 "% +" ", *%)# *%)# *&)# 3 . 当且仅当 # "# # 即 ’" 等号成立 % # )" 时 # +,# " ", &) *" *! # 3 ! ! +! "$ ", ", "$ % &! *" *" *" *" 解答 " ! " % # "$1 "$1 *"),# *, *," *"" 3 例 ! 变式题 ! ! ’ ’ ) ! " / # # 1 ! #( " ’ ) "! " 3 # $ 1 "%# ) "$ "$ "! $ " "$ ’) *"%: ! *" *" * " * " 3 ’ 若 ’" 则 ! " "% # " 1 )# + ’) " ’ )* 3 "# $ $% ) % *$% )"% 1 % ) )# 槡 * " 3 ’ 若 ’% 则) 且 ’, ! " 因为 / # 所以 ’$ )# )%)# )"%# % %%# ) 3 # !! . . ". % % ) ’ ) /’ ’ ’ 3 % $ % "! $ " ’$ )" "#$ $ )#$# # 则’ ! + ! " & ! ""% )& ’ )’ ) ’ ) ’ ) ’ ) 槡 ) ) 3 % 当且仅当 ) " ’ 即’" 成立 # 故选择 !% )" 时 ( ") 3 "&# 若 ’& 则 ’ &% # 且 ’, )# )&)# ’ ) # ) 3 6 9$ 6 % % 6 % ) ) 6 9 9 8 8 8 8 ’ ’ " / . 6 9 6 % % "% % (! % 8 8 # 则’ 3! "" ! + ! " & ! ""% )& ’ )% # # " !# " ) ) 3 % ’ 综上可得 # 当 ’" )时# ’) " ’ )解析 " 不等式 ! $ "$ )9 对任意正实 *" ! 3 例 "!!! ! " *" 当 ’+ )时# ’) & ’ )% 3 数 "# 恒成立 # % ’ 例 "! ! 解答 " ! 方 法 一+ 可 以 赋 值 验 证# 令 ’"& # 则& ! %" )".# $ "$ * *" ! ’ )9# " *" 3 ) $ . ) ) , . 方法二 + 通过作差比较不难得知 # ."#% % & & % ’ % ’ ’$. ’ ’,. 3 而由柯西不等式 ! $ "$*" ) " $槡 * ! " *" 槡 " * 槡 槡 3 )$. ) ),. ! " 由! " 可知 % 且函数*"> # % 7 ; "在 3 ! & & & &)# ’$. ’ ’,. " %$槡 ’")9% 3 +槡 )$. ) ),. 舍 去" # 所以正实数’ 的最小值为 & # ’)# 或 槡 ’( ,&! 区间 ! " 上为减函数 # 故> )# % 7 ; > 7 ; %> 7 ; % % ’ ’$. ’,. 3 选 !% 例 " 变式题 !3! ! 解析 " 由 ’& 而3 ) 且+&A/ ’$ +& )$A# 例 " 变式题 ! ! 解答 " 方法一 # 可以使用三角换元 % 由 3 可举反例 % 选 3% ’$ +& )$A ’& ) 且+&A# / 3设 ’ > 7 ; 1"槡 ’ ; < = %# %! 例 #! ! 解答 " 方法一 ! 待定系数法 " + 3 ."槡 则. ! # ) > 7 ; ) ; < = "$ 1 ’ ) > 7 ; . "$ 1 %, *"槡 *" 槡 * 设 /! " " " ! # (# (% (" ,# ". ,% $ 1 % .# 1 为待定系数 " /! /! 3 ""槡 则& # ’ )% ’,# )".! ’, )" $ 1! ’$ )" 3 的最大值为 槡 方法二 # 利用柯西不等式 即& ! " ! " # 比较两边 , 的系数得方 ’,# )" .$ 1 ’, ., 1) ’) 3
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数 学# 理 科$

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o o C d oLo o d o L L o d L o d 所以 o 槡 L Ld Lo a L LL Lo a L LL d dd 槡 d 的最大值为 槡 o o o o o o 所以 C 原不等 例 #o ! 解答 " 法一 e 和积变换 C C e C 令槡 C C d oLoLoLododoLdLododoL LodooC o L L ae a oo d 式成立 L 由L 得a do C L Lo Loodo 槡 L LooC a oo d 解得a 即槡 故L L LdoL LdoL doC 第# ( 讲 o 不等式的解法 d Lo L C e C 令 Lo C 由L 得到 o L a L Lo Lood e d 例 !o ! o C 解答 " 设a o 原不等式等价于 o o LC d C 故 a oo a oo o LdoL do a Lo a oo o a ooooo a o a oo o a do do d dod do d d oo 法二 e 消元法 C C e C 由已知得 L o Lo L LooC oo o a oo a a oo d L oo e C Loo C e C L Loo o L Loo L o o 综上所述 C 原不等式的 Loo d do o o d o Lood oLd e C C o o o L oo L oo L oo d C e Coo C C o L L LC Loo Looo o o Loo Loo Loo d 解集为 C L L oLd e C C o o Loooo e o d C oo Looooo Loo o o Loo Loo 解答 " 设a o 原不等式等价于a o o d oLC d 例 ! 变式题 o ! a da oo C C o oo o Loo L do e Loo 槡 a a o oo 或 o o ooC d a ood o 当且仅当Loo 时取等号 L 即L L o 时 C L L 的最小值 d o Loo C o o o o oLoo oLo oo 或 o oLoodooLo 或 o o do 为 oL 原不等式的解集为 d 综上所述 C 所以 L L 的取值范围是 C oC oo C L d L ooLo o 或 ooLoo L e C 由已知得 L e C Loo C o Lo L LooC L Loo C o dC Looe C 解答 " e C o L Loo L o oo dLC d 例 "o ! Loo e C L L oo L d o当L o时C C 即o o Loo e do doC o Lo L Lo LooC o oooo o L oodo L oo ooo Loo Loo d C L Ldo L o d Lo d d oLdoL故L 的取值范围是 C 例 $o ! 解 答 " 不 等 式 可 变 形 为 a o Lo o e C L Loo Lo L Lo d C de o oo Loo Lo Lo Lo d Lo Lo Lo d Lo d Lo L d Le o o o o oo L C e C C Loo Loo Lo e Loo Lo L Lo d Lo L Lo d C oo d d Loo ooood L oo Lo d Lo L C ooo o oo o aooC a oL do d 由e C 知 Loo C o oo Lo L Lo d d 例 $ 变式题 o ! 解答 " 证法一 e 利用不等式的性质 C C Loo Lo C C d 所以 e Loo Lo e Loo Loo o o L ood oo C o Lo Lo dC Lo do Lo LooC o Loo Loo d Lo L Lo d d 又由Loooo oL C o o o C 又 o o ooC o o o Lo d Lo L Lo d Lo d d Loo Loo Loo C o o o d 当 ooLdo 时 C oo C o o o oo L oo Lo L Lo d do L d Loo C 证法二 e 利用均值定理 C C L ooLo d 则集合 L C LooC d 当L o 时 C 要证不等式 o o o o o oo 成立 C 原不等式解集 L 为空集 C Lo L Lo d do L d Loo C oo 只需证明 o o o o o C d 当Loo 时 C Loo Lo L Lo d Lo d d Loo d Lo d C L L 即只需证明Lo oLooC o oo 而 d 则集合 L C Loo Lo L Lo d 当o d 综上所述 C Ldo 时 C o Lo d Lo d Lo Lo Lo d Lo Lo Lo d o o Lo L Lo d Lo L Lo d d 集合 L L ooLoLoo C C LooC Lo d Lo L d oo o oo L dooo o oo Lo L Lo d 集合 L 为空集 C d 当L o 时 C 所以 C 原不等式成立 L Loo d 当Loo 时 C 集合 L C L L oLooC 证法三 e 利用两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 调 和 平 L oo d 均数 C C 解答 " e C 当 Ldo 时 C 即解LoLooC d 例 #o ! o Loo o a o 成立 C d o对 C ad& C d 槡 ad Loo o o o o d Lo o a 不等式恒成立 C 即 Ldo C d 即 Loo ooC o o o d e C当 e C Lo L Lo d o o C 时C 即 解 L oo C 即 Lo Loo oo C 因为 o de C e C Loo Loo o Lo L o Lo d Lo d d o L oo
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例题详解!

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# 3+槡 " ’$ ) )槡 ! ’$ ) % # 3 # # 3 同理 槡 " # )$ + )槡 ! )$ + +$ ’ )槡 ! + $ ’" % 槡 # # 3 ’$ ) $ 槡 )$ + $ 槡 +$ ’ 3 三 式 相 加# 得 槡 " ) % " 3 )槡 #! ’$ )$ + % % 1 ! " 当"% 由 % )时 # "" . "% ) % $ $ ) /0 % ( ! /! % /, 3 . ) 例# 解答" 假 设 三 式 同 时 大 于 %# 即! /)& % # 2 " %,’" . !! & & 3 ")) 1 % % 3! % " / ! " / 三式同向相乘 # 得 ! "当 " ) ) 时 # 由$ %, ) + %, + ’& # & # # "" $) /0 % /! %/ & & . ) 3 ! " 2 . . % 3! / " / " / %, ’" ’/! %, ) )/! %, + + & % " " ) ) * & 1 % 的解集为 3 不 等 式 ! " ) " % % + " / ( ( $ $) / 0 % % %, ’$ ’ . ) / # %, ’" ’( ! 3 又! 2! "" % ." . # & 3 $ # # " + 应填 & ,. %’ % $,. ("(%% % ! % ! " / " / %, ) )( # %, + + ( # 3 同理 # & & 第# ) 讲 ! 不等式的证明 3 % / " / " / %, ’" ’/! %, ) )/! %, + + ( # 3 +! * & 例 !! ! 解答 " 法一 + ! 作差比较法 " 这与 式相矛盾 # 因此假设错误 # 故结论正确 3 % " ! " ! ’, ) ’,槡 )" 槡 # ( 左边 , 右边 " 例 $! ! 解 答" ! 用 放 缩 法" # 3 (1 & # +6 7 1 ,%" & 8! ’ ) 槡 3 # ! " # ) 6 7 1 $% ) & 8 又 ’+ ! " 与! 同号 # )# ’, ) ’,槡 )" 槡 3 " " 6 7 1,% $ 6 7 1$% 8! 8! 左边 右边 # + , &) + 6 7 1,%" 6 7 1$%" %& 8! 8! ’" # 3 故不等式成立 % " 3 6 1 ,% 6 7 1 7 8 8! # 法二 + ! 分析法 " "% & ’% & # # ’ 3 欲证原不等式成立 % " " 6 7 1,% 6 7 1$% % %% 8! 8! 3 +1&# 时 # ’ ) 例 变式题 ! 解答 " ! 用放缩法 " $ 即证 ! " # $ ! 3 ’ $ ) & 槡 槡 ) 槡 ’ 槡 % % % % 3 当1)# 时 # " , # % ! 即证 ’ $ ! # )& ’ ) ’$ )" " 1 1 ,% 1 ,% 1 1 3 即证 ’ $ ), ’ )& ’ )# 3 + % $ % $ % $ 0 $ % %%$%, % $ % , % $ 0 $ % 只需证 ! ’, )"&)% 1,% # # . 1 3 % # . ( ’+ )% +! ’, )"&) 成立 # % % 3 ,1 "#, %# % 故原不等式成立 % 1 3 法三 + ! 综合法 " 第# * 讲 ! 含绝对值的不等式 3 ) 不能取等号 " # ( $槡 ’&#槡 )! 3 ’ ’ "$ ’# 槡 解答 " ! " 据题设 ,"$ % %",. % 3 例 !! ! # # ’ $槡 )&#槡 ’# 3 "%*$’# ) 槡 3 即1 ’ 0 ) ’ "&#, % + $ &槡 ’$槡 ) 2 3 2 . ’ 槡 ) 槡 3 例 ! 变式题 ! ! 解答 " ! " ! 综合法 " 因为 ’$ 所以 % )$ +"%# 欲使 &+4 #必须 #, ’ %*$ 即 ’& ,. ’# % . 3 ! " ! " # 即 ’$ )$ + "% ’ $ )$ + "%, # ’ )$# ) +$# ’ + % # ,. $- " % 3 故所求’ 的取值范围是 ! 又# ’ )$# ) +$# ’ +( ’$ )$ )$ +$ ’$ +# ! " 由 &’-" $ % 知 # . 3 % 所以 ’$ )$ +) % ’ 31 . # ,. # ’()# (#, %. % . / 0 3 ! " ! 分析法 " 要证 # # ’$槡 )$槡 +(槡 . ,. ’( ,#% 槡 % . ’(& %*$ 32 需证 ! # " . ( ’ $ ) $ + 槡 槡 槡 3 +,.%’( ,#% 需证 ’$ )$ +$# 槡 ’ )$# 槡 ) +$# 槡 ’ +(.# #,# ’ # 使 &’-" $ % ,. . % 3 故存在实数’. ! 需证 # 槡 # # ’ )$# 槡 ) +$# 槡 ’ +(## & " & ( 3 1 解答 " ! " # # % "" "0 ,# "$% # &%"(1 需证 # 槡 /! ’ )$# 槡 ) +$# 槡 ’ +(#! ’$ )$ +" % 3 例 ! 变式题 ! ! # 2,& "&1% 显然成立 % 3 图象如下图 + 3 所以槡 ’$槡 )$槡 +(.% " 方法一 + 不等式$ 即 /! # # ",1 ",& "" $,$ $&## &# 3! ’ $ ) ’ $ ) 例 "! ! 解答 " ( )! ))# " "$% #"# 得 ""/ % # # 3 由 ,# 由函数 ! " 图象可知 # " / 3 ’$ ) ’$ ’$ ) ) + " ,- # / % 3 原不等式的解集为 ! 槡# ) # ) # #
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e 第七单元 o 直线与圆的方程 e e e 第# + 讲 o 直线的方程 e d ! ! e 例 !o d d a a a a a d # o dL dd 或L doa C C e L C L 方法 二 w 或e! L da L dC n ndn node 解析 " d L L Ld La a a Ld a a L # 其中a # 槡 a dLd C dL od L e CnL a Loa ! 或 e 又 L L 的对称轴方程是 L C L adLd LdC od Ldad LdC od e eLnd e 故原不等式的解集为 dd d L e 例 "o ! 解答 " dL d 时 不等式可化为 e Ldd dn Ldd C n n nod e 由n Ldd Ldd C ndn nod eLn dd 或 Lod e C 解集为 L Ln dd 或 Lod L n ! ! d # L !d Lee 则C d d 欲使a Ldd dn Ldd L 恒成立 即n Ldd Ld n no ndn an e ! d C 恒成立 即 L n Ldd Ldd C 求函数 nod ndn n od 即# d L d C a a a ! # dd e C 的 最 小 值 方 法 一 w 我 们 可 以 画 出 函 数 Ldd dn Ldd n n L n 图象 方 法 二 w 可 以 利 用 数 轴 上 动 点 到 坐 标 为 dd 的 点 和坐 e C L dd e L 标为d的点的距离之和画出数轴来求L 方法三w 可以利用 d ! e 故直线L Ld L L C 的斜率为 dd 所以倾斜角为 L Ld Ld d d Ld d C 得到 n n n n n Ldd d Ldd n d C e Ldd Ldd d C 故只需d Cod C 即可 所以L n ndn n e d C dd C L d d L d dd L nd e CL Cdd ddL ddd dL 例 " 变式题 !o 解析 "n Lodo ! Ldd Ldd ndn nnL 有 解 dddd ddd e 画出示意图 即存在 L 值使不等式成立 即 n Ldd Ldd L 即L 如图 d ndn n n add L e L od e CL dd 或L d d d ! 例 " 变式题 " 解析 "L L d dd w L的定义域 e a o d o! 槡 a a a a a d # L d C 是 dd d 即不 等 式 Lwd dd C 的 解 集 恰 好 是 d d e 解析 " 由L L dd ddL d 所以直 e 例 ! 变式题 o o ! dd dd d 解得 L d L d 即需 LnC 且d a a a e L d ! ! e 线的倾斜角为 C # C 或 d n#n!L 例 #o ! 解答 " 证法一 分析法 w 解答 " d 设所 求 直 线 倾 斜 角 为% 已 知 直 线 的 倾 斜 e 例 "o ! L L Ld L ndn n n 只需证 n 要证明 n ddn L dn L Ld L e 角为 则 d 且a n n ddn n a 从而所求直 d a a a a a a a d # % # # % a # d d C L dn L Ld L Ld L L dn L e n n n ddn n n n ddn n n 线方程为 只需证 a L dd d dC C L L e L d L dn L d L Ld L Ld L dn L d L Ld L n n n n n n nw n n n n n n nn n e d 解法一 w 设直线方程为 L d L dL CL C L L 只需证n e L dn L Ld L n n n n 显然上式成立 e 代入 L d d 得 d d d dL L L 所以原不等式成立 L e L L C L a LL 证法二 利用函数的单调性 w eC 若 L L 时 则 L dL d w e若 L 构造函数 L L L C 时 则 L dL dd L d L ddL e 所求直线方程为 Ld Ldd C 或 Ld Ldd CL L d eC CL L dd 解法二 w 由题意可知直线的斜率存在 ddL ddL e C 函数 L L 在 C dd 是增函数 e 设直线L的方程为Ldd L Ldd L L 所以 L C ddd Lw L L n ndn n e 令 L C 得 L ddd CL n L dn L n n ddn L dn L n n d d 所以 e 令 L C 得 L dd L L dd C L L Ld L n n Ld L L n Ln e ddn Ld L n d d L dd ddd L dd e 所以 ddd 而n L L L L Ld L L dn L Ld L ndn n n n CL n n n Ln n e d L dn L Ld L n n n n 即 n Ldd dd C L e 整理得 d L ddn L dn L Ld L n n ddn n e 解得 d或 L L adL d e
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例题详解!

#! 舍" 3 % . 3 + 所求直线方程为 "$ *,/") 或 ", *,%")% 3 例 " 变式题 ! ! 解答 " 在两 轴 上 的 截 距 都 是 ) 时 符 合 题 意 # 3 此时直线方程为 . ",# *")( 直线不能过原点 # + #" 若截距不为 )# 则设直线方程为 " $ * "% # ’ ’ 将点 6! " 代入得 # $ . "% # 解得 ’"/ # ## . ’ ’ " * # 即 "$ + 直线方程为 $ "% *,/")% / / 例 #! ! 解答 " ! " 将直 线 的 一 般 式 # % ",*$%$# #")! #. 化为点斜式 *" " # &" #! "$# $% 直线总经过定点 ! # " + 无论# 取何值 # ,# % % ! " 将直 线 的 一 般 式 # 化为斜截式 # ",*$%$# #")! #.&" # "$# #$%# *" #))# 要使直线不经过第四象限 # 则必须有 %$# #))% 解得#))% $# ## ! " 由方程知 # 直线在 " 轴上的截距为 ,% 在 * 轴上的 . # 截距为 %$# ## %$# ## # ! # ) ( ) %$# +& , #" % # # # 1,%$# %) # 依题意得0 解得#&)% 2 %$# #&)#

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例 " 变式题 ! ! 解答 " 解法一 + 若直线5的斜率不存在 # 则直线 的方程为
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第$ , 讲 ! 两条直线的位置关系
例 !! ! 解答 " ! " 且# % (.#,1$ 1")# .,.,%")# # +."% 1"0% ! " 由 # 得 ."4&% # ./.,1:#") 由1 " :! ,% , 1/.+)#

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设底边为5 # "% *" .+ 由题意 # 5 . 到5 # 所 成 的 角 等 于5 % 到

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"". 3 此时与5 , 的交点分别是 # " 和( ! " # 截得的 55 &! . ,& .# ,9 3 线段 的长 # 符合题意 &( & ( $"$,&$9 % $ $"/ 3 若直线 则设5的方程为*" " # 5的斜率存在 # #! ",. $% 3 " # #! ",. $% *" 3 解方程组 "$ *$%")# 3 . #,## & #,% 3 得 &! , % #$% #$% " 3 " # #! ",. $% *" 3 解方程组 "$*$*")# 3 . #,0# 9 #,% , % 3 得 (! #$% #$% " 3 由$ & ( "/ 得 $ 3 . #,# . #,0 #,% 9 #,% & # , $ $ , "# / 3! #$% #$% " ! #$% #$% " 3 解之 # 得#") # 即所求的直线方程为 *"% % 3 综上可知 # 所求5的方程为"". 或 *"% % 3 解法二 + %,* $ $ 由 题 意 知 直 线5 , 5 之 间 的 距 离 为 A" " 3 # 槡 3 /槡 # 且直线 被直线 # 所截的线段 5 55 & ( 的长为 /# 3 ## 3 设直线5与5 的夹角为%# 则 3 /槡 # 3 # # 故 槡 < = " # / F % %" %"& / # 3; # "$ . / F 3 由直线5 + *$%") 的倾斜角为 % 知直线 的倾斜角为 或 # 5 ) F 9 ) F 3 " # .# % 3 又由直线5过点 6! 3 故所求5的方程为"". 或 *"%% 设直线5 与5 , , # 3 解法三 + 5 分别相交于 &! "# (! "# *" *" 3 则 " $* $%")# "$ * $*")% 得! # 3 两式相减 # " ," " $! "/ " *, *" 3 又! " ! " " ," $ * , / % # * "# 3 " ," "/# " ," ")# 可得 或 3 联立 "# # *, * ") *, * "/% 3 由上可知 # 直线5 的倾斜角为 ) 或 # F 9 ) F 3 又由直线5过点 6! " # .# % 3 故所求5的方程为"". 或 *"%% 3 例 #! ! 解答 " 设点 &! # 关于直线 *$%") 的 对 称 ,% ,&" 3 点为 & # 则 " ",% # " " # 7! "# ,% ,! ,& "# *" * "#: ! 3 即& # " 在直线 ( 7! ,% # 3 上% 3 再设点 &! # " 关于5 + ,% ,& "$ *$%") 的对称点为 3& # 则有 F! "# *" 3 * $& " # :! ,% ",% 31 " $% 0 3 " ,% * ,& 3 2 # $ # $%")% 3 解得 " ".# 3 * ")% 3 即& ! " 也在直线 ( F .# ) 3 上% 3 由直线方程的两点式得*,# "$%# " ),# .$% 3
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o 则不等式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 如 下 图 所 示 由 于 d 与 所以平面区域是一个矩形 e e 与e e 互相垂直 # o e, o 根据两条平行之间的距离公式可得 矩 形 的 两 条 边 的 长 度 分 L和d槡 L# o 别为槡 所以其面积为 d 入 o 轴的反射线上 # L L L o 例 变 式 题 ! 解 析 " 如 下 图 所 示# 图中阴影部分所在 onn o o o ! o w C CaL aL ad 易知图中两直线的斜率分别是 o 圆心角所对弧长 即 为 所 求 # 故所求直线方程为 oaoCaL ! " # wnL n n o # 所以圆心角# 即为两直线所成的夹角 # 所以 a # 即L L d wn oaLCo o 例 $o ! 解答 " 由题意作如下图 # 设 e! " # 其中 woo n n w# o a a o L ! d" # 所以#C ! # 而圆的半径是 L # d d C Cn # od n n/ n a n n L ! d" o o 所以弧长是 ! # 故选 L o o 又 ! # " !o " # o# " d! o# d doo o o 则w C aoCa # o aw w o dao d o w C Ca o aw w o例 ! 解答 " 作出可行域如下图 # w a w o d d d dC o e o "o nn w / w o d a o w w a d a d C C o d o w d L d 槡 槡 n n n 槡d w w o 槡d o 此时 wC 槡d时取等号 o 故所求点 e 为 ! " # o d 最大值为 o e 槡d# # " , # " , " n d d! d n e! d# d o 并求出顶点坐标 ! a d ! " 易知可行域内各点均在直线 的上方 # 故 n w nL anCo o d d d d d d o L 槡d # 将 ! # " 代入得 的最大值为 e L n oanoo e d d o wnL ! " ! " 表 示 可 行 域 内 任 一 点 ! # 到定点 L e C w n ad w o o" 第$ o ! 讲 o 简单线性规划及应用 ! # " 的距离的 平 方 # 过 作 直 线 e 的 垂 线# 易知垂足 o d o 例 !o ! 解答 " 解法一 + 不等式 ooo wnn oan 可化为 d o w 在线段 e 上 # 故e 的最小值是o w oC " 或 ! " L wo an wo an o oow! oo awaL o 不等式 oo ao 可化为 ! " 或 n w nn a w nn w o o o oo a " oa ! o L 表示可行域内任一点 ! # " ! "o woo oownn ! " d eCL/ w o 与定点 o ! " w a an 在平面直角坐标系内作出四条射线 + o n 连线的斜率的两倍 因为 d d # " # an a " e! w C # w C # d+ wo an oCw! L n d o ! " # e+ wo an oCawaL d d o 故e 的范围为 & # ’ ! " # e e+ woo oCawnn n L o ! " e e+ woo oCwnn 例 变式题 ! 解答 " 作出可行域如下图 # 顶点坐标分别为 " o o 则不等式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 如 下 图 所 示 由 于 d 与 ! # " # ! # " # ! # " an o d aL an e o an o 所以平面区域是一个矩形 e, e e 与e e 互相垂直 # o o o o o o " 当eCL 最大值为e Cn o! n wa o 经过点e 时取得最大值 # o! " 的意义是可行域内的点到点 ! # " Le ad d 的距离的平方 # 根据两条平行线之间的距离公式可 得 矩 形 的 两 条 边 的 长 度 o 距点 ! # " 最近的是 # ad d o 故 ! "n! "C e C a n n d o a d L d L d L d 所以其面积为 分别为槡 和 槡 # L L L o oano no 解法二 + 作出曲线 oC wnn an # 点! # " 在区域内 " an o d eC d # e 的意义是可行域内的点与点 o! L wa L o o 作出曲线 oCa w nn # 点! # " 在区域内 oo o
例#变 式 题 o ! 解 答" n ! # 关于w 轴的对称点 ad n" # " 在经 w 轴反射的光线上 # ad an n! 同样 n! # " 关 于 o 轴 的 对 称 点 L! 在经过射 ad an d# an"
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例题详解!

3 第$ " 讲 ! 圆的方程 3 # & & 解答 " ! " 解法一 + 从数的角度 % # " # # " # # " # 3 例 !! ! 0 9 / 设圆心 6! # # 则由$ 若选用标准式 + " 6 & "$ 6 ( $ $得 # *" 3 %# # 的取值范围是 " ! " ! " ! " # ! + H % !0 / " 3 " ,/ $ * ,# " " ,. $ * ,# ", * ,.")# 例 #! ! 解答 " 设需截第一种钢板 " 张 # 第二种钢板 * 张 # 根 3 又# 3 两方程联立得 " "&# 据题意可得 + 6 & % )# $ $" 槡 * "/# 3 # # "$ / *)% 1 "$ ! ""% 3 + 圆标准方程为 ! ",& ) % *,/ # "$# 1 *)% 0 若选用一般式 + 设圆方程为 3 " $ $ 4 " $D # *$G")# * "$. # 0 *) 3 # 4 D " *.’% 2 则圆心 ! # , # , " # # 作出以上不等式组所表示的平面区域 ! 如下图 " # 即可行域 % 3 / $# $/ 4$# D$G")# 3 1 . $# $. 4$# D$G")# 3 +0 3 #: , 4 , , D ,.")# 3 2 ! #" ! #" 4",1# 3 1 解之得 # D",% ) 0 3 2 G". % % 3 圆的方程为 + " $ ",% ) %") % * ,1 *$. 3 目标函数为H""$ # 解法二 + 从形的角度 * 3 作出在一组平行直线 "$ ! 中经过可行域内的 3 & 由平面几何 知 识 得 # 圆心 6 应在& 2 2为参数 " *" ( 为圆的弦 # ( 中垂线 点且和原 点 距 离 最 近 的 直 线 # 此 直 线 经 过 直 线 "$. # 03 *"# # ", ,.") * 则由 得圆心 6! " # ""& 上 # &# / % 1 . 9 " "& 3 和直线 # # 直 线 方 程 为 "$*" "$ / 的交 点 & ! # " *"% / / 3 + 半径B"$ 6 & "槡 % )% $ / 0# % 1 . 9 由于 和 都不是整数 # 而最优解 ! 中# "# ", "$ ! "") *" * 必须满 3 故所求圆的方程为 ! " ,& % *,/ / / / 3! " 设 关于直线 的对称点为 # & "$# & 7# *") % 1# . 9 不是最优解 足"# 所以 # 可行域内点 ! % 3 *.-# " 又已知 & & 7为圆的弦 # / / 经过可行域内的整点 ! 横坐标和纵坐 标 都 是 整 数 的 点 " 且 与 3 +& & 7的对称轴"$# *") 过圆心 % 3 设圆心 ! # " # 半径为 原点距离最近的直线是 "$ # 经过的整点是 (! " 和 6 ,# ’’ C# # .# 9 *"% 3 # " # 它们是最优解 % 3! & 1 则 C"$ ! "$ ! "% 6 & "槡 ,# ’,# ’,. $ 3 例 # 变式题 ! ! 解答 " 设选择 &, 次 # ( 两套课程分别为", * ’, ’$% $,# $# 3 又弦长 #槡 #"# 槡 C ,A # A" 则 H 为学分 # # 槡 3 # "$ ) *(& ! " 1 . ’,% 3 +C "#$ # # # & ) "$. # & ) ) *(% 3 0 # ! " # ) "$& ) ) ) ) ’,% *)% "$ ! ""#$ . # ’$% ’,. 3 +&! # ", 2 *.’# 3 +’",0 或’",.% 如下图所示 + 3当 时# / #3 ’",. C" 槡 C" 槡 # & &% 3 当’",0# 所求圆方程为 ! "$ ! ""/ + " ,* #或 *$. 3 ! " ! " & $ "$0 "# & & % 3 ",% ! " 设所求的圆的方程为 . " $ "$D * $4 *$G")% 3 ! # " # ! # " # ! # " 在圆上 # 3 (: ) ) ! % % $ & # 3 + 它们的坐标是方程的解 % 3 把它们的坐标代入上面的方程 # 目标函数H"/ "$& *# D# G 的三元一次方程组 # 3 可以得到关于 4# 由方程组解得点 &! # " # % / # / 3 1 G")# " (! # /# % #% / % 即0 3 4$D$G$#")# 由于目标函数的斜率与直线 & 因此在图中阴 ( 的斜率相等 # 3 2 & 4$# D$G$# )") % 影线段 & # , , # 都 ( 上的整数点 & ! % / # /" 3! % 9# # )" 4! # . % /" 解此方程组 # 可得 4",1# 3 D"*# G")# 符合题意 # 使得学分最高为 % 0 /分% 3 + 所求圆的方程为 " $* ,1 "$* *")# 3 半径 % B" 槡 4 $D ,& G"/# 3
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n d oe ea d d 得圆心坐标为 a d 或将 dd d da ea 左边配方化为圆的标准方程 d d 从而求出圆的半径ne d 圆心坐标 a d d ed d d 为a e %d 例 "o ! 解答 " d 圆的参数方程为 % 为参数 ed d %

n n d ooe d oo o n e n e d an d d o ooe d ood 则根据n n 的坐标分别为 d d d d o设 d d o d o d e d o d 可得o o d d e a d o o o o e d d 解法一 d d d ed %d %dd e槡 %d ( ddd o ao d 其中 (ed o e a do %d ( odd o o 在圆d d d ed 上 d a d ed ad 槡 od d odd槡 o an 解法二 d 设oed d d 即 e d d 即斜率是 d的直线 o a od d d ed d d 和圆相交 d 求纵截距o 的取值范围 o d a d e 如图 a d 显然在相切的时候取得最值 d d d o a 动点 的轨迹方程为 add o d o 例# 变式题!o ! 解答 " 在给定的坐标系里 d 设点 d 是 即d 解得oed e d槡 或 d 槡 d o 曲线上 的 任 意 一 点 d也 就 是 点 槡 d 属 于 集 合 ne o ad 槡 od d odd槡 n d d d 槡 d 即 e d e d od d d d 槡 o d d e d o a d o 整理 d 得 d dd d ea o 所求曲线方程即为 d dd ea o 将其左边配方 d 得 dd d ea d o a 此曲线是以点 d d a 为圆心 d d 为半径的圆 o 如下图所示 即 d 若 d d oa 恒成立 d o d e o %d %dd 恒成立 d o a %d %dd e o ! d o d %d ddd d d o槡 槡 d a o a d d %d %dd 的最大值为槡 o 解答 " 设 d 为线段 n 故当且仅当 o槡 n 的中点 d d 时 d d d oa 恒成立 o 例 # 变式题 "o ! d ed %d d a 表示圆上的点 d 到点 a距o 圆 a d ea 的参数方程为 ed %d 离的平方 d 设 ne 槡 o d a d 又 点 为圆上任一点 d d o a n a 圆心 a dd d %d o a 可设点 n 的坐标为 d %d d an e dne 槡 ddd 则 n 点的坐标为 d %d d a o an e 槡 d ddd ed da槡 o 由线 段 中 点 坐 标 公 式 d得 点 的 轨 迹 的 参 数 方 程 即 d 的最大值为 d a d da槡 d o 为 ed %d e % a表示圆上的点 d 与 点 d aoe a 连 线 的 斜 率 do o 第$ # 讲 o 直线与圆的位置关系 如下图所示 o 解析 " 由直线 d ed 与圆 d ed 相 交 o 例 !o o ! o d 故 o 得o ad add od 即 d od 因 此 点 n 在 圆 外 d d 槡 o o选 解 析" 将 圆 的 方 程 配 方 得 d o 例 ! 变式题 oao ! d d a 由oe o o o da oead o ae o a dd d 圆心 的坐标为 半 径 ne o dd e a d d d da o d d 槡 o a 令 d 解得oe ed 条件是 a d 过点 dd d 所作圆的切线有 oa dd o 槡 o 槡a d o 两条 d 则点 必在圆外 d 即 d d槡 d 槡 a oo o o a dd d ddd o 例 #o ! 解答 " 由三角形的内角平分线性质 d 得 o槡 d 槡a
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例题详解!

" 若两圆外切 # 则$ # 3 3 $".$## 3! 即 . $. # 两圆外切 % .,% )") 解得 ."# 或 .",/ 3 + " 若两圆相交 # 则 .,# ’$ ’$9&)# . 3 3 $%.$## %$ 3! . #槡 .# 1,#槡 # . $* .$/%/# 3 即1槡 ’ 解得0 . % % . 3 0 # . $* .$/&%% 2槡 2 ’.&% 3 解得 ,/%.% ,# 或 ,%%.%## 两圆相交 % #槡 . #槡 .# 3 ! " 若两圆内切 # 则$ & 3 3 $".,## +, ’% % . . 3即 # . $* .$/"%# 槡 .# #槡 . % 3 解得 故 ’ 的取值范围是 ,#槡 或 .",# # 两圆内切 % . ",% . . 3 !" 若两圆内含 # 则 )($ 3 3 $%.,## 例 "! ! 解答 " ! " # " 到直线 *""$% 即 ", % !! 圆心 ! ) ) *$ 3 / # . $* .$/%% 槡 3 即1 % 槡 # 而 # 槡 # 选 !% %") 的距离 A" " # ) % %%# 0 # # 3 2槡 # # . $* .$/)) 槡 ! " 直线和 圆 相 交 # 则 弦 心 距, 半 弦 长, 半 径 构 成 直 角 三 角 3 解得 ,# # 两圆内含 % # %.% ,% 3 例 ! 解答 " ! " 如下图所示 # 设过点 6 的圆的切线方程为 + % % ! 形# 即 $# "/ ’$ )" +# / 3 *$%"#! " # ’$ ) 槡 ",# 3 即# 所以以 ’ #) #+ 为边长的三角形为直角三角形 % ", ,# # ,%") % * 3 ! " ! " ! " 设圆的方程为 # 由已知 . ", ’ $ *, ) "C # " 到切线的距离为槡 ( 圆心 ! % # ## 3 # ’ " C 1 , #,. $ $ ## 3 即 %$# "槡 ’,. )")# 槡 0 3 +# ,* ’, ) #,0")# + #"0 或#",%% $! 0""C # 槡 3 # 2 槡 3 ’".# 1 ’",.# 1 3 解得0 或0 )"%# )",%# 3 2 C". 2 C".# 3 所以圆的方程为 ! ",." $ ! "$." $ *,%" "9 或 ! 3 ! *$%""9% 3 例 " 变式题 ! ! 解答 " ! " 点 6 在圆内 # 则有 " $ % * %C # 3 C 圆心到直线5的距离A" &C# 3 所求的切线方程为 ! " 或*$ " # " $ * % " 0 ", # % " ,! ", # 槡 *$ 3+ 所以 # 直线和圆相离 % ", /") 或 "$ *,% *,%")% 3 即0 同理 # ! " 直线和圆相交 % ! " 在K # # # I 6 & 3 中# 6 & 6 3 3 & > $ $ "$ $ ,$ $ "1 3 例 #! ! 解答 " ! " " 在圆 " $ 上 # % ( 点 &! &# ,. "# / * #% 3 + 过点 6 的圆3 的切线长为 #槡 + 过点 & 的切线方程为 & ",. /") % *,# ! " 由 ! " 可得 # # # "0# ",% 3 . % ! " # " 不在圆 " $ # ( 点 (! ,/ # /上# * "# 3 直线 6& 到 6( 的到角为 8&6(# 当过点 (! # " 的切线的斜率存在时 # ,/ # 3 则I ,%,0 & @ = 6 (" " # 8& 设所求切线方程为 *,#" " # " #! "$/ %$0: ! . ,% 3 即# ", $/ # $#") % * & 3 + 8&6("@ J > I @ = % . # % / # $# 3 由 # 得#" # "/ ! " 如图 # 直线 可以看成是已知圆和以 # ) & ( 6 为圆心以切线 # $% 槡 3 & 二个圆的方程相减就得到相交弦 此时切线方程为 # % ",# ) & /") % *$% 3 长为半径的圆的 相 交 弦 # 的方程 当过点 (! # " 的切线斜率不存在时 # % ,/ # 3 &( 直线 的方程是",. 结合图形可知 # + & ( *$.")% "",/ 也是切线方程 % 3 例 变式 题 ! 解 答 " 设 经过两已知圆的交点的圆的方 综上所述 # 所求切线方程为 + % ! 3 程为 # % ",# ) & /") 或 "",/% 3 *$% " ! " # 例 $! ! 解答 " 圆 3 + ! " # ",.$ "$ ") "! "+ ,% * ,& *,. 3 " $* ,& ",."$ ! $# "9 * 圆3 + ! "$ ! 3 则其圆心坐标为 # ## " "$% *,.""&% % ! %$ " %$ "" 3 故两圆的半径分别为 . 和 ## 3 ( 所求圆的圆心在直线 ",*,&") 上 # 圆心距为 ! "$! 33$ "槡 .$ % , # ,."" 槡 # .$ * .$ / % $ % " 3+ # ,# # ,&") ! " 若两圆外离 # 则$ "", # % 3 3 $&.$## %$ %$ . " " 3 即槡 # . $* .$/&/# 所求圆的方程为 " $ + ,* "$# * *,.")% 3 两边平方整理得 . $. .,% ) &)# 3 解得 .&# 或 .% ,/ # 两圆外离 % 3
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解答 o 由椭圆方程可知 dd edd槡 de o 例 n 变式题 o L d o 则 dde o d e d o o 第w w 讲 o 椭圆 o 例 no L 解答 o 设 ad C o ed C o e o 由已知 e ad dd e " o a d dd ad d d %dd # o d o 得a d e " d#e ddd d d % o 椭圆的右准线 的方程为 dd d d d d % % 过点 C 作 C C Co 于点 C Ce o 如图所示 e C d ad d d d d d d %d ddd d d d d % 过点 C 作 C C Co 于点 C Ce o 例 n 变式题 nodo L 解析 o 由 Cd d dd d e d 成立 o C o o o d 则根据椭圆的第二定义知 e e d o C C C o o o d d d 例 n 变式题 no 槡 d d d o do e C o d o C C C C o d o C C d o C C C d C C d o o o o o o o o d d d o d槡 d % ! d 即当 C Ce C C在同一条线上时 e C与 C C点重合时 e L 解析 oCd d d d d d d d d dd o 易知当 Ce d d d 才能取得最小 值 e 最 小 值 为 dd dd dd e 此 C C C C C odo o oo 例 no L 解答 o d e e 的长成等差数列 e 时点 C 的纵坐标为 dd e 代入椭圆方程得 ddd o e dd ddoo o o odo odo o d 当C 点运动到 d e o 因此 e dd 处 时 e C o C C o od o o取 最 小 其中 d dd e e d 点的轨迹满足椭圆定义 e d dd d o 则 d槡 值d de o dd ode o d 方程为 d dd d o od o例 L d d 则有o dd wo 解答 o d 方程表示椭圆 e ode 例 n 变式题 o L 解答 o 已知圆 C 可化为 dd d dd eo d o dd o dd o 圆心 C de 所以 C 在定圆内 de Cdde od o od 且 od o 设椭圆的标准方程 设动圆圆心为 e e 则 C 为半径 e 两点代入 e 解得 a d dd o d 又圆 和圆 C 内切 e 所以 C ddd C e ed d e o ad d 即 e C do C odd d d d 故 的 轨 迹 是 以 Ce 且C C 为 焦 点 的 椭 圆e C 中 点 为 原 点 eo dd o 所以所求椭圆的标准方程为 d dd d 所以 d dd e dd e o d 不妨设椭圆内接矩形位于第一象限的顶点为 故动圆圆心 的轨迹方程是 d dd oC e e 则 dd d d d d d d d d d %e dd %e 例 no L 解答 o d 由椭圆的定义及条件知d d 所以 C dd o o d o o o Cdd dd o o d d d d d d d d d d d d d % %dd %e o dd d d d e 得 d e 所以 d 槡 d d % d d d d又 d d d e o d 设点 C 坐标为 e 则 d d d d % 槡d 故椭圆的方程为 d dd o d d d d d d d d d d d d d d d %d d e %d槡 %dd 槡 ( dd o Cd d d d d 槡 槡 o d槡 dd 槡 d d o C dd d o 解答 o d 由已知 e o 例 wo L d d d od ddd o o d d 解得o dd o ddd oe d od 槡 得o d 由点 de 在椭圆上 e o odo od e d d o add d 或 d d de dd d dd d e 因为椭圆右准线方程为 dd 离心率为 d o d 由已知 e d d 槡 add d 槡 d d o d d d d或d 根据椭圆第二定义得o d o od o d d o e o 解得 add d d o d Cod d d d e 又椭圆 % 比 & e 扁e e d e d 则o o oddd o oddd o o d d 即 o o e 选 o o 所以o oo e 由o 得 o oe o oe o o成等差数列 e o o o 例 w 变式题 o L d d d d 解答 o d d o d odd od oo dd d dd d e o d d d 由此可以得出 d dd ood槡 ddd d o d d 设弦的中点为 C e e 则 d d dd 解法 e 因为在 oC 由正弦定理得 d d o o 中e d d o

第八单元 o 圆锥曲线

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例题详解!

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全品高考复习方案

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a a o a a 因为点 da 在双曲线上 a L o 又设 d L L o o 所以有L a e nL e nL d e d e d o d 知 e nC a 由以上三式得 a a 将 点 e槡 d C 设双曲线方程 为 e nL Ca C 代 入 得 o 由题意 a L de d dC d a a C nedne槡 Ca o neL 所以双曲线方程为d e nLd dnda L C e o 故双曲线方程为d e nLd d o o e 例 # 变式题 o ! 解答 " L 设双曲线 的方程为d eC n wo 例 变式题 ! 解答 " 以 的中点为原点 a a 所在的 $ o wod a o 直线为 轴建立坐标系 a d d w o 解得wnC a 双曲线 的方程为 d e nL d wC nea C C o 则所求双曲线方程为d e nLdoda dod a d d 直线 da C 直线 a d de Ce槡 C dnda d de nda o设 a da o e槡 C d C o 由题意 a 得o 解得dne槡 n槡 da d C L C o 不妨 设 的 方 程 为 n 槡 它与 轴交点 LC d 槡 de a C 方法一 a 设过原点且平行于 的直线da e 证明 a d de nda o C L a 槡 o da e C d C时 a o oa C 则直线 与d 的距离 ne槡 当do槡 dd o槡 o C LC d 槡 o 由定比分点坐标公式 a 点的坐标为 又双曲线 的渐近线为de槡 a C nd dCC C a oo dn n e e d 双曲线 的右支在直线d 的右下方 a o C a 槡 C L d 即 e o 双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 C L 槡 d dd 槡 d e o e C C La 故在双曲线 的右支上不存在点 a 使之到直线 的距离为 o o n e ne 槡 d dd 槡 o L 可得d eC nL d 方法二 a 假设双曲线 右 支 上 存 在 点 d a 到 直 线 的 o 由点 在双曲线上 a o d e d d o 又d 距离为槡 da dn槡 ea dC dn a o o d d e Ce槡 C d o o 所以双曲线方程为 d e nL n槡 da dn槡 ea d " o 解得dnLa e 则o LC d 槡 o例 d eC nCd # o ! 解 析 " d d edn o ededod C edo C C o %o L o 由"得 n d d Ce槡 C de槡 da 槡 L C da o e ee eCoda L 舍去 a a d oC 或 o e d o C Ce a 设 ne槡 C de槡 da 槡 LC da e o C时 a o 故选 d 当do槡 ne槡 C dC槡 da 槡 L C d oda 解析 " 本 小 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 知 识 d C o e d o C do ! C d eL L L L o a a 取顶点 d 一条渐近线为 ne槡 C de槡 da 槡 LC d n槡 do odd nL od o dn a dn a e e dC槡 L C d e 槡 o 将 n L d d C 代入 # 得 o eeo L e a LeC d d ed dd eC CL ndd o d n e d nd d o ConC o dee nda e 槡 Co o 例 变式题 C d do槡 aoda 解 析 " 对 于 d da 则直线方程为 !oeo ! da C o % a 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 da a dLeC d oda ed d oda eC CL oda o dC ed n d d a d d a 即假设不成立 a d 方程 o 不存在正根 a od d C ddC d 故在双曲线 的右支上不存在点 a 使之到直线 的距离为 o dd a C dd a d a d d oo n C oo e d dn o ded eded a则 有 d dd 槡 de d de d 例 $o ! 解答 " 如下图 a 建立直角坐标系 d a 使d d 在d 轴 o d d d d a oo o oa 因 Cd dnd dd dn da d n槡 ed o edCda 上a d d 的中点为坐标原点 a 与 d d 平行于d 轴 d dC d o 例 变式题 解 析 " 双曲线d e nL 的一条渐近 "odo ! d d o % o 线为 o o n dda d a 消去 a 得 d e ddCL nd 有唯 d 由方程组o d a o nd d o n dC L o o 一解a 所以 n d ed a 所 以 d nC a n LC d n nd d d 槡 d o d 设双曲线方程为 e nLdoda dod a d d 故选 dd o槡 ea L o d 则 dn d d ned 例 变式题 # 解析 " 设双曲线 a e nL 的右准 oeo ! C d d o % La 所以双曲线方程为d e nL d d o d d
C C C C L C C C C L C C C C C C C L C C L C C C C C L C L C C C C C C C C C C C C d d C C C C C C d d C C C d C d C d C d d C C C C C C C C C C d d C C d C d C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

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例题详解!

3 3 % 3 # 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有 + 8( &4"* ) F$ &4 & ( $" $ $% # 3 % ! 76 % 7 6 " 3 &! ,$ ($ &4 " & G G ( & ( $ $ $"$ $ $ $,$ $" $ $" I # 3 % ! 76 % 76 76 76 76 " 又 (& & G $$ G ( % G"&G (# + /. G ( $ $ $ $ $" 3 # I 3 / 76 # * G ( I " % $ $+ 3 # / " 原条件 ,! 点到 G! " 和到 "" ,& 距离相等 # 由抛物 / &# ) 例 (! ! 解 答" ! 证 明+ 由 已 知# 可知双曲线的右准线为 3 ! %" 点 ! 的轨迹是以 G! " 为焦点 # &# ) "" ,& 为准线 3 线的定义 # ’ ) ’ 渐近线 为 ) 则 ’# "" # 5 *" "# 6! % 的抛物线 所以 # 所求方程是 % "1 "% * " % + +" + ’ , * 3 解答 " ! " 设抛物线方程为" ", % # # "! ’ ) , * 或* " , ,& 3 例 "! ! ,) + ’ " ) % 又 G! # " # 3 +) + # " ", % ) ’ , + 3 将点 ! # " 代入抛物线方程 " ",# 得 ," % # % ,# + , *# & 3 ) 又( % #" # 3 +" ", #*% ’ 3 将点 ! ’ ) # " 代入抛物线方程 * "# 得 ,"# # % ,# "# + # / # ", / ",%# +6 G? 5 % , ) ’ 3 +* "& " % ! " # " 到5 + # ($ 6 G + ) ) ", ’ $的长即 G! *") 的距离 # 3 % "% ) + $ $ 3 +满足条件的抛物线的标准方程为" ", #* 或* "& # 即)". + ". % ’ $ ) 槡 3! " 令 "") 得 *",# # 令 *") 得 ""& # % + / ’ $ ) # / 3 # " 或! " 又I + 抛物线的焦点为 ! & ) )# ,# % " " # + " # ’ & % * ’ 3 当焦点为 ! " 时# 则抛物线的方程为 * "% &# ) * "% 故双曲线方程为" ,* "% 3 + ’"&# % 当焦点为 ! # " 时 # 则抛物线的方程为 ) ,# " ",1 *% % * 9 3 , ’ 解答 " ! " 焦点在 " 轴负半轴上 # # % "/ ! " " # . 6 G 的方程为*", ! ", + 3 例 ! 变式题 ! ! # ) 3 所以所求抛物线的标准方程是 * ",# ) "% ’ ’! ’$ +" ’ 又左准线 + , # "", # +! ! "% " 经过点 &! " 的抛物线可能有两种标准形式 + 3! # ## ,. + ) + + 3 * "# " 或" ",# (! 是 6$ 的中点 # , , *% 3 9 . ’# ’! . ’$ +" 点 &! # " 坐标代入 * "# 即 9"& 得# # ,. "# , +$ ! % , ,# ," # " # + ) + 3 # " 坐标代入 " ",# 即 &"* # ,. ($ 在双曲线上 # , *# ,# 3 点 &! & 9 ’ ’! . ’$ +" 3 得# # + , "% ," # . + )+ 3 & .$ I % 9 即 , ! # 3 + 所求抛物线的标准方程是 * " 9 " 或" ", *% "% # . I I I ,%" 3 例 #! ! 解答 " 如下图 # 在 探 照 灯 的 轴 截 面 所 在 平 面内建立 令2 则2 ,% # # 即I " I# ) 2 $# /") + 2 "/ "槡 /% 3 直角坐标系 # 使反 光 镜 的 顶 点 ! 即 抛 物 线 的 顶 点" 与原点重 3 合# 第$ ( 讲 ! 抛物线 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 是 * "# " " 轴垂直于灯口 直 径 % , 3! " ) % & , 例 !! ! 解答 " ! " 结合图形可知动点 6 % ’! 根 据 所 给 条 件 # 3 由已知条件可得点 & 的坐标是 ! " # 代入方程 # & )# . ) 到定直线"",# 及定点 ! ! " 的距离相等 # 故选 ’% ## ) 3 /# ! " " 在 直 线 "$*,&") 上 # 而$ # 3! (! ! ## # 6!$等 于 6 3 得 . # 即 ,"& ) "# ) ,:& & 到直线"$ +动点 6 的轨迹为过点 ! 垂 3 *,&") 的 距 离 # / 所求的抛物线标准方程为 * "& 直于直线"$ 故选 3% "% *,&") 的直线 % 3 # 7 6 7 6 7 6 ! " # # # # # # 由 ! " ! " ! " . !!& " * ( " * 3 " * G &$G ($G 33 # ! " ,%" $! " ,%" $! " ,%" ") 3 # 可得 ") # ! $! $! ") * ,)" * ,)" * ,)" 3 76 76 76 而 G & $ G ( $ G 3 "" $%$" $%$" $%"*% 3 ! " 问题即转化为求 3 & !!$ !G $转 化 为 点 ! 到 准 线 的 距 离 # 抛物线上的点 ! 到点 6 和到准线距离之和的最小值 % 如下 3 图# 折线段中直线段最短 % , 代入 3 例 $! ! 解答 " 证法一 + 设& (+ "". "# * "# , *$ # # 3 . , *,, ")% 3 得 * ,#
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d o Cd d ddd o Cd dd dd C o dd odw o 则使 !dd 即 w 即 w d C o dd d o d dd o o 即 e dCo o e Co w o o d dC ddd 且 o 在准线 dC o 上 w 且o d oo 轴 w o d o Cd d o o dddd w ow do C e o ee d d do do d do d do d o d e e o d o Cd o o Cd C 则 d d d d w od o e o ddd Cddd d ddd C d oo oo w 需使 o 要使 o Loo d ee ddw 故直线 L o 经过原点 o o 即d o Cd o Cd o Cd Cd w C d d dd 证法二 w 如下图 w 记准线o与 轴的交点为 o w 过 L 作 Lo o ddd o ddd ddd w 垂足为 ow 则 Looo o oo o 即C o Cd Cdddw o dd dd 且o od ddw o 所以 C 即 恒成立 d dd d d dC o o o为圆心在原点的圆的一条切线 w o 又因为直线 ed d d o dd o o C d o o w 所以圆的半径为 o od od d d w C dd dd dd 槡 o o 所求的圆为 de d d C o 切线为 dC d槡 C与 de dd 交 o 当切线的斜率不存在时 w C d o 于点 d w d 或 d w d 也满足 CC 槡 C C 槡 CC 槡 C o Loo 槡 连结 L o 交o o 于点 w C C C C o o o o o o oo L o d 使得该圆的任意一 ow o o o o o o 综上 w 则o 存在圆心在原点的圆 d d d d ed w Lo L o L oo o L o C o o o o o o o o oo oo 条切线与椭圆 o 恒有两个交点 L w w 且o w Loo do L o Lo odo o oo odo o ow o Lo L o o owo o o o owo o o 时w 轨迹 o 的方程为 de dd w 设直线o 的方 o C 当 od d do o od d do o ow d d L o L o o o o 程为 d d w 因为直线o 与圆ow d 即 是o o o 的中点 e e do doood 相 o 从而点 与点 o 重合 w 故直线 L 经过原点 o o o 由 d 知 od oo w 即o do dd " o 切于 L w dd 槡 第$ 讲 轨迹问题 o 因为o与轨迹 o 只有一个公共点 w ) o o w 例 !o ! 解 答 " 如 右 图 所 示w 以直线 o ed d o o 由 知 得 dd d d o ddw 为 轴 w 线 段 的 垂 直 平 分 o oo oo d e dd o o d 建立平 面 直角 坐 标系 w 则两 线为 e 轴 w o 即 ddd dCo dd o Cddd 有唯一解 w 圆心分别为 o Cd w dw o dw d o 则 即 d o Cd d ddd o Cd dd dd C o dd ddw !dd 设o w e w o w d C o dddd # 则o o o do oo o o d dd d o Co e Cdw o C o w o 同理o o o d Cd d e Cd od dCo o 由 "# 得o 此时 Lw 重合为 w e 点w do o od槡 d o ow o o Cdw o d w Cd d w w d dd d e Cddd e Cd o dCo o 即 Cd 即 Cd de dC d d C 这就是动点 o e dCddw Co w o o d dC 的轨迹方程 ddd 中 d w o 由o 例 ! 变式题 o ! 解答 " d 因为!o "w !d o w dw ed d o Cd d o ddd o "d w dw eC o 所以!w 即o d d o Cd d d o Cd d "do d e Cdddw e dd o 所以 dddd d C o 当 odd 时 w 方程表示两直线 w 方程为 edCdw o 当 odd 时 w 方程表示的是圆 w w 所以 e ddC d ddCo w e 点在椭圆上 w d o C o 当 ood 且 ood 时 w 方程表示的是椭圆 w d o 所以o 当 ood 时 w 方程表示的是双曲线 o od d e dCC o o d 轨迹 o 的方程为 d 设圆心在原点 o 在直角三角形 o 中w d 当 od 时 w L L o do o o Co o L o dCC o e ddw d d d d d o Co dCC do w w 因为 do od w o ed d o o o w 解方程组o 的圆的一条切线为 ed d oo o w 所 以o do d d 时 取 等 号w L o oCCd od de dd o 当且仅当 o d 槡 w 得 dd d 即 ddd o ddw dCo dd o Cdddw o dd 最大值为 d 要使切线与轨迹 o 恒有两个交点 L w w do dw d 时w L o取得最大值 w o o 即当 od槡
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d 由根与系数的关系 w 得e L e dCo w

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例题详解!

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可解得Ca o e D 令 !a e d D 令 !D e 即 Loo e d C D 得 wad C oCd C D L o D 此时CD d e 又点 w 是w 上的任一点 e 且不与点 D 令 !D e 即 Loo d CD e C 和点 C 重合 e D o 则 o Dd 即o Co Dde DC D 此时CD d C d o D 当C a L槡 L d或 Ca 或 C 不 存 在 时 e w与w 只 有 一 个 公 D e d D 所以 中 点 的 轨 迹 方 程 为 w a d C o C d D 共点 e o L e D 当CDo槡 或o槡 或槡 d d C d d C w与w 有两个公共点e D D槡 D D 时e o DCD e d Ld D L 时e w与w 没有公共点 C e 曲线 we d D 当CD o d C od C Cd Cd a e w o wd d d L D 例 ! 变式题 D ! 解答 " 解 法 一 e 设 Ce w 关 于 直 线waC Cdo L 其 圆 心 坐 标 为 d ee 即圆 we d 半D CoCed d w Cd e wodea e 对称 e 直线 C e 代入 e d L w 方程为Cao C d w a C w w D 得w d C L o w a C w 径wa C D 设 Cd L e e e Ce wd Ce C w 中点 d Ce we we we D 由图可知 e 当 D CD槡 d时 e wd w Ce C ad C dwC D 则 w a d aod L 曲线 we 与点 有公共点 e C od C Cd Cd a w w o wd 在直线 wa D 点 d Ce C Cdo 上 e d L we d e e D od C a C d C d w do L 当 CD 时 e 要 使 曲 线 we C od C Cdw o wdC d a 与 d L D waod C dd Cdo C 点 w 有公共点 e 只需圆心 w 到直线we C Co wdda 的距离 D D 又 直线 Cw 与抛物线交于不同两点 e Coddd C d D D D D Le 得 oL槡 则C 的 最 小 值 a wa D DCD e L D !a C d wD e d d L 槡 槡 Cdo e D 把 w 代入化简得C dd d D 为 oL槡 C C D L d e d Cdo e DD DD 解得 o D 例 %D ! 解答 " d e 设 D 即 Cd C o CD C C wa Cd we C 三点共线 C D e "w "D e DCe C e 与抛物线 waC 联立 eD 直线 C C 的方程为wo a Cd Co e 解法 二 d 点 差 法e e 设 Cd e e Ce wd Ce C w 中点 we w e 得C o 设 Cd e e d D d C Co a e Ce Cd Ce Ce C we we we e e 且 必在曲线内部 e C w DDaw DD DD D 则 C dC ad 由w 得 Cdw Ce Ce wd w ad wC D CaC dC a Ce o d w w a a e w aCD D 由w a C e C oC w d C Cd d C Cd a C dde w w wa wd wa D d 消去Ce 得 waC dd d Cdoe C ao D Ce C ao w aod C C D w e Cad L L L % d e 设圆心坐标为 d e 则 d Ce we d C do D L L L %e e wao 即C 的坐标为 d 且 必在曲线 o od Ce w 中点 C D C w 消去参数%e 得 d a C Dw a C内部 e L d Cdo e d e 两直线方程分别为 wo a e D d o Co e "d " od CeD d o C e D o d e e d d e Co # woda C dd Cdo Cd e Co Cdo " CD C D D D Do D D C C e 两式相乘 e 得 wd od ao C C $ w D 例 "D ! 解 答 " 解 法 一e 假 设 以 w 为 中 点 的 弦 存 在e 设为 又满足 # e 所以 $ 式 即 为 所 求 的 交 点 的 轨 迹 D $ 式即满足 " e 且 Cd e e 则d C Ce Ce Cd Ce Co d Co we we w ade w adC 方程 C D 两式相减得 e d d d d C oC e C dC e ad C wo we wd we D 又 e e 第$ C dC ad w d w ad * 讲 D 直线与圆锥曲线位置关系 D dd C oC e a wo wC 例 !D ! 解 答" d e 当w 垂 直 C 轴 时e 此时直线与双曲线 D wo w 相切 C D 即C aC oC ade d e 当w 不与C 轴垂直时 e 设直线w 的方程为wod d a Cd Co eD 则 C 将其代入 d C 方程为wad Co e Co w ade 代入双曲线 w 的方程中 e 整理得 D 得d C o Cdoa C d d d do Ce C dd C od Ce Co C d Co a e D eD 由于 !D e 因此直线 C 所 以 假 设 不 正 确e C 与w 无 公 共 点 e 当C ad e 即C aL槡 时 e 即以 为中点的弦不存在 d w C D d 为一次方程 e 显然只有一解 e 若直线 C 则C 与 De C 的斜率不存在 e C 中点在 C 轴上 e D 解法二 e 当C Dd 时 e 故直线 C 设 为 Ce 则C C 斜 率 必 存 在e Ce D 题意 不 符 e wa d C od Ceo d do Ce o C d Co e a Loo d CC Co e d C代入 d Co d得 !a d wa DC d L 所以 d Co wo a d d d
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o o 即e o w d o 将直线 e d 联立消去 doe w 与 椭圆 的方程 d e o 得 o oo eoe d wd dC o wL C d 是直线与椭圆的两交点 C o oC eoe d o d o o o o waao ed dC 代入 e o w得 d dod dC o o eoe d oC oC C 解得 w eo d o d o o o o oaao edd C d o 直线 e o 所要求的椭圆方程为 d 令 d aod d a 和d a 必相交 C a dd o o oo 平面 C C d ao d ddd dod a o ow 例 ( 变式题 o ! 解答 " e 将直线d的方程d odo 平面 d ddd d e 代入双 o 同理 do 平面 ddddC 曲线 d 的方程 整理得 o o d e后C o 又平面 d ddd o 平面 dddd ddC C w " o ododdC 依题意 C 直线d与双曲线d 的右支交于不同两点 C o 故 daC d aC dd 三线共点 d o o owC o 例 ! 变式题 o ! 解 答" 证 明C 设 直 线 d aC C a aC d a 与平面 oo o ow ! o dddd 的交点分别为 d C C a a d 故o o owC o w dC o aC a 三点都在平面a a d 内C dC aC a 三点也在平面 o d d d d 内C C ow o o o o 由公理 可知 dC aC a 三点共线 d o 例 "o ! 解得 的取值范围为 o o o o槡 d 解答 " e d d 为异面直线 d d 与d d 的公 垂 线 段 C o 故 dd 与d 设 dC C d 两点的坐标分别为 的距离为 d C C d C d dd o 为异面 直 线 与 故d d d d d d d 的 公 垂 线 段C d 与d d o C o o 的距离为 d d 则由 " 式得o # o 过 d 作 daod dC 垂足为 aC 则d a 为异面直线 d d 与d d C d o o o 的公垂线 C dd Cdd d d C 即d d a d 与 d d 的距离 假设存在实数 C 使得以线段 d d 为直径 的 圆 经 过 双 曲 线 d o dd d d 槡 的右焦点 a d C C 则由 得 w a doa d o为 d d d o d o d dd wd o 槡 d d 即 o d o d e e w d o 解法一 C 连结 d 取 dd 的 中 点 aC 连结 d 交d d 于 点 aC 整理得 C 则a o aaC d aC aod dC o od a a 就是异面 直 线 d d 与 d d e o d d e wd $ o 所成的角 d w代入 式化简得 o 把 # 式及d 槡 $ d dC 槡 o wda o w ow w d 槡 o e d d dC 槡 w w wo w 槡 槡 o aa dd 解得 或 o o槡 舍去 d o o C o o o e d dC d a 槡 w 槡 w使得以线段 o 可知 为直径的圆经过双曲线 o d d d o o o 在 odaa 中 C 的右焦点 d d a a a od a oo o o a a od Ca d a a o 第九单元 o 直线 % 平面 % 简单几何体 do d o d o 槡d d d d d 解法 二 C 如 下 图C 在原长方体的右侧补上一个同样的长方 第$ + 讲 o 平面的基本性质及空间的两条直线 o 体C 连结 d 则d aC d aC d od aC o od d a 或其补角 为 o 例 !o ! 解答 " e 如下图 C 分别连结 a aC d dC d dd d d 与d d 所成的角 d o e waC a 分别是 d d 和 d d 的中点 C oa ao d dd o o 又 wd d od d od dC o o 四边形 d d d d 是平行四边形 d o 从而 a od dod dC aod dd o 故 aC C C 四点共面 dd a d d d dC o dd 槡
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例题详解!

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# # # ( E" 槡 ’ $ ) # # % % # # # % % % % # # # # # # # # # # # # # # % % % % % % # # # % % % % % % % % % % % % # # # % % # % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

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o woodCde o LdodCd# 且d ooo o o# 例 o! 解 答 " 证 法 L+ 如 下 图# 连结 o , # 由 四 边 形 o wCdd 平面 dooe d o d o 例 变式题 o ! C o o d是正方形可得 C odo de 解答 " 由例 可知 C dd 平面 d o o# Ld dd 平面 C o o d# wo d 是o d 在平面 C o o d 上的射影 #o wC ddd oe wC odo d# o LdodCd# wd od 平面 C d de o 例 变式题 o ! 解答 " 取 o 连结 C o 中点 d # d 交o d 于点 od# 连结 d de o o o o o o oo# oo oo 证法 + 以 d 为 原 点# dC d o# d d 的方向分别作为 # do o# 轴的正方向建立如图 w 则 Lw 所示的空间直角坐标系 # o 因为 do do# " # " # " # # " # d! L# L# L C! L# L o! L o! L L 槡C# 槡C# 槡C# 槡C# o 所以 dddoo# d o od 平面 C o o d# # # d! L# L C" " o 又因为平面 平面 d 所以 d o oo 平面 C o o d o o# dd 平面 C o o de oo oo " # # o 在直角梯形 wC o ! w槡 C# L o d ! w槡 C# w槡 C# C" " 槡C# 中 # 因为 # C o o d C o o o o d oo oo o 易知 wC o/o d C w C L/ C L# " w o ddw w o de dC do 即C o 所以 w odo de d d od C o od o C oo 例 变式题 o ! 解 答 " 连 结 dd 交 o 连 结 od 交 o o 于 d# # d o o d o C w L w o o o d 于d # o即 # 由三垂线定理知 d Cdo de 是三角形 的垂心 # Ld o o d o Cddod
第 讲 o 垂直关系
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又 LCddo w 平面 CLo o o dLe o# L d 平面 C o wdddooe 例 变式题o! 解 答" 证 明+ ! 连结 o , # 则 平 面 # L" o o o o o w o o C d d Cd do d d 平 L L L # 是 在面 上的射影 # 面 # o o o C d o oL o o wC ddoL oe L o L L o Cdd 又 oL # od wC dd e o wCd doo# !" 连结 oLdL# Ld, 分别是 dL o oL o Cd do d# L, L 的中点 # o 同理 + 又 oLdLdo 所以 Cd d 平 面 o 又 Lo wd doLdL# d# o d# dd o 又 不在平面 内 # 平面 # wd do de d CLo d o o d o wd d 平面 CLo de wCd do e o 例 变式d 同理 # d 平面 CLo 又d o # 题 o! 解 答" Ld 是 点 C 在 平 面 o de o d 内的 o 射影 # 平面 w 平面 d C o d e d L o 例 o! 解答 " ! " 如下图 # 连结 d 以 d 为 坐 标 原 点# 分别 L d# wCd d 平面 o o d# o 以d 建立空间直角 是三角形 o o, d o, d d 所 在 直 线 为 轴# d 轴# o d 的垂心 # o 轴# o Ld 坐标系 dw o d# wdd do o# o 则 d! # # # " # 是 在平面 o 由三垂线定理可知 # L# L# L" C! L ww L o d 内的射影 # o Ldd Cd ! # # " # ! # # " # ! # # " # o wLL o LwL d LLL oe do o Cd # # " # # # # 由题意 例 变式题 o ! 解 答 " 作 Cd d d! L wL w d! L L w" o 平面 ood# oo # # # 因d # # " # 连 结 dd 交 o 得# d! L L L" o ! w L L o 于 d# o 连结 od 交 od 于 d# oo # # " # 因此平面 o 连结 od 交 d d ! L w L w d d ood 于d# oo 的法向量为’ ! # # " # 由d L w L d o LCodod# oo ! 得 ’/d 由三垂线定理的逆定 wL# L# ww" d Le o 理可知 # 又直线 d 因此有 d d 不在平面 o d d 内# dd 平面 o d de o odod# oo ! L wL# !" 设点 的坐标为 !L# # 则d # d L" ww" L# L# o o o 同理 + oo d’# 因为 d d 平面 o 所 以 有d 因此有 L L # d ddo o# d d# o L o wd 是三角形 ood 的垂心 # w w 即点 的 坐 标 为 L# 在平面直角坐标系 o w # L # w # L L wo ddo d# o # 由三垂线定理知 # L o C odo de o o 中 # 的内 部 区 域 满 足 不 等 式 组 # 经 检 例 ! 解 答 " d C d o L d oo o Ld Cd 平 面 o o o # o woow C o o# wd Cdo oe 验# 点 的 坐 标 满 足 上 述 不 等 式 组# 所 以 在 dC o d 内 存 在 o 又 LC o 是 dd 的直径 # 使 d d 平面 o 由点 的坐标得点 到d 一点 # 而d d d# C #o wo odC o# ooC o o# o wood 平面 dCoe w d o 的距离分别为 L# e o 又 LCd 在平面 dCo 内 # L

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例题详解!

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ea o 角坐标系 e d a a a o 则 d aa a e o a a a e o e aa a o oo ooCe oo a a a aa C a a ed e o de a deoe ea oe oe o a a a oo oo aa C aa a d eCe e o 即d 角 d eoe ea e 与e e 成 o o 槡 a oe o oe o d e o o o o o o o aa C aa a e eCe e o e eoe e d eoe ea e eo 面 d e e oe oCe oe o od e eo 面 d e ea 面 d e eo 面 d e e o 例 w 变式题 o n 解答 L 如下图所示 a 以 d 为原 点 建 立 直 角 坐 o oe oa oe oC 标系 a d e o C 槡 槡 则 d aa a d a da a d a da da e o da da a e da a o 例 w 变式题 o n 解答 L 解法一 a 由已知e o a eo ea oo oo 证 明a ada d e da da a d d o o a 可得e o 平面 d e d da o由 o ea d d o o d e da da a o 可知 d 且d o d d oo aa d d da o 又 d 为 dd 在平面 dd 内的射影 设平面 d a e d 的法向量为’ da a o ddo d oo a d a a d eC ’ d d o 又 已 知 od d o od d a d d d da d d od o o oo d d d dC ’ d d o a 因此 od d d 为正三角形 a a ’ o o od do od da 设平面 d a e d 的法向量为’ e a da 因此 在平面 d o d d da d d 内的射影 e 是正三 oo a d d a a 的 中 心 a 连 结 a 角形 d eC ’ o d d d d d de o de 为 d 与 平 面 d d d aa ’ o o o o o o 所成的角 如下图 d e e d dC ’ a 即’ o o ’C ’ ’a 槡 平面 d 平面 o 在 o ed 中 a o de ed dd 槡 e do d e d d 槡 由 知平面 d a a a o e d 的法向量为’ d d o o o d e da da a oo o d eC ’o o d 槡 % oo o d e ’o 槡 o oCo dC槡 o 因为 ’ a a 是平面 d e d 的法向量 a o 又d eo 平面 d d d ea o o o 平面 d d d e 的法向量d e da a a o oo ’ Cd e o o d 槡a 得o % o o 解法二 a o o 如下图所示 a 建立空间直角坐标系 ’oCo d e o o 槡 d o 令 a 则有 d aa e d 槡 二面角 d d o a d e 的大小为 a a a a a a d oo od oao 是e C 例 wo 解析 L 不妨设棱长为 a 选择基向量 a e 的公垂线 a eo ea d da d on o o o 平 面 平 行 于 轴 故 e d d e e a a 则 o d d o 可设 d a a o o 于是 a a d d d d a od o d od o d oo oo d oo od oa d da d d d o oo a a d od oa ooC o d oo C d d a dCoo d o ddo d o o o o o o o o d d d d d d d C d o oo oo aa aa d d d a d d d a o o o o C d do o d o o o o o o o o a 又已知 a d d d d d d o o o od o a 故填写 d d 为正三角形 a d d d d d d od 槡 C槡 o 在 od d 中 a d 槡 a 可得 d 槡 a 法 a 取d 连结 d a 则 d o 面 d da d 中点 a d a o 故 aa 槡 是 在 面 上 的 射 影 a 由几何知识知 d o o d d d d dd 连结 a 作 eo d 于 e a 设e a d "a " "o 槡 由三垂线定理得 d 故填写 d a d od a o o o a a a 例 w 变式题 o n 解答 L 不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 a 以点 e 为 o e " 槡 " o o o o oo a 轴 a 建立空间直 原点 a a a C eda e da ee 所在直线分别为 a e d d " " a o d 槡 e

例 wo n 解 答 L 取 e 为 原 点a edC e dC 轴 C 轴 建 立 直 角 坐 标 ee 为 轴 C e d 系a 取正方体棱长为 a 则 d aa C d aa C e aa C e aa C e aa

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例题详解!

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CC C o o o oo C C C o o o o o o Co o o C o o o o oo Coo 即o o Lo oC o o Lo oC o C 又 C o oo ooo o oo L 平面 ooo oo o oo C C C C C C 设异面直线 o o o o o 与 所成角为 C o % o oo oo o 则o oo oC ooC o o Co C C d e o o oo o oo o o o o o o 槡 o o 则e 槡 e e % 点 为坐标原点 设 C 依题意得 CC C CC 槡 o C CC C 解答 " 如 下 图 所 示C 由正三棱柱 o 例 "o ! L 平面 CC o 的性质知 o CC C o CC C o oo oo 解C CC C C C C o o o oo oC oo o oo oo 于是 o C d e oC oC oo oo o oo o o o o 槡 C槡 o 所以异面直线 o 与 o 所成的角的大小为 o o oo oo CC C 证明 C 由 oo CC C C Co o oo o 又 oL 平 面 C 所 以 oL 而 oL oC C 可得 oo C o oC oo oC oo o o C 因此 CoL CoL o 所以 oL 平面 又 oL 平面 又 C 故 oL 平面 oC o 故平面 平面 o 而 oL 平面 所以平面 oL oC o L 平面 过点 作 o 垂直 o 于点 o C o 解法 C 解C 设平面 CC o 的法向量为) oC 平面 C o 连结 o 由 知 C C oL 平面 )C oo o o C 则 于是 令 C 可得) CC o o 所以 平面 C 故 是直线 和平面 o o o o o L o )C o o 所成的角 C o 因为 oL 又由题设 C 平面 的一个法向量为* CC 所以 oL 而L 是边长为 的正三角形 C o C 槡 所以 C C C ) * o d e )C * o ) * o o o o 槡C 于是 o 槡Co o 例 ! 变式题 !o ! 解答 " 取 中点 o C 连结 o C C oo o o 又因为 所以 o 槡 o 槡槡 槡C C 的中点 C oC o 分别是 o C C C 且o C o o o o o o oC o 槡 槡C o e e e o o o C o o o 槡 异面直线 C 所成的角即为o oC o 即直线 和平面 o 所成角的正弦值为 o o 所成的角 C 如下图所示 C 设a 是 的中点 C 以 a 为原点建立空 o 解法 C 在 Lo o o 中C o d e o o o o 间直角坐标系 C o o o o o o o C o oCo o o C 异面直线 C o o o o o 所成的角为 o o 例 ! 变式题 "o ! 解 答" 依 题 作 点 oC o 在平面 o 内的正投影 o C 则o C C 的中点 C 连结 o oC o 分别为 则所求为四棱锥 o o oC o oC o oC o Co C oo o 的体 o C 积C 其底面 o o 面积为 o 槡 C o 则相关各点的坐标分 别 是 C C C C C CC o 槡C C o d d d d槡 d槡 d d o o oo oo o 易知 C C 槡C C C o 槡C 槡 C C o 槡C 又o C o L面 o o oC o o o 设’ C C 则 o 是平面 o 的一个法向量 C o o C oo Co d d o C ’ o 槡 oo o o 以 为坐标 原 点 C C C 所 在 直 线 分 别 为 轴C ’C 槡 槡o oo 轴C 轴作空间直角 坐 标 系 C 得 C C C C C C 又 o o o 槡o o 解得 oo o 所以o C C C o o CC C o CC C o CC C

a d 槡 于是在 w n a d 中C o d e o d a Lo o d 方法二 C 如下图所示 C 建立空间直角坐标系 C

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四边形 o o o

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例题详解!

# 槡 3 即 3D 与平面 (34 所成角为 @ J > ; < = % . 3 解答 " ! 分 析 一+ 连结 ( %" D# (& ( 3 ,& ( 3 为 直 ,.槡 0 # % 槡 3 例 #! ! % ", # 1 + 8( ( 3"9 ) F &:#槡 . 3 三棱柱 # 为 ( 3 的中点 # 又4 ( D + ( D "D 3% D? 平面 ( 3 3# # % 由此即知 # 直线 &4 和平面 & 4 D 所成角的正弦值为 槡 % 3 +( ! 射 影 相 等 的 两 条 斜 线 段 相 等 " 而 4 " 4 3 4& ? 平 1 3 # 面 例 " 变 式 题 !! ! 解 答 " (& 由斜线和平面所成角的 :? ## 3 &(3 ! 定义可知 # & ("& 3 相等的斜线段的射影相等 " % ( : 为& ( 和# 所成角 # 8& 3+ 分析二 + 取 的 中 点 # 证 四 边 形 ( 3 G & G D 4 为 平 行 四 边 形# > 7 ; & ( 3 > 7 ; * ) F 8 又( 3 进而证 > 7 ; 7 ; 7 ; +> 7 ; ( :" " %"> % /> %# 8& > 7 ; ( : > 7 ; & / F 得& 83 & G<4 D# & G?( 3# ("& 3 也可 % 3 分析三 + 利用空间向量的方法 % 具体解法略 % % 槡 # 槡 # 3 " C " # # # # !" 分 析 一+ 求 (3 与平面( 只需求点 3 4 所 成 的 线 面 角# 3 # 到面 # 即斜线 & + 8( & :"& / F ( 和平面# 所成角为 & / F % ( ( 4 3 的距离即可 % 3 . 解析 " 槡 例 " 变式题 "!@ J > > 7 ; !! : & 在平面 : ( 3 内的射 3 . 3 影为角 ( 的 平 分 线 # 根据> 得: : 3 7 ; 7 ; 7 ; &与 %"> % /> %# 3 . 槡 平面 : ( 3 所成的角为 @ J > > 7 ; % 3 . 例 # 变 式 题 #! ! 解 答 " 解 法 一+ 取( 连结 3 3 的 中 点 G# 3 & G, 4 G# 3 ( 正四面体 & ( 3 4# 3 作 &E (4 于E# +( 3?& G# ( 3?4 G# 连E 则E 3# 3?( 4# E 3 为二面角& , ? 8& 3 +( 3? 面 & G 4# 不妨设 & 则& E 3"* ) F % 3"# .# E" 8& 槡 3 (4,3 的平面角 # 而( 3D 平面 ( 3 4# # 在 中 # 由 / / # I ( 4 &4 & ("( 4 & E >& 3 # E3"&% K +面 & G 4? 面 ( 3 4# 易得 &4 " * % 槡 3 过 D 作 DJ ?4 G 于J# 设点 ( 到面 ( 4 3 的距离为<# ( 3 与平面 ( 3 4 所成的 角 3 而4 则 DJ ? 面 ( GD 平面 ( 3 4# 3 4# % 3 为#% 利用 %@ /4 /<# 可 求 得 <"#槡 又 则 8D D" @ .# 3J 为3 D 与面 ( 3 4 所成的角 % . . 3 # < % 在K I DJ 中 # ; < = 3J "槡 % >3 8D .# ; < = " # + ) F % 3 可求得 ( 3"&槡 #" #". . (3 # 3 即 ( 3 与平面 (34 所成的角为 . ) F % # 槡 即3 D 与平面 ( 3 4 所成的角为 @ J > ; < = % 3 分析二 + . 作出 ( 3 与平 面 ( 由图 3 4 所 成 的 角 再 进 行 求 解% 解法二 + 如下图 # 建立以三角形 ( 3 4 的中心 : 为原点 # : 4#3 可证得 ( 所以 & 由分析一易 3? 面 & G D 4# G D 4? 面 ( 4 3% : & 依次为* 轴 # H 轴% " 轴平行于 ( 3 的空间直角坐标系 % 3 知四边形 & 连& 则 G D 4 为 正 方 形# D# 4 G 并 设 交 点 为 :# 3 D:? 面 (43# 为 在 面 内 的 射 影 +: 3 D 3 ( 4 3 % + 8D 3 : 3 即为所求 # 以下略 % 3 分析三 + 利用空 间 向 量 的 方 法 求 出 面 ( 则 4 3 的 法 向 量 ’# 3 ( 3 与平面 (34 所成的角即为( 76 与法向量 的夹角的余 3 ’ 3 角% 具体解法略 % 3 第% 二面角 $ $ 讲 ! 空间角 # 设正四面体 & ( 3 4 的棱长为’# 3 3 例 !!!! ! 解 析" 如 下 图 所 示# 在6 过! 做 . ’ ’ . ’ * ’ & 上选点 !# 则: G"槡 # G 3" # : 4"槡 # : &"槡 % * # . . 3 !$ ?6&# # 分别交 # 于 # 连结 则 !C?6 & 6 (6 3 $ C% $C# 3 设 6! "% # 则 6$ "6 . ’# # 槡 C 8$!C 即为所求二面角的平面角 % +3 ’ # , ) # * 3 "$C"## 由余弦定理可得选 !% !$ "!C"槡 .# 3 . ’# # * ’ # 槡 槡 # # 4 )# & ) )) . . 3 (D 为 &4 的中点 # 3 3 . ’# * ’ # 槡 槡 # +D ) * * 3 3 . ’# * ’ # 76 槡 槡 +3 D" , ’ # # . * 3 又因为平面 ( # " # 3 4 的法向量为’" ! )# ) % 3例 变式题 ! 解 答" ! %"取 ( 4 中 点 : #连 结 +3 D 与平面 ( 3 4 所成的角% 满足 3 !# # ! ! 3 : 76 3 &: 3 D/ ’ # $ $ 槡 76 1 正方体 & ; < = 7 ; 3 D# ’2 " 76 " % %"> ( 3# +( 4 ?& :# 3 : ?( 4 # 3 D ’ $ $ $ $ . 3
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o o e# 槡 o 在 nC 中 # od C o d o o C d 槡# o e o 可以求得 o # 即二 o onC od o o e 面角 Cod od 的大小为 o o o o o o o o oo oo2 e # 1 oo o o o d C# d !" 过 d 作 d ond 于点 o # 即 o ooo oo# o no d oo ! " o e# o o / ! Co " C o d 槡 oo # oC ! do " oo 解得 C e # # # # " # d e即 ! e e e o 所以 是侧棱 o d 的中点 o oo ! " 由 ! " 得 ! # # " # # " # e e e e C ! oe oe 槡# e 正方体 C d# wd d n 平面 C d d # o oo oo # ## " # o ! o槡 # e# " C d ! e e w nd o d 为平面 dd 与平面 C d d 所 成 二 面 角 d o o 又C # 分别是平面 o o" ’ ! # o" C ,C d d od 的平面角 # d# d# o 设’ ! # 的法向量 # 则 可以求得o # o o o o d 槡 nd oo ’ / oo C e# 所以 # 平面 d d 与底面 C d d 所成二面角d od od 的 o ’ / C e# 且 即 o o o o o ’ /Co e ’ /Cd e# 平面角大小为 o o o o o o槡 例 ! 变式题 "o ! 解答 " 解法一 + ! " 如下图 # 作 o e# 槡 o 槡 od o e o e# no 交 o o do 且 o 作 onC 连 o, d# 则 # d 于 # d 交C d 于o# n面 o o d e o槡 o e o 分别令 C d d # onC d# o C 得 # 即 槡# o d e# d e# 槡 o e# o 设 # 则 d o # d # " # #" # e e ’ ! e 槡# 槡# o’ ! 在o # o d 中# en d o e e o w o 槡 o n o e e 槡 o wo 1 o o ’# ’2 在o 由 o # o o 中# o wo n o / e 槡 o e 解得 # 从而 e o # w 为侧棱o d 的中点 e 槡 o 二面角 ooC od 的大小为 !oo o o o o o o o ! " d #又 d d d 槡 解答 " 解法一 + ! e" e三棱柱 C d doC d d 为 直 三 o 例 "o ! # # d e e o C d nC 棱柱 # o 所以 nC d 为等 边 三 角 形 又 由 ! e" o wCdnCC 知 为o d 的 中 点# o o C 槡# # 由正弦定理 C d e# C d 槡 o# d d e e o nC o 在 nCdd 中 # # # 所 以 # e C o C o C 槡 e o o nCdd o 连结 e o 取 C 中 点 o# # no C o w d C d o e o wC dnC d n o 取o 连 结 oo # 则d d o# C 中点 o# o 平面 # 又 w C d C d d C C dn 平面 C d dC # n o 由 此 知 nd oo nC # oo 为 二 面 角 o oC od 的 o 即 C nC , dnC d o e 槡 o 在 nd 平面角 连结 do # oo 中 # d o C o# oo 槡 o 槡 槡 o # # 所 以 o do C d Co o o ond oo 槡 o d o oo odo e# 槡 所以 二 面 角 ooC od 的 大 小 o o /d o/oo o o 如下图所示 # 由!

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