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桐柏县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

桐柏县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 2016 年 3 月“两会”期间,有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例,现拟从某工厂职工中抽取

座号_____

姓名__________

分数__________

20 名代表调查对这一提案的态度,已知该厂青年,中年,老年职工人数分别为 350 , 500 ,150 ,按分
层抽样的方法,应从青年职工中抽取的人数为( A. 5 B. 6 C. 7 ) D. 10

【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用,属容易题. 2. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为 ( )

A.

B.

C. )

D.

3. 已知集合 A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( A.A? B B.B? A C.A=B D.A∩B=?

x2 y 2 4. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 , F2 分别在其左、右焦点,点 P 为双曲线的右支上 a b PM 所在直线与轴的交点坐标为 (1, 0) ,与双曲线的一条渐 的一点,圆 M 为三角形 PF 1F 2 的内切圆,
近线平行且距离为 A. 5 5. 把函数 y=cos(2x+φ) (|φ|< 对称,则 φ 的值为( A.﹣ B.﹣ ) C. D. )

2 ,则双曲线 C 的离心率是( 2
B.2 )的图象向左平移

) C. 2 D.

2 2

个单位,得到函数 y=f(x)的图象关于直线 x=

6. 函数 f(x)=2x﹣ A.0 B.1 C.2

的零点个数为( D.3

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7.如图, AB=6, AC=4 在△ ABC 中,

A=45°, O 为△ ABC 的外心, , 则

?

等于 (



A.﹣2 B.﹣1 C.1 A.(0,e﹣2)

D.2 )

8. 函数 y=x+xlnx 的单调递增区间是(

B.(e﹣2,+∞) C.(﹣∞,e﹣2)D.(e﹣2,+∞) )

9. 如图, 在平面直角坐标系中,锐角 α、 β 及角 α+β 的终边分别与单位圆 O 交于 A, B, C 三点.分别作 AA'、 BB'、CC'垂直于 x 轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为(

A.

B.

C.

D.π P 是抛物线 C 上一点, 的焦点, 若|PF|=4, 则△ POF 的面积为 ( )

10. O 为坐标原点, F 为抛物线 A.1 B. C.
2

D.2 x y2 11.双曲线 E 与椭圆 C: + =1 有相同焦点,且以 E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积 9 3 为π,则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 3 x2 2 C. -y =1 5 人的不同保送的方法数为( (A)150 种 ) x2 y2 B. - =1 4 2 x2 y2 D. - =1 2 4 ) (C) 240 种 (D) 540 种

12.将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少保送一 ( B ) 180 种

二、填空题
13.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2016,其前 n 项和为 Sn ,若

S10 S8 ? ? 2 ,则 S2016 的值等于 10 8

.

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【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度. 14.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 15.已知 x 是 400 和 1600 的等差中项,则 x= 16.下列四个命题申是真命题的是 ①“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等; ③在侧棱长为 2,底面边长为 3 的正三棱锥中,侧棱与底面成 30°的角; ④动圆 P 过定点 A(﹣2,0),且在定圆 B:(x﹣2)2+y2=36 的内部与其相内切,则动圆圆心 P 的轨迹为一 个椭圆. 17.自圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 外一点 P( x, y ) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到 原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( A. ) D. . (填所有真命题的序号) (填点的坐标)

13 10

B.3

C.4

21 10

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解 能力、数形结合的思想. 18. 将曲线 C1: y ? 2sin(? x ? 最小值为_________.

?
4

), ? ? 0 向右平移

? 个单位后得到曲线 C2 , 若 C1 与 C2 关于 x 轴对称, 则? 的 6

三、解答题
19.已知 f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x). (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)已知函数 g(x)=log ,当 x∈[ , ]时,不等式 f(x)≥g(x)有解,求 k 的取值范围.

20.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC= (Ⅰ)证明:AM⊥PM; (Ⅱ)求点 D 到平面 AMP 的距离.

,M 为 BC 的中点.

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21.求函数 f(x)=

﹣4x+4 在[0,3]上的最大值与最小值.

22.(本题满分 12 分)设向量 a ? (sin x,

3 (sin x ? cos x)) , b ? (cosx, sin x ? cos x) , x ? R ,记函数 2

f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 f ( A) ?

1 , a ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2

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23.已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中 x 的系数为 11.
2 (1)求 x 的系数取最小值时 n 的值. 2 (2)当 x 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.

24.如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). (I)若∠AOB=α,求 cosα+sinα 的值; (II)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 的最大值. = + .若∠AOP=2θ, 表示| |,并求| |

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桐柏县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

2. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

3. 【答案】B 【解析】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1}, 在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中,例如 x= ∴B?A. 故选 B. 4. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 ?1,0 ? 到直线 bx ? ay ? 0 的距离为 线,离心率为 2 .故本题答案选 C. 1 考点:双曲线的标准方程与几何性质. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几 何条件构造 a, b, c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 a, b, c 与椭圆中 a, b, c 的关系不同.求双曲 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法:(1)直接求出 a , c 的值,可得;(2)建立 a, b, c 的齐次关系式, 将用 a , c 表示,令两边同除以或 a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围. 5. 【答案】B 【解析】解:把函数 y=cos(2x+φ)(|φ|< )的图象向左平移 个单位,
2

2 b 2 ,那么 ,得 a ? b ,则为等轴双曲 ? 2 2 b2 ? a 2

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得到函数 y=f(x)=cos[2(x+ 则 2× +φ+

)+φ]=cos(2x+φ+

)的图象关于直线 x= ,

对称,

=kπ,求得 φ=kπ﹣

,k∈Z,故 φ=﹣

故选:B. 6. 【答案】C 【解析】解:易知函数的定义域为{x|x≠1}, ∵ >0,

∴函数在(﹣∞,1)和(1,+∞)上都是增函数, 又 <0,f(0)=1﹣(﹣2)=3>0,

故函数在区间(﹣4,0)上有一零点; 又 f(2)=4﹣4=0, ∴函数在(1,+∞)上有一零点 0, 综上可得函数有两个零点. 故选:C. 【点评】本题考查函数零点的判断.解题关键是掌握函数零点的判断方法.利用函数单调性确定在相应区间的 零点的唯一性.属于中档题. 7. 【答案】A 【解析】解:结合向量数量积的几何意义及点 O 在线段 AB,AC 上的射影为相应线段的中点, 可得 ﹣2; 故选 A. 【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则,属于中档题 8. 【答案】B 【解析】解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数可得 f′(x)=lnx+2,令 f′(x)>0,可得 x>e﹣ , ∴函数 f(x)的单调增区间是(e﹣ ,+∞) 故选 B. 9. 【答案】 A
2 2



,则

?

=

=16﹣18=

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【解析】(本题满分为 12 分) 解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β), 设边长为 sin(α+β)的所对的三角形内角为 θ, 则由余弦定理可得,cosθ= = = =sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos(α+β), ∵α,β∈(0, ∴α+β∈(0,π) ∴sinθ= =sin(α+β) =1, ) ﹣cosαcosβ ﹣cosαcosβ

设外接圆的半径为 R,则由正弦定理可得 2R= ∴R= ,
2 ∴外接圆的面积 S=πR =



故选:A.

【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面 积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题. 10.【答案】C 【解析】解:由抛物线方程得准线方程为:y=﹣1,焦点 F(0,1), 又 P 为 C 上一点,|PF|=4,

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可得 yP=3, 代入抛物线方程得:|xP|=2 ∴S△POF= |0F|?|xP|= 故选:C. 11.【答案】 x2 y2 【解析】选 C.可设双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a b b 渐近线方程为 y=± x,即 bx± ay=0, a 由题意得 E 的一个焦点坐标为( 6,0),圆的半径为 1, ∴焦点到渐近线的距离为 1.即 | 6b| b2+a2 =1, . ,

又 a2+b2=6,∴b=1,a= 5, x2 ∴E 的方程为 -y2=1,故选 C. 5 12.【答案】A 【 解 析 】 5 人 可 以 分 为 1, 1, 3和 1, 2, 2 两 种 结 果 , 所 以 每 所 大 学 至 少 保 送 一 人 的 不 同 保 送 的 方 法 数 为
3 3 C5 ? A3 ?

C52 ? C32 3 ? A3 ? 150 种,故选 A. 2 A2

二、填空题
13.【答案】 ? 2016

14.【答案】 (0,2)

0 【解析】解:令 x=0,得 y=a +1=2 x ∴函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 (0,2)

故答案为:(0,2). 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质,确定指数为 0 时,求 函数的图象必过的定点

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15.【答案】 1000 .

【解析】解:∵x 是 400 和 1600 的等差中项, ∴x= =1000.

故答案为:1000. 16.【答案】 ①③④ 【解析】解:①“p∧q 为真”,则 p,q 同时为真命题,则“p∨q 为真”, 当 p 真 q 假时,满足 p∨q 为真,但 p∧q 为假,则“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件正确,故①正确; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补;故②错误, ③设正三棱锥为 P﹣ABC,顶点 P 在底面的射影为 O,则 O 为△ABC 的中心,∠PCO 为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为 3,∴CO= ∵侧棱长为 2,∴ 在直角△POC 中,tan∠PCO= ∴侧棱与底面所成角的正切值为 ,即侧棱与底面所成角为 30°,故③正确,

④如图,设动圆 P 和定圆 B 内切于 M,则动圆的圆心 P 到两点,即定点 A(﹣2,0)和定圆的圆心 B(2,0) 的距离之和恰好等于定圆半径, 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6>4=|AB|. ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 故动圆圆心 P 的轨迹为一个椭圆,故④正确, 故答案为:①③④

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17.【答案】D 【 解 析 】

18.【答案】 6 【解析】解析:曲线 C2 的解析式为 y ? 2sin[? ( x ?

) ? ] ? 2sin(? x ? ? ? ) ,由 C1 与 C2 关于 x 轴对 6 4 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 称知 sin(? x ? ? ? ) ? ? sin(? x ? ) , 即 ?1 ?c o s ( )? s i n (? ?x ) ?s i n ( ? )c o s ( ? ) 0 ? x ? ? 对一切 4 6 4 6 ? 4 6 4 ?

?

?

?

?

? ? 1 ? cos( ? ) ? 0 ? ? ? 6 x ? R 恒成立,∴ ? ∴ ? ? (2k ? 1)? ,∴ ? ? 6(2k ? 1), k ? Z ,由 ? ? 0 得 ? 的最小值为 6. 6 ?sin( ? ? ) ? 0 ? 6 ?
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)为奇函数. 理由:1+x>0 且 1﹣x>0,得定义域为(﹣1,1),(2 分) 又 f(﹣x)=log3(1﹣x)﹣log3(1+x)=﹣f(x), 则 f(x)是奇函数. (2)g(x)=log =2log3 ,(5 分)

又﹣1<x<1,k>0,(6 分)
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由 f(x)≥g(x)得 log3 即 ≥ ,(8 分)

≥log3



即 k2≥1﹣x2,(9 分) x∈[ , ]时,1﹣x2 最小值为 ,(10 分)
2 则 k ≥ ,(11 分)

又 k>0,则 k≥

, ].

即 k 的取值范围是(﹣∞,

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明,考查不等式有解的条件,注意运用对数函数的单调性,考查运 算化简能力,属于中档题. 20.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA ∵△PCD 为正三角形 ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面 PCD⊥平面 ABCD ∴PE⊥平面 ABCD ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理得 EM=
2 2 2

,AM=

,AE=3

∴EM +AM =AE ,∴∠AME=90° ∴AM⊥PM (Ⅱ)解:设 D 点到平面 PAM 的距离为 d,连接 DM,则 VP﹣ADM=VD﹣PAM ∴ 而 在 Rt△PEM 中,由勾股定理得 PM= ∴ ∴ ∴ ,即点 D 到平面 PAM 的距离为

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21.【答案】 【解析】解:∵ ∵x∈[0,3],∴x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,3) f′(x) f(x) 4 ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 1 3
2 ,∴f′(x)=x ﹣4,

2 由 f′(x)=x ﹣4=0,得 x=2,或 x=﹣2,

由上表可知, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=4, 当 x=2 时, 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交 汇,对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,难度为中等. .

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23.【答案】 【解析】 【专题】计算题. 【分析】(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的 x 的系数,列出方程得到 m,n 的关系;利用二项展 开式的通项公式求出 x 的系数, 将 m,n 的关系代入得到关于 m 的二次函数,配方求出最小值 (2)通过对 x 分别赋值 1,﹣1,两式子相加求出展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.
1 1 【解答】解:(1)由已知 Cm +2Cn =11,∴m+2n=11, 2

x2 的系数为 Cm2+22Cn2=

+2n(n﹣1)=

+(11﹣m)(

﹣1)=(m﹣

2 )+



∵m∈N*,∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,

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此时 n=3.
2 5 3 (2)由(1)知,当 x 的系数取得最小值时,m=5,n=3,∴f(x)=(1+x) +(1+2x) .

设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2++a5x5,
5 3 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=2 +3 ,

令 x=﹣1,a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题; 利用赋值法求二项展开式的系数和 问题. 24.【答案】 【解析】 解:(Ⅰ)点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). 可得 sinα= ,cosα= ,∴cosα+sinα= . = =(1+cos2θ,sin2θ), =2|cosθ|,因为 ,

(Ⅱ)因为 P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以 所以 所以 | = =2|cosθ|∈ . , =

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力.

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