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陕西西安高新一中2015届高三数学(理科)试题


陕西西安高新一中 2015 届高三模拟二数学(理科)试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 ? 3i 1.i 是虚数单位,复数 = ( ) 1? i A.2-i B.2+I C. -1 -2i D. -1 + 2 i 2.已知集合 M ? ? x log 2 ( x ? 1) ? 2? , N ? ? x a ? x ? 6? ,且 M N ? ? 2, b? ,则 a ? b ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分不必要条件是( ) 2 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b D. a 3 ? b3 4.已知圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程为 64 64 A. ( x ?1)2 ? y 2 ? B. x2 ? ( y ?1)2 ? 25 25 2 2 2 2 C. ( x ? 1) ? y ? 1 D. x ? ( y ? 1) ? 1 a ?a 1 5. 已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? a7 ? a8 2 A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 6. 把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中, 并且不许有空盒, 那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是 ( ) A.

3 20

B.

3 16

C.

9 40

D.

2 5

? x ? ? 7.将 y ? 2 cos( ? ) 图像按向量 a ? (? ,?2) 平移,则平移后所得函数的周期及图象 3 6 4

的一个对称中心分别为(
?? ? A. 3? , ? ,?2 ? ?4 ?


? 3? ? C. 6? , ? ,?2 ? ? 4 ? ?? ? D. 3? , ? ,2 ? ?4 ?

? 3? ? B. 6? , ? ,2 ? ? 4 ?

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为 16 19 19 4 A. ? B. ? C. ? D. ? 3 3 12 3

高三数学(理科)试题

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x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作 圆 a 2 b2 交双曲线 的渐近线于异于原点的两点 A、 B, 若 (A 则双曲线的离心率 e 为 O ?A F )O ?F ? 0 , ( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 x ? ?1 ? x ? 1 ? a , 10.已知 a ? 1 ,若函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0的 ? ? f ? x ? 2 ? ? a ? 1,1 ? x ? 3 根的个数最多有( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11. 如果执行右面的框图,那么输出的 S 等于_____________.

9.已知 O 为坐标原点,双曲线

12. 已知

? 2x ? 3 ?
则?0
2a

4

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 +a3 x3 ? a4 x 4 ,

若a ? (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 . 4 ? x 2 dx ? _____________ .

? x, y ? 0 ? 13. 设 P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

表示的平面区域内的任意

一点,向量 m ? (1,1) , n ? (2,1) ,若 OP ? ?m ? ?n ( ? , ? 为实 数) ,则 2? ? ? 的最大值为 . sin | x | 14. 若对于函数 f ( x) ? ? b ,现给出四个命题: x ①b=0 时, f ( x) 为奇函数; ②y= f ( x) 的图像关于(o,b)对称; ③b=-1 时,方程 f ( x) =0 有且只有一个实数根; ④b=-1 时,不等式 f ( x) >0 的解集为空集. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的编号) 15.选做题: (请考生在下列 A,B,C 题中任选一题作答,若三题都做,则按所做的第一题 计分) (A)(不等式选讲) 已知函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? a | ?2, a ? R 的定义域为 R, 则实数 a 的 取值范围是 . ? ? x ? 3 ? cos ? , (? (B) (极坐标与参数方程选讲) 直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程是 ? ? ? y ? 1 ? sin ? , 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心 C 的极坐标 是 .
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(C) (几何证明选讲) 如图, 过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE , E 为切点,连接 AE, BE ,?APE 的平分线与 AE, BE 分别交于点 C , D ,若 ?AEB ? 300 ,则 ?PCE ? . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
1 2 3 ( n? N* ) 均在函数 y ? f ( x) 的 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 ? n, Sn ? 2 2

图象上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n ; 1 a a (Ⅱ)令 cn ? n ? n ?1 , 证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2 an ?1 an

17. (本题满分 12 分) 如图, 港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站, 港口正东方 向的 B 处有一轮船,距离检查站 31 海里,该轮船从 B 处沿正西 方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远?

18. (本题满分 12 分) 正 ?ABC 的边长为4, CD是AB边上的高, E、 F分别是AC和BC的中点 (如图 (1) ) .现将 ?ABC 沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图(2) ). 在图形(2)中: (Ⅰ) 试判断直线AB与平面DEF的位置关系, 并说明理由; (Ⅱ)求二面角E-DF-C的余弦值; (Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P,使 AP ? DE ?证明你的结论.

高三数学(理科)试题

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19. (本题满分 12 分) 在抽样方法中,有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率是不同的,但当总体 的容量很大而抽取的样本容量很小时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样。现有一大 批产品,采用随机抽样的方法一件一件抽取进行检验。若抽查的 4 件产品中未发现不合 格产品,则停止检查,并认为该批产品合格;若在查到第 4 件或在此之前发现不合格产 品,则也停止检查,并认为该批产品不合格。假定该批产品的不合格率为 0.1,设检查 产品的件数为 X。 (Ⅰ) 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ) 通过上述随机抽样的方法进行质量检查,求认为该批产品不合格的概率。

20. (本题满分 13 分) 已知中心在原点, 焦点在坐标轴上的椭圆 E 的方程为 率为 B. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; xx y y x2 y 2 (Ⅱ)若在椭圆 E 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 a b a b 证:直线 AB 恒过定点,并求出定点的坐标; (Ⅲ)记点 C 为(Ⅱ)中直线 AB 恒过的定点,问否存在实数 ? ,使得
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 它的离心 a 2 b2

1 ,一个焦点是 (?1,0) ,过直线 x ? 4 上一点引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A、 2

AC ? BC ? ? AC ? BC 成立,若成立求出 ? 的值,若不存在,请说明理由。

21. (本题满分 14 分) g ( x) ? a1nx 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b · 3 ? 1 ? (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ? ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ? (Ⅱ)若对任意 x∈ [1,e],都有 g ( x) ? ? x3 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; ? f ( x), x ? 1 (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 F ( x) ? ? ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x) ? g ( x), x ? 1 上是否存在两点 P、Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直 角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

2015 届高三数学(理科)参考答案
1—10 ADACC CCBCC 11、 2 ; 12、π; 13、5 ; 14、①②④ ;
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高三数学(理科)试题

15、 (A) ?? ?,?3? ? ?1,???

; (B) (2, ) ; (C) 75 ? 6 1 3 16、解: (1)? 点 (n, sn ) 在 f ( x) 的图像上,? S n ? n 2 ? n 2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 ; n ? 1 也适合上式, ? an ? n ? 1(n ? N ? ) ……………6 分 a a n ?1 n ? 2 1 1 (2)由(1) 得 cn ? n ? n?1 ? ……………9 分 ? ? 2? ? an?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ……………12 分 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2 BD2+CD2-BC2 1 17、解:在△BDC 中,由余弦定理知 cos∠CDB= =- ,……… 3 分 2BD·CD 7 4 3 .……………5 分 7 π? π π 5 3 ? ∴sin∠ACD=sin?∠CDB- ?=sin∠CDBcos -cos∠CDBsin = ,…… 9 分 3? 3 3 14 ? sin∠CDB=

?

∴轮船距港口 A 还有 15 海里.……………12 分 18.(本题满分 12 分) (Ⅰ)如图(2) :在 ?ABC 中,由EF分别是AC、BC的 中点,得EF//AB,又 AB ? 平面DEF, EF ? 平面DEF. ∴ AB // 平面DEF. ……………3分 (Ⅱ)以点D为坐标原点,以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标 系,则 A(0,0,2), B(2, 0, 0),C(0,2 3,0), E(0, 3,1), F (1, 3,0) ……………4分 平面CDF的法向量 DA ? (0,0,2) .设平面EDF的法向量为 n =(x,y,z).
? ?x ? 3 y ? 0 ? DF ? n ? 0 则? ,即 ? ,取 n ? (3,? 3,3) ……………6分 ? ? 3y ? z ? 0 ? DE ? n ? 0

cos ? DA ? n ??

DA ? n | DA | ? | n |

?

21 21 .二面角E-DF-C的平面角的余弦值为 .…………8分 7 7

(Ⅲ) 在平面坐标系 xDy 中, 直线BC的方程为 y ? ? 3x ? 2 3 , 设 P( x,2 3 ? 3x,0) , 则 AP ? ( x,2 3 ? 3x,?2) .……………10分
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4 1 ? BP ? BC . 3 3 ∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DE. ……………12分.

∵ AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? x ?

19.解 (1) 由题意得, X 的可能值为 分布列略。EX=3.439.

1 9 1 9 , P( x ? 2) ? ? ? , 10 10 10 100 9 9 1 81 729 P ( X ? 3) ? ? ? ? , P ( X ? 4) ? 10 10 10 1000 1000 1,2,3,4, 则有 P ( X ? 1) ?
4

9 9 9 9 ?9? ? ? ? ?? ? 10 10 10 10 ? 10 ? (2)认为该批产品合格的概率是

从而该批产品不合格的概率是
2 2

?9? ? ? P=1- ? 10 ?

4

=0.3439.
a 2

20. 解( I )设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,所以
a b
a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为

x y ? ? 1 . ………………………4 分 4 3 (II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4, t ? ,则切线方程分别为
x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的 4 3 4 3 3 3 t t t 坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过点 3 3 3 C 1, 0 (1,0) ,故直线 AB 恒过定点 ? ? .…………………………………9 分

2

2

(III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3
?t ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , ? 3 ? ?3 ? 所以 y1 ? y2 ? 2 6t , y1 y2 ? 2?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , t ? 12 t ? 12
2
2 ? t2 ? 2 t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y ,…………12 分 AC ? ? x1 ? 1? ? y ? ? ? 1? y1 ? y1 2 3 3 ?9 ?

2

2

2 1

所以 1 ? 1 ?
AC BC

?1 1 ? y ?y 3 3 ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? 2 2 2 t ? 9 ? y1 y2 ? t ? 9 y1 y2 t ?9 3
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12 4 即 AC ? BC ? AC ? BC ,……………………………13 分 3

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