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临猗县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

临猗县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 直线在平面外是指( A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交 C.直线与平面平行 D.直线与平面最多只有一个公共点 2. 如果函数 f(x)的图象关于原点对称,在区间上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间上是( A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣3 ) )

姓名__________

分数__________

3. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2),当 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 则当 0<x<4 时,不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是( A.(0,1)∪(2,3) 4. 若椭圆 椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. B.(0,1)∪(3,4) 和圆 ) C. D. ) ) ) D.(1,2)∪(2,3) C.(1,2)∪(3,4)

为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则

5. 在复平面内,复数(﹣4+5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. 已知正△ ABC 的边长为 a,那么△ ABC 的平面直观图△ A′B′C′的面积为( A. B. C. D. )

7. 已知 f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若 f(2016)=k,则 f(﹣2016)=( A.k B.﹣k C.1﹣k D.2﹣k x y A.x 与 y 是正相关 B.当 y 的估计值为 8.3 时,x=6 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ) 8. 两个随机变量 x,y 的取值表为

^ 若 x,y 具有线性相关关系,且y=bx+2.6,则下列四个结论错误的是(

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C.随机误差 e 的均值为 0 D.样本点(3,4.8)的残差为 0.65 9. 函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是( ) A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3) 10.抛物线 x=﹣4y2 的准线方程为( A.y=1 B.y= 11.已知双曲线 C.x=1 D.x= 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支 ) )

有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)

12.下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( A.f(x)=﹣xe B.f(x)=x+sinx C.f(x)= D.f(x)=x2|x|
|x|



二、填空题
13.设函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? ax 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且对不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
3 2

恒成立,则实数的取值范围是



14.若函数 f ( x) ? a ln x ? x 在区间 (1, 2) 上单调递增,则实数的取值范围是__________. 15.某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在全 校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19 ,先采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 16.在 中,角 、 、 . ,则 _________ 所对应的边分别为 、 、 ,若 .

17.若 log2(2m﹣3)=0,则 elnm﹣1=

18.设实数 x,y 满足 为 .

,向量 =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).若 ∥ ,则实数 m 的最大值

三、解答题
19.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= a.

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(Ⅰ)求 ;
2 2 (Ⅱ)若 c =b +

a2,求 B.

20.已知定义域为 R 的函数 (1)求 f(x);

是奇函数.

(2)判断函数 f(x)的单调性(不必证明); (3)解不等式 f(|x|+1)+f(x)<0.

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范 围.

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22.(本小题满分 12 分) 在等比数列 ?an ? 中, a3 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2

3 9 , S3 ? . 2 2

6 a2 n ?1

,且 ?bn ? 为递增数列,若 cn ?

1 ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? bn bn ?1

? cn ?

1 . 4

23.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=ax2+lnx(a∈R). (1)当 a=

1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称 g (x) 为 f( , f( 的“活动函数”. 已知函数 f ? x ?1 ? ? a ? 1 x) 2 x)

? ?

1 2 1? 2 2 ? x ? 2ax ? 1-a lnx, . f ? x ?2 ? 2 x ? 2ax 。 2?

?

?

若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,求 a 的取值范围.

24.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率 之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

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临猗县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交, ∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点. 故选 D. 2. 【答案】D 【解析】解:由奇函数的性质可知,若奇函数 f(x)在区间上是减函数,且最小值 3, 则那么 f(x)在区间上为减函数,且有最大值为﹣3, 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,比较基础. 3. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2), ∴f(0)=0,且 f(2+x)=﹣f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称, 又 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 故可作出 fx(x)在 0<x<4 时的图象, 由图象可知当 x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0, ∴(x﹣2)f(x)>0; 当 x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0, ∴(x﹣2)f(x)>0; ∴不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是(1,2)∪(2,3) 故选:D

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【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的性质和图象,属中档题. 4. 【答案】 A ∵椭圆 【解析】 解: 且它们有四个交点, ∴圆的半径 , 和圆 为椭圆的半焦距) 的中心都在原点,



,得 2c>b,再平方,4c >b ,

2

2

2 2 2 2 在椭圆中,a =b +c <5c ,

∴ 由

; ,得 b+2c<2a,

2 2 2 再平方,b +4c +4bc<4a , 2 2 ∴3c +4bc<3a , 2 ∴4bc<3b ,

∴4c<3b,
2 2 ∴16c <9b , 2 2 2 ∴16c <9a ﹣9c , 2 2 ∴9a >25c ,





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. .

综上所述, 故选 A. 5. 【答案】B

【解析】解:∵(﹣4+5i)i=﹣5﹣4i, ∴复数(﹣4+5i)i 的共轭复数为:﹣5+4i, ∴在复平面内,复数(﹣4+5i)i 的共轭复数对应的点的坐标为:(﹣5,4),位于第二象限. 故选:B. 6. 【答案】D 【解析】解:∵正△ABC 的边长为 a,∴正△ABC 的高为 ,

画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角 45 度, ∴△A′B′C′的高为 ∴△A′B′C′的面积 S= 故选 D. 【点评】 本题考查平面图形的直观图的性质和应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地进行等价转化. = , = .

7. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),f(2016)=k, ∴f(2016)=20163a+2016b+1=k, ∴20163a+2016b=k﹣1, ∴f(﹣2016)=﹣20163a﹣2016b+1=﹣(k﹣1)+1=2﹣k. 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 8. 【答案】 ^ ^ 【解析】选 D.由数据表知 A 是正确的,其样本中心为(2,4.5),代入y=bx+2.6 得 b=0.95,即y=0.95x+ ^ 2.6,当y=8.3 时,则有 8.3=0.95x+2.6,∴x=6,∴B 正确.根据性质,随机误差e的均值为 0,∴C 正确.样 ^ 本点(3,4.8)的残差e=4.8-(0.95×3+2.6)=-0.65,∴D 错误,故选 D. 9. 【答案】C

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【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反. 10.【答案】D 【解析】解:抛物线 x=﹣4y 即为 y2=﹣ x, 可得准线方程为 x= 故选:D. 11.【答案】C 【解析】解:已知双曲线 的右焦点为 F, .
2

若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 , ∴ ≥ ,离心率 e2= ,

∴e≥2,故选 C 【点评】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件. 12.【答案】A 【解析】解:满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数, 且 f′(x)= ≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0,在 R 上是增函数, C 中函数 f(x)= ,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数;

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D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数, 故选:A.

二、填空题
13.【答案】 (??, ?1] 【解析】

?1 ? ,2 ? ?2 ? ?

3 3 2 2 试题分析:因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故得不等式 x1 ? x2 ? ?1 ? a ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即

?

?

x ?x ? x1 ? x2 ? ? ?? 1 2 ?

2 ? 3x1 x2 ? ? ?1 ? a ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 ,由于 ? ? ? 2 2 f ' ? x ? ? 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ,令 f ' ? x ? ? 0 得方程 3x ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? 0 ,因 ? ? 4 ? a 2 ? a ? 1? ? 0 , 故 2

2 ? x1 ? x2 ? ? ?1 ? a ? ? 1 ? 3 2 , 代入前面不等式,并化简得 ?1 ? a ? ? 2a ? 5a ? 2 ? ? 0 ,解不等式得 a ? ?1 或 ? a ? 2 , ? 2 ?x x ? a 1 2 ? 3 ? 1 ?1 ? 因此, 当 a ? ?1 或 ? a ? 2 时, 不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,故答案为 (??, ?1] ? , 2 ? . 2 ?2 ?
考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法. 【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本 题首先利用求导法则求出函数 f ? x ? 的到函数,令 f ' ? x ? ? 0 考虑判别式大于零,根据韦达定理求出

x1 ? x2 , x1x2 的值,代入不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 14.【答案】 a ? 2 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? a ln x ? x 在区间 (1, 2) 上单调递增,所以 x ? (1, 2) 时, f ' ? x ? ?

a ? 1 ? 0 恒成立,即 x

a ? x 恒成立,可得 a ? 2 ,故答案为 a ? 2 .1
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式恒成立问题. 15.【答案】 25 【 解 析 】

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考 点:分层抽样方法. 16.【答案】 【解析】 因为 所以 ,所以 ,所以 ,

答案:

17.【答案】


m

【解析】解:∵log2(2 ﹣3)=0,
m ∴2 ﹣3=1,解得 m=2, lnm 1 ln2 ∴e ﹣ =e ÷e= .

故答案为: . 【点评】本题考查指数式化简求值,是基础题,解题时要注意对数方程的合理运用. 18.【答案】 6 . 【解析】解:∵ 若 ∥ , ∴2x﹣y+m=0, 即 y=2x+m, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=2x+m, =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).

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由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 C 时,y=2x+m 的截距最大,此时 z 最大. 由 解得 , ,代入 2x﹣y+m=0 得 m=6.

即 m 的最大值为 6. 故答案为:6

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 m 的几何意义结合数形结合,即可求出 m 的最大值.根据向量 平行的坐标公式是解决本题的关键.

三、解答题
19.【答案】
2 2 【解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得,sin AsinB+sinBcos A=

sinA,

即 sinB(sin A+cos A)= ∴sinB= sinA, =

2

2

sinA

2 2 (Ⅱ)由余弦定理和 C =b + 2 2 2 由(Ⅰ)知 b =2a ,故 c =(2+

a2,得 cosB=
2 )a ,

2 可得 cos B= ,又 cosB>0,故 cosB=

所以 B=45° 【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问 题进行了互化. 20.【答案】

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【解析】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 从而有 经检验,符合题意;… (2)由(1)知,f(x)= =﹣ + ; =0,解得 b=1; ;…

x 由 y=2 的单调性可推知 f(x)在 R 上为减函数; …

(3)因为 f(x)在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 f(1+|x|)+f(x)<0 等价于 f(1+|x|)<﹣f(x), 即 f(1+|x|)<f(﹣x); … 又因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 1+|x|>﹣x,… 解得 x∈R.… 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)= ∴由 2k ≤ + ≤2kπ sin cos +cos2 =sin( + ,k∈Z 可解得:4kπ﹣ ,4kπ ) , ,k∈Z,

≤x≤4kπ ],k∈Z.

∴函数 f(x)单调递增区间是:[4kπ﹣ (Ⅱ)∵f(A)=sin( + ) ,

∵由条件及正弦定理得 sinBcosC=(2sinA﹣sinC)cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB, ∴则 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,又 sin(B+C)=sinA≠0, ∴cosB= ,又 0<B<π, ∴B= . , , )<1,

∴可得 0<A< ∴ ∴ < + <

sin( +

故函数 f(A)的取值范围是(1, ).

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【点评】 本题考查三角函数性质及简单的三角变换, 要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角 函数进行化简求值,属于中档题. 22.【答案】(1) an ? 【解析】

3 ? 1? 或an ? 6 ? ? ? 2 ? 2?

n ?1

;(2)证明见解析.

3 9 3 ? 1? 试题分析:(1)将 a3 ? , S3 ? 化为 a1 , q ,联立方程组,求出 a1 , q ,可得 an ? 或an ? 6 ? ? ? 2 2 2 ? 2?
由于 ?bn ? 为递增数列,所以取 an ? 6 ? ? ? 其前项和为

n ?1

;(2)

? 1? ? ? 2?

n ?1

,化简得 bn ? 2n , cn ?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?, bn bn?1 4n ? n ? 1? 4 ? n n ? 1 ?

1 1 1 ? ? . 4 4 ? n ? 1? 4

考点:数列与裂项求和法.1

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23.【答案】(1) f ? x ?max ? 1 ?

e2 1 ? 1 1? , f ? x ?min ? . (2)a 的范围是 ? ? , ? . 2 2 ? 2 4?

1 x2 ? 1 1 2 '? x ? ? x? ? ? 0 ,∴f(x)在区间[1,e]上为 【解析】试题分析:(1)由题意得 f(x)= x +lnx, f 2 x x
增函数,即可求出函数的最值.

试题解析: (1)当 时, , ;

对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴ , .

(2)在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,则 f1(x)<f(x)<f2(x)令 <0,对 x∈(1,+∞)恒成立, 且 h(x)=f1(x)﹣f(x)= ∵ 若 ,令 p′(x)=0,得极值点 x1=1, , <0 对 x∈(1,+∞)恒成立,

当 x2>x1=1,即

时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意; 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1),+∞),也不合题 意; 若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0,

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从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 所以 ≤a≤ . = <0,h(x)在(1,+∞)上为减函数, ,

又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣ h(x)<h(1)=

+2a≤0,所以 a≤ , ].

综合可知 a 的范围是[ 24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1). 设点 P 的坐标为(x,y)

2 2 化简得 x +3y =4(x≠±1). 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1)

(Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 所以 = .

2 2 即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 2 2 因为 x0 +3y0 =4,所以

故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题.



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