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资阳高2013级一诊理科数学答案


资阳市高中 2013 级第一次诊断性考试 数学参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.D 二、填空题

5.A 6.A 7.C

8.B 9.D 10.C 11.B

12.D

3 4 3 13.–6;14. ;15.10或11;16. ( 2, ). 2 3

三、解答题
log ? ?1 log x ? ?1 ? log 1 3 17. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2分 (Ⅰ)由 1 ,得 1 ,得0<x<3, ·
3 3 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 由 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,得2<x<4, ·
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6分 所以不等式组的解集为{x|2<x<3}, · (Ⅱ)因为p是q的充分条件, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8分 所以2<x<3使关于x的不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 恒成立, ·
? f (2) ? 8 ? 18 ? a ? 0, 2 令 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? a ,则有 ? 解之得a≤9, ? f (3) ? 18 ? 27 ? a ? 0,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12分 故a的取值范围是(-∞,9]. · 18.由题:f(x)=a ?b= 2 sin x cos x ? = =
2 (cos x ? sin x)?(cos x ? sin x) 2

2 2 ? 2sin x cos x ? (cos 2 x ? sin 2 x) 2 2

2 (sin 2 x ? cos 2 x) 2 π =sin(2x- ).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 4 π π π π 3π (Ⅰ) 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? ? x ? kπ ? ,其中 k ? Z , 2 4 2 8 8 π 3π · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6分 故单调递增区间为 [kπ ? , kπ ? ] ,其中 k ? Z . · 8 8 π π (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)=sin(2x- ),则g(x)=2sin(2x+ ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8分 4 4

列表得 x
2x ? π 4 g ( x)

0
π 4
2

π 8 π 2 2

3π 8

π 0

5π 8 3π 2 -2

7π 8

π
9π 4
2

2π 0

经过描点、连线得

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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12分 19. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1分 (I)由 Sn ? 2an ? n ,可得S1=2a1-1,即a1=1, · 又因为 Sn +1 ? 2an +1 ? (n ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2分 相减得 an?1 ? 2an +1 ? 2an ? 1, 即 an +1 ? 2an ? 1, · an ?1 ? 1 2an ? 2 所以 a ? 1 ? a ? 1 ? 2 , n n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 故{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列.·
n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得到an+1= 2n ,则 an ? 2 ? 1, ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6分 于是bn= an log 2 (an ? 1) =n( 2 n ? 1 )=n×2n -n,令un=n×2n , ·
1 2 3 n ?1 n 则 wn= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2 ,

2wn= 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ,
1 2 3 n n ?1 n ?1 相减,整理得-wn= 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2 ? (1 ? n) ? 2 ? 2 ,
n ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10分 于是wn= (n ? 1) ? 2 ? 2 , · 1 又数列{n}的前n项和为 n(n ? 1) , 2 1 n ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12分 所以Tn= (n ? 1) ? 2 ? n(n ? 1) ? 2 . · 2 20. 设销量 y 与销售价 x 的一次函数关系为 y=kx+b; 弹性批发价 ? 与销量 y 的反比例函数关 a 系为 ? ? , y

?7 ? 80k ? b, ? k ? ?0.1, 由? 解得 ? ?10 ? 50k ? b, ?b ? 15,

于是 y=15-0.1x, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 10 a 由 1 ? ,得 a=10,于是 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 y 10 (Ⅰ)当销售价为 100 元/件时,销量为 15-0.1× 100=5(万件) , 10 此时的批发价为 30+ =32(元/件) ,获得的总利润为 5× (100-32)=340(万元). · · · ·6 分 5 (Ⅱ)设每一件的利润为 d, 10 10 则 d ? x ? (30 ? ? ) ? x ? (30 ? )? x? ? 30 15 ? 0.1x 0.1x ? 15
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? ( x ? 150) ?

100 ? 120 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ( x ? 150)

?15 ? 0.1x ? 0, 而由 ? 可得 0<x<150, ? x ? 0, 100 100 于是 d ? ( x ? 150) ? ? 120 ? ?2 ( x ? 150) ? ? 120 ? 100 , ( x ? 150) ( x ? 150) 100 当且仅当 ( x ? 150) ? ,即 x=140 时取―=‖. ( x ? 150)

所以当每件定价为 140 元时,每件的利润最大为 100 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 1 21.由题意知h(x)=lnx- ax? +(a-1)x+a,且x>0, 2 1 ?ax2 ? (a ? 1) x ? 1 (?ax ? 1)( x ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2分 ? 则 h?( x) ? ? ax ? (a ? 1) ? ,· x x x (Ⅰ)当a>0时, (?ax ? 1) <0,由 h?( x) ? 0 ,得0<x<1;由 h?( x) ? 0 ,得x>1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 所以单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). · (Ⅱ)由题知f(x)<g(x)在x∈(0,-a)上恒成立,即h(x)= f(x)-g(x)<0在x∈(0,-a)上恒成立. 1 由 h?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ,x2=1, a 1 (1)当 1 ? ? ,即a=-1时, h?( x) ? 0 在x∈(0,1)上恒成立,则h(x)在(0,1)上为增函数,h(x) a 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6分 <h(1)= ? <0,所以f(x)<g(x)恒成立. · 2 1 (2)当 1 ? ? ,即-1<a<0时, a 1 1 1 ? (0,1) x 1 (1,? ) ( ? ,+∞) a a a h?( x) 0 + - + h(x)
?

极大值

?

极小值

?

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8分 因为-a<1,在区间(0,-a)上,h(x)<h(-a)<h(1)= a-1<0.· 2 1 (3)当 1 ? ? ,即a<-1时, a 1 1 1 ? (0, ? ) ( ? ,1) (1,+∞) x 1 a a a h?( x) 0 + - +

h(x) 因为-a>1,

?

极大值

?

极小值

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2a 2 ? 1 ? (a-1) +a= ln( ? ) ? ( ? )? 又h( ? )=ln( ? )- a× -1+ +a = ln( ? )+ 2a a a 2 a a a a a 2a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10分 -1<0, ·

于是只需考虑h(-a)<0即可,
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1 1 即考虑h(-a)= ln(-a)- a(-a)? +(a-1)(-a)+a= ln(-a)- a? -a? +2a<0, 2 2 下面用特殊整数检验,

若a=-2,则h(2)=ln2+4-8=ln2-4<0; 27 3 1 2 3 若a=-3,则h(3)=ln3+ -15= ln3- = (ln 3 ? ln e ) <0; 2 2 2 若a=-4,则h(4)=ln4+32-24= ln4+8>0, 1 而当a≤-4时,ln(-a)>0,现说明当a≤-4时,- a? -a? +2a>0, 2 1 3 令u(x)=- x? -x? +2x,则 u ?( x) =- x?-2x+2,它在(-∞,-4]为增函数且 u?(?4) <0, 2 2 u ( x ) ( ∞ 4] u ( 所以 在 - ,- 为减函数,而 -4)>0, 1 则当a≤-4时,- a? -a? +2a>0恒成立. 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12分 所以,使f(x)<g(x)在x∈(0,-a)上恒成立的最小整数为-3. · 22.选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)因为 QC 2 ? QA2 ? BC ? QC , 所以 QC (QC ? BC) ? QA2 即 QC? QB ? QA2 , QC QA ? 于是 , QA QB 所以△ QCA∽△QAB, 所以∠QAB=QCA, 根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为⊙O 的切线,证毕. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)因为 QA 为⊙O 的切线, 所以∠PAC=∠ABC, 而 AC 恰好为∠BAP 的平分线, 所以∠BAC=∠ABC, 于是 AC=BC=15, 所以 QC 2 ? QA2 ? 15QC , 又由△ QCA∽△QAB 得 QC AC 15 ? ? , ② QA AB 10 联合①,②消掉 QC,得 QA=18. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)由题,消去直线 l 的参数方程中的参数 t 得直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 . 又由 ? ? 2cos? 得 ? 2 ? 2? cos? ,
? x=? cos ? , 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? y=? sin ?
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(Ⅱ)曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 可化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 设与直线 l 平行的直线为 y ? x ? b , 当直线 l 与曲线 C 相切时,有
1? b 2 ? 1 ,即 b ? ?1 ? 2 ,

于是当 b ? ?1 ? 2 时,P 为切点时,P 到直线 l 的距离达到最大,最大值为两平行线的距离 即

2 ? (?1 ? 2) 2

?

3 2 ?1 . 2
3 2 3 2 ?1) ,再加上半径 1,即为 P 到直线 l 距离的最大值 2 2

(或先求圆心到直线的距离为

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 24.选修 4—5:不等式选讲 (1)当 a ? ?2 时,不等式为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 , 当 x≤-2 时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解之得 x≤ ?
17 ; 3

1 当-2<x≤ 时,原不等式可化为 x+2-2x+1≥16,解之得 x≤-13,不满足,舍去; 2 1 当 x> 时,原不等式可化为 x+2+2x-1≥16,解之得 x≥5; 2 17 不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? 5} . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3 (2) f ( x) ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ( x) ? 1 解集是 ? 0, 2? ,
? a ? 1 ? 0, 所以 ? 解得 a ? 1 , ? a ? 1 ? 2,

从而 f ? x ? ? x ? 1 于是只需证明 f ? x ? ? f ( x ? 2) ? 2 , 即证 x ? 1 ? x+1 ? 2 , 因为 x ? 1 ? x+1 = 1 ? x ? x+1 ? 1 ? x ? x+1 =2 , 所以 x ? 1 ? x+1 ? 2 ,证毕. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

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