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3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式课件新人教A版必修4_图文

【课标要求】 1.熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程. 2.熟记并灵活运用两角差的余弦公式.

自主学习 基础认识 |新知预习| 两角差的余弦公式 名称 简记符号 两角差的余弦 C(α-β)

公式 使用条件 cos(α-β)=cosαcosβ+ α,β 为任意角 sinαsinβ

[化解疑难] 对两角差的余弦公式的记忆和理解 (1)公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含 有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆 公式. (2)注意事项:不要误记为 cos(α-β)=cosα-cosβ 或 cos(α-β) =cosαcosβ-sinαsinβ;同时还要注意公式的适用条件是 α,β 为任 意角. (3)该公式是整章三角函数公式的基础, 要理解该公式的推导方 法.公式的应用要讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形用,还 α+β α-β 要创造条件应用公式, 如构造角: β=(α+β)-α, β= 2 - 2 等.

|自我尝试| 1.sin11° cos19° +cos11° cos71° 的值为( 3 1 A. 2 B.2 1+ 3 3-1 C. 2 D. 2

)

解析: sin11° cos19° +cos11° cos71° =cos11° cos71° +sin11° sin71° 1 =cos(11° -71° )=cos(-60° )=2.故选 B. 答案:B

2.cos45° · cos15° +sin45° · sin15° 等于( 1 3 A.2 B. 2 3 C. 3 D. 3

)

3 解析:原式=cos(45° -15° )=cos30° =2. 答案:B

?π ? ?π ? 3 3.sinα=5,α∈?2,π?,则 cos?4-α?的值为( ) ? ? ? ? 2 2 7 2 7 2 A.- 5 B.- 10 C.- 10 D.- 5

4 解析:由条件可得 cosα=-5, ?π ? 2 2 ? ? ∴cos 4-α = 2 cosα+ 2 sinα ? ? 2 2? 4 3? 2 ? ? = 2 (cosα+sinα)= 2 -5+5 =- 10 , ? ? 故选 B. 答案:B

4 . cos(α - 35° )cos(25°+ α) + sin(α - 35° )· sin(25°+ α) 等 于 ________.

1 解析:原式=cos(α-35° -25° -α)=cos(-60° )=2. 1 答案:2

课堂探究 互动讲练 类型一 运用公式化简求值 [例 1] 化简求值:(1)cos75° ; (2)cos63° sin57° +sin117° sin33° ; (3)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.

【解】

(1)cos75° =cos(120° -45° )

1 2 3 2 =cos120° cos45° +sin120° sin45° =-2× 2 + 2 × 2 6- 2 = 4 . (2)原式=cos63° cos33° +sin63° sin33° =cos(63° -33° )=cos30° 3 =2. (3)原式=cos[(α+β)-β]=cosα.

方法归纳 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值, 利用两角差的余弦公式直接展开求 解. (2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再 利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值, 把非特殊角转化为两个特殊角的 差,然后利用两角差的余弦公式求解.

跟踪训练 1 cos15° cos45° +cos75° sin45° 的值为( 1 3 1 3 A.2 B. 2 C.-2 D.- 2

)

解析:原式=cos15° cos45° +sin15° sin45° =cos(45° -15° ) =cos30° 3 =2. 答案:B

类型二 [例 2] cosβ 的值.

条件求值 已知
? π? α,β∈?0,2?,且 ? ?

4 16 sinα=5,cos(α+β)=-65,求

【解】 因为

? π? α,β∈?0,2?,所以 ? ?

α+β∈(0,π),sin(α+β)>0,

63 3 sin(α+β)= 1-cos2?α+β?=65,cosα= 1-sin2α=5, 所以 cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 16 3 63 4 =-65×5+65×5 204 =325.

方法归纳 给值求值的解题策略 (1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时, 关键是“变式”或 “变角”构造公式的结构形式. (2)常用的变角技巧有 α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,α+β=(2α ? ? π? ?π +β)-α,α+β=(α+2β)-β,α+β=?α+4?-?4-β?等. ? ? ? ?

跟踪训练 2

已知

?3π ? ? π? 3 ? ? ? α, β ∈ 4 ,π , sin(α+β)=-5, sin β-4?= ? ? ? ?

? π? 12 ?α+ ?的值. 4? 13,求 cos?

解析:因为

?3π ? α,β∈? 4 ,π?,所以 ? ?

所以 cos(α+β)=

?3π ? α+β∈? 2 ,2π?, ? ? 4 π ?π 3π? 2 1-sin ?α+β?=5.又 β-4∈?2, 4 ?, ? ?

? π? 5 所以 cos?β-4?=-13. ? ? ? ? ? π?? π? cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ?? ? ? ? ? π? π? 4 ? 5 ? ? 3? = cos(α + β)cos ?β-4? + sin(α + β)sin ?β-4? = 5 × ?-13? + ?-5? ? ? ? ? ? ? ? ?

12 56 ×13=-65.

类型三 [例 3] 的值.

由三角函数值求角 5 10 π 已知 cosα= 5 ,cos(α+β)=- 10 ,且 0<β<α<2,求 β

π 【解析】 因为 0<β<α<2,所以 0<α+β<π, 5 10 2 5 由 cosα= 5 ,cos(α+β)=- 10 ,得 sinα= 5 , 3 10 sin(α+β)= 10 , 所以 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 10 5 3 10 2 5 2 π =- 10 × 5 + 10 × 5 = 2 .所以 β=4.

方法归纳 (1)要求角需先求这个角的三角函数值, 然后根据范围得出角的 值. (2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时,要根据 角的范围确定其符号.

跟踪训练 3 求 α-β 的值.

3 4 已知 sinα+sinβ=5,cosα+cosβ=5,0<α<β<π,
2

解析:因为(sinα+sinβ)

?3?2 ?4?2 2 =?5? ,(cosα+cosβ) =?5? , ? ? ? ?

以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1, 1 所以 cos(α-β)=-2. 所以 0<α<β<π,-π<α-β<0, 2π 所以 α-β=- 3 .

|素养提升| 对公式 C(α-β)的三点说明 (1)公式的结构特点:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是 含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正,符号相反”记忆 公式. (2)公式的适用条件:公式中的 α,β 不仅可以是任意具体的角, ?α+β α-β? α+β 也可以是一个“团体”, 如 cos? - 2 ?中的“ 2 ”相当于公 2 ? ? α-β 式中的角 α,“ 2 ”相当于公式中的角 β.

(3)公式的“活”用: 公式的运用要“活”, 体现在顺用、 逆用、 变用.而变用又涉及两个方面: ①公式本身的变用,如 cos(α-β)-cosαcosβ=sinαsinβ. ②角的变用,也称为角的变换,如 cosα=cos[(α+β)-β]等.

|巩固提升| 1 . (2016· 南昌校级二模 ) 已知
? π? cos?x-3?等于( ? ? ? π? cos ?x-6? =- ? ?

3 3 , 则 cosx +

) 2 3 B.± 3 C.-1 D.± 1

2 3 A.- 3

? π? 3 ? ? 解析:因为 cos x-6 =- 3 , ? ? ? π? 1 ? ? 所以 cosx+cos x-3 =cosx+2cosx+ ? ? ? 3 ? 3 3 1 =2cosx+ 2 sinx= 3? cosx+ sinx? 2 ? 2 ? ? π? = 3cos?x-6?=-1.故选 C. ? ?

3 2 sinx

答案:C

2. 已知△ABC 的三个内角分别为 A, B, C, 若 a=(cosA, sinA), b=(cosB,sinB)且 a· b=1,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析: 因为 a· b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1, 且 A, B, C 是三角形的内角,所以 A=B,即△ABC 一定是等腰三角形.故 选 B. 答案:B

内部文件,请勿外传

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3 . 化 简 cos(α - 55° )· cos(α + 5° ) + sin(α - 55° )· sin(α + 5° )= ________. 1 解析:原式=cos[(α-55° )-(α+5° )]=cos(-60° )=2. 1 答案:2

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