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福建省宁德市2015-2016学年高二下学期期末考试数学文试题Word版含答案

宁德市 2015-2016 学年度第二学期高二期末质量检测
数学(文科)试题
本卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书 写作答,在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一个选项符合题目要求.
? ? ? ? 1.已知集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x ? Z x ? 2 ,则 A ? B 中的元素个数为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2.已知命题 p : ?x ? ?1, x2 ? 1,则命题 ?p 是

()

A. ?x ? ?1, x2 ? 1

B. ?x ? ?1, x2 ? 1

C. ?x ? ?1, x2 ? 1

D. ?x ? ?1, x2 ? 1

3.为了研究高中学生对某项体育活动的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运

用 2×2 列联表进行独立性检验,经计算得 K 2 ? 6.84 ,则有(

)以上的把握认为“喜

欢体育活动与性别有关系”.

P(K 2 ? k0 ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

A.0.1%

B.1%

C.99%

D.99.9%

4.已知 i 是虚数单位,执行下图所示的程序框图,输出的 S 值为

开始

s ?1

k ?1

S ? S ?ik 是

k ? k ?1

k ?13?

结束 输出S

A.1? i

B.1? i

C. 0

D.1

()

5.曲线 f (x) ? 1nx 在 x ? e 处的切线方程为 x

A. y ? 1 e

B. y ? e

C. y ? x

()
1 D. y ? x ? e ? :
e

6.假设某人的手机在一天内收到 1 条、2 条、3 条垃圾短信的概率分别为 0.5、0.3、0.2,

则该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信的概率为

()

A.0.1

B.0.16

C.0.2

D. 0.5

7.已知命题 p :定义在 R 上不恒为常数的函数 y ? f (x) ,满足 f (x) ? 1 ,则函数 f (x ? 3)

y ? f (x) 的周期为 6; 命题 q :函数 f (x) ? ?2x ?1是增函数.下列说法正确的是

A. p ? q 为假

B. p ? q 为真

C. (?p) ? q 为真

()
D. p ? (?q) 为真

8.函数

f

(x)

?

x3 2|x| ?1

的图象大致为

y

y

y

()
y

ox

ox

o

x

o

xy

A

B

C

D

9.已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,给出四个结论:

①函数 f (x) 一定有两个极值点.
②若 x ? x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 ?? ?, x0 ?上单调递减.
③ f (x) 的图象是中心对称图形.

④若 f '(x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 是 f (x) 的极值点.则结论正确的有(

)个.

A.1

B.2

C.3

D.4

10.已知函数 f (x) ? lg(1? 2x ) +1,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值是 1? x

()

A. ? 2

B. 0

C.1

D. 2

11.已知 f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?(x) 为 f (x) 的导函数,且满足 f (x) ? ?xf ?(x) ,则不

等式 f ( x ? 1) ? ( x ?1) f (x ?1) 的解集是

()

A. (0, 4)

B. (1, 4)

C. (1, ??)

D. (4, ??)

12.已知函数

f

(x)

?

???x2 ? 3x, x

? ??

x2

?

3x,???x

? ?

0 0



若关于 x 的不等式[ f (x)]2

? af (x) ? 0

恰有 1 个整数解,则实数 a 的最大值是

()

A.9

B.10

C. 11

D.12

第 II 卷(非选择题 共 90 分)

注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知复数 z 满足 z(1? i) ? 1 ( i 为虚数单位),则 z ?

.

14.已知定义在

R 上的函数

f

(x)

?

?? x ?1, ??2x ? a,

x x

? ?

1,若存在 1

a

?

0且

f

(1? a)

?

f

(1? a)



则a ?

.

15.函数 y ? 1 的图象的对称中心为 (0,0) ;函数 y ? 1 ? 1 的图象的对称中心为 ( 1 ,0) ;

x

x x ?1

2

函数 y ? 1 ? 1 ? 1 的图象的对称中心为 (1,0) ; ?????? ; x x ?1 x ? 2

由此推测函数 y ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 的图象的对称中心为

.

x x ?1 x ? 2

x?n

16.已知点 M 在曲线 y ? ln(x ?1) 上,点 N 在曲线 y ? x ? 2 (x ?1) 上,点 P 在直线 y ? x 上, x ?1

则 | PM | ? | PN | 的最小值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
已知集合 A ? {m | 方程 x2 ? mx ?1 ? 0 有两个不相等的实根} ,
? ? 集合 B ? x |log2 x ? a .
(Ⅰ)求集合 A . (Ⅱ)若 x ? B 是 x ? A的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? 2ax2 ? 3ax ,在 x ?1 时取得极值.

(Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x) ? k ? 0 在[0, 4] 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 为了美化景区环境,景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理.为了更好地 实行措施特向游客征求意见,随机抽取了 200 人进行了调查,得到如下数据:

罚款金额 x (单位:元)

0

10

20

50

100

会继续乱扔垃圾的人数 y

20

15

10

5

0

(Ⅰ)画出散点图,判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关,并求回归直线方程 y? ? b?x ? a? ,其中 b? ? ?0.18 , a? ? y ? b?x .
(Ⅱ)由(Ⅰ)分析,要使乱扔垃圾者的人数不超过 5 %,罚款金额至少是多少元?

20.(本小题满分12分)
已知函数 f ? x? ? ax +?k ?1? a?x ( a ? 1)是定义域为 R 的偶函数.
(Ⅰ)求 k 的值.
(Ⅱ)若 f ?1? ? 5 ,且 g ? x? ? a2x ? a?2x ? 2m? f ? x? 的最小值为 ?3 ,求 m 的值.
2
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ln x ? mx2 (m ? R) . (Ⅰ)当 m ? 2 时, 求函数 f (x) 的单调区间.
? ? (Ⅱ)当 m ? 0 时,是否存在实数 x1, x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,使得当 x ? x1, x2 时,函数
f (x) 的值域是 ??ax12 ?1, ax22 ?1?? (a ? R) ?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存
在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲
如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点. (Ⅰ)求 BD 长;
(Ⅱ)当 CE ? OD 时,求证:AO=AD.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知在极坐标系中, A(4,0), B(2 3, ? ) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin? .
6 (Ⅰ)求直线 AB 和圆 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求 ?ABP面积的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知 f (x) ? x ? 1 ? x ? 3 ,记 f (x) ? 2 的解集为 M .

2

2

(Ⅰ)求集合 M . (Ⅱ)若 a ? M ,试比较 a 2 ? a ? 1与 1 的大小.
a

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数学(文科)参考答案及评分标准

说明: 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,给出一种或几种解法供参考。如果考生
的解法与给出的解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则。 2.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误,但整体解决方案可行且后续步骤没有出
现推理或计算错误,则错误部分依细则扣分,并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的 给分,但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.解答题只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 1 - 1 i 22

14. ?1

15. ( n , 0) 2

16. 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17.(满分 12 分)本题主要考查简易逻辑、不等式解法等基础知识。考查运算求解能力、

推理论证能力以及化归与转化的思想.

解:(Ⅰ)由方程 x2 ? mx ?1 ? 0 有两个不相等的实根

?? ? m2 ? 4 ? 0

..

?m ? ?2或m ? 2

...............................................3 分

? A ? ?m m ? ?2或m ? 2?

......................................... 6 分

(Ⅱ) B ? {x | log2 x ? a} ? {x | x ? 2a}

........................................ 8 分

由 x ? B 是 x ? A的充分不必要条件,得 2a ? 2 ,

................. 10 分

解得 a ? 1. 所以实数 a 的取值范围为[1,??)

. .............................. 12 分

18.(满分 12 分)本题主要考查函数、导数等基本知识。考查运算求解能力及化归思想、

函数方程思想、数形结合思想。

解:(Ⅰ)由题意的得 f ?(x) ? 3x2 ? 4ax ? 3a x ? 1是函数的极值点
? f ?(1) ? 0 即 3 ? 4a ? 3a ? 0 解得 a=3

............................... 1 分 ....................... 3 分

经检验 a=3 符合题意 ? a=3
注:本小题没有检验扣 1 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) ? x3 ? 6x2 ? 9x

………………………5 分 ………………………6 分

?x ??0 , 4?, f (x) ? k ? 0 恒成立,即 k ? f (x)max

…………………8 分

由(Ⅰ)可知 f (x) 在?0,1? 单调递增,在?1,3? 单调递减, ?3, 4? 单调递增

? fmax ? f (1) ? f (4)=4

…………………10 分

?k ? 4

…………………12 分

19. (满分 12 分)本题主要考查函数、导数等基本知识。考查运算求解能力及化归思想、

函数方程思想、数形结合思想。 解:(Ⅰ)散点图:

y

25 20?

15 ?

10

?

5

0

20

? 40 60

由散点图可判断它们之间负相关

80

? 100

120 x

……2 分

…………………………3 分

由表中数据条件可得 x ? 36, y ? 10,则 a? ? 10 ? (?0.18) ? 36 ? 16.48 …………7 分

故回归直线方程为 y? ? ?0.18x ? 16.48,

………………………………8



(Ⅱ)由 ?0.18x ?16.48 ? 200?5% ,可得 x ? 36,

…………… …11 分

所以,要使乱扔垃圾者不超过 5% ,处罚金额至少是 36 元

.

.............12 分

20.(满分 12 分)本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识,考查运算求解能力、

推理论证能力,抽象概括能力,考查化归的思想.

解:(Ⅰ)由题意, ?x ? R, f ??x? ? f (x) ,

………………………………1 分

即 a?x +?k ?1? ax ? ax +?k ?1? a?x , ………………………………………………2 分

化简得: ?k ? 2(? ax ? a?x)? 0

………………………………4 分

因为 x 为任意实数,所以 k=2 (用特殊值法要检验,否则扣一分)………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? x? ? ax +a?x ,因为 f ?1? ? 5 ,所以 a+ 1 ? 5 ,

2

a2

解得 a ? 2 或 a ? 1(舍), 2

.........................6 分

故 f ? x? ? 2x +2?x , g ? x? ? 22x ? 2?2x ? 2m(? 2x +2?x),

令 t ? 2x ? 2?x ? 2 ,则 22x ? 2?2x =t2 ? 2 ,

………………8 分

令 h(t) ? t2 ? 2mt ? 2=(t - m)2 ? m2 ? 2 , t ??2, ??? ,又因为 hmin ? ?3 ①当 m ? 2 时, h?t ? 在?2, ??? 上是增函数,则 h?2? ? -3 ,即 4 ? 4m ? 2 ? ?3,

解得 m ? 5 , 4

………………………………9 分

②当 m ? 2 时, h?t ? 在?2, m? 上是减函数,在?m, ??? 上是增函数,

则 h?m? ? ?3, 即 ?m2 ? 2 ? ?3 ,解得 m ? ?1(舍去)

………………11 分

综上: m ? 5 4

……………………………………………12 分

21.(满分 12 分)本题主要考查函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能

力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,培养创新意识。

解:(Ⅰ)当 m ? 2 时,函数 f (x) ? ln x ? 2x2 ,定义域为 (0, ??) .

? f '(x) ? 1? 4x2 ,由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? 1 ,( x ? ? 1 舍去)

x

2

2

列表:

……2 分

x

?? 0, 1 ?? ? 2?

1 2

?? 1 ,?? ?? ?2 ?

f '(x) f (x)

+ 递增

0 极大值

递减

? f (x) 的递增区间为 ?? 0, 1 ?? ,递减区间为 ?? 1 ,?? ?? .

? 2?

?2 ?

………………5 分

? ? (Ⅱ)假设存在实数 x1, x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,使得当 x ? x1, x2 时,函数 f (x) 的

值域 ??ax12 ?1, ax22 ?1?? ,由于 ax12 ?1 ? ax2 2 ?1(0 ? x1 ? x2 ) ,所以 a ? 0 ……6 分

?当 m ? 0 时, f (x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,

? f (x1) ? ax12 ?1, f (x2 ) ? ax2 2 ?1 设 g(x) ? f (x) ? (ax2 ?1) ? ln x ? (m ? a)x2 ?1 ,

则 y ? g(x) 必须有两个不同零点 x1, x2 ;

………………………………7 分

? g'(x) ? 1 ? 2(m ? a)x (x ? 0) x

当 m ? a ? 0 时, g'(x) ? 0 , g (x) 单调递增,没有两个不同零点,不成立; ……8 分

当 m ? a ? 0 即 a ? ?m时,由 g'(x) ? 0 ? x ?

1

,列表:

2(m ? a)

x
g ' ( x) g(x)

(0,

1)

2(m ? a)

+ 递增

1 2(m ? a)
0 极大值

( 1 ,??) 2(m ? a)
递减

g(x) 的递增区间为 (0,

1 ) ,递减区间为 (

1 ,??) .

2(m ? a)

2(m ? a)

? g (x) 的最大值 g(

1 ) = ln[

1 ]? 1

2(m ? a)

2(m ? a) 2

……………………10 分

要使 y ? g(x) 有两个不同零点 x1, x2 ;

则 g (x) 的最大值 g(

1 ) ? 0 ,解得 ? m ? a ? e ? m

2(m ? a)

2

…………11 分

又 x ? ??或x ? 0时, g(x) ? ??

所以存在实数 a ,取值范围 ? m ? a ? e ? m 。 2

… …………………12 分

22.(满分 10 分)本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法.

解:(Ⅰ) OC ? OD ? ?O C D ? ?O D C? ?O C A ? ?O D B

?BOD ? ?A,??OBD ?AOC ? B D ? O D, OC AC

OC ? OD ? 6, AC ? 4 ,?BD ? 9 .

……………………5 分

(Ⅱ)证明: OC ? OE,CE ? OD . ??COD ? ?BOD ? ?A.

??AOD ? 1800 ? ?A ? ?ODC ? 1800 ? ?COD ? ?ODC ? ?ADO

? AD ? AO

……………………10 分

23.(满分 10 分)本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等.

解:(Ⅰ)由 ? ? 2sin? ,可得: ? 2 ? 2? sin? ,所以 x2 ? y2 ? 2 y

圆的直角坐标方程为: x2 ? y2 ? 2 y ? 0 (或 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ) …………3 分

在直角坐标系中 A(4, 0), B(3, 3)

直线 AB 的方程为: 3x ? y ? 4 3 ? 0

…………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆心 C(0,1) , r ?1, AB ? (4 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? 2

1? 4 圆心到直线 AB 的距离 d ?

3

?4

3 ?1,

4

2

………7 分

所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 d ? r ? 4 3 ?1 ?1 ? 4 3 ?1

2

2

故 ?ABP面积的最大值为 S ? 1 ? 2 ? 4 3+1 ? 4 3+1

2

2

2

……………………10 分

24.(满分 10 分)本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考 查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.

??2 ?

?

2x, x

?

1 2

解:(Ⅰ)

f (x) ?

x?1 2

?

x?

3 2

?

??1, ?

1 2

?

x?

3 2

???2x

?

2, x

?

3 2

由 f (x) ? 2 ,得:

①当 x ? 1 时, 2 ? 2x ? 2 ,解得 0 ? x ? 1

2

2

②当 1 ? x ? 3 时,1 ? 2 恒成立

2

2

③当 x ? 3 时, 2x ? 2 ? 2 ,解得 3 ? x? 2

2

2

综上: 0 ? x ? 2

故 M ? ?x 0 ? x ? 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 0 ? a ? 2

因为 a2 ? a ? 1 ? 1 ? a3 ? a2 ? a ?1 ? (a ?1)(a2 ? 1)

a

a

a

当 0 ? a ? 1时, (a ?1)(a2 ? 1) ? 0 ,所以 a2 ? a ? 1 ? 1

a

a

当 a=1时, (a ?1)(a2 ? 1) =0 ,所以 a2 ? a ?1= 1

a

a

当1 ? a ? 2 时, (a ?1)(a2 ? 1) ? 0 ,所以 a2 ? a ? 1 ? 1

a

a

………1 分
………………4 分 ………………5 分 ………………6 分
………………9 分

综上所述:当 0 ? a ? 1时, a2 ? a ? 1 ? 1 a
当 a=1时, a2 ? a ?1= 1 a
当1 ? a ? 2 时, a2 ? a ? 1 ? 1 a

……………………10 分


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