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江苏省扬州中学2014-2015年度第一学期质量检测高三数学试卷(理)

江苏省扬州中学 2014-2015 年度第一学期质量检测高三数学试卷(理)

江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期质量检测

高 三 数 学 [理]

2014.12

一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分

1.已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ?_________.

2.函数 f (x) ? 2 cos(?2x ? ? ) 的最小正周期为_________. 4
3.复数 z ? 1? i ,且 1 ? ai (a ? R) 是纯虚数,则实数 a 的值为_________. z

4.已知双曲线 x2 ? y 2 ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 1 x, 则 m 的值为_______.

m3

2

5.在 ?ABC中, A ? 45 0 , C ? 105 0 , BC ? 2, 则 AC =________.

6.“ M ? N ”是“ log 2 M ? log 2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”
“充要”或“既不充分也不必要”).
7.若 S n 为等差数列{an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______.
8.若正四棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm3 , 则它的侧面积为_______. ?y ?3 ? 0
9.在平面直角坐标系 xoy 中,记不等式组 ??2x ? y ? 7 ? 0 表示的平面区域为 D. 若对数函数 ??x ? 2 y ? 6 ? 0
y ? log a x(a ? 1) 的图像与 D 有公共点,则 a 的取值范围是__________. 10.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x ? 3) ? f (x),当 x ? (?2,0) 时, f (x) ? 2x ,
则 f (2015) ? f (2014) ? f (2013) ? _________.

11.在边长为 1 的正 ?ABC中,向量 BD ? xBA, CE ? yCA, x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1,

则 CD ? BE 的最大值为________. 12.若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 8 引一条切线,切点为 Q.若存在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______.

13.已知数列{an } ,{bn }中,a1

?

a,

{bn

}

是公比为

2 3

的等比数列.记 bn

?

an ? 2 (n ? N * ), 若不 an ?1

等式 an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

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14.已知 a,b ? R,b ? 0 ,曲线 y ? x3 ? ax2 ? bx 和直线 y ? ax ? b 有交点
Q ?m, n? ?m, n ? Z ? ,则 a, b 满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)
二. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? m? n, 其中向量 m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x), n ? (cos?x ? sin?x,2sin?x), ? ? 0, 若 f (x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于 ?. (1)求? 的取值范围; (2)在 ?ABC 中,a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,a ? 3, 当? 最大时,f (A) ? 1, 求 ?ABC
的面积最大值.

16.(本小题满分 14 分)
C 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E, F 在圆 O 上,且 AB// EF, 矩形

ABCD 所 在 的 平 面 与 圆 O 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , 且 AB ? 2, AD ? EF ? 1.

D

M

B E

O

(1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF; (2)求证: AF ? 面 CBF .

F A

17.(本小题满分 14 分)

如图①,有一个长方形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 20 cm 的正方形,高为 30 cm ,内有

20 cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度? (图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上

(图①,②均为容器的纵截面).

(1)当? ? 300 时,通过计算说明此溶液是否会溢出;

(2)现需要倒出不少于 3000 cm3 的溶液,当? 等于

600 时,能实现要求吗?通过计算说明理由.

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18.(本小题满分 16 分)

如图所示,已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

? b ? 0? 的左、

右焦点分别为 F1 ??1,0?, F2 ?1,0? , P 为椭圆上一点,

Q 为上顶点, F1M ? 2MP , PO ? F2M ? 0 .

(1) 当椭圆离心率 e ? 1 时,若直线过点(0, ? 3 )且与椭圆交于 A, B (不同于Q )两

2

7

点,求 ?AQB; (2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分)
设函数 f (x) ? 1? a x2 ? ax ? ln x(a ? R). 2
(1)当 a ?1时,求函数 f (x) 的极值;

(2)当 a ?1时,讨论函数 f (x) 的单调性.

(3)若对任意

a

?

(3,

4)

及任意

x1

,

x2

?

[1,

2]

,恒有

(a

2? 2

1)

m

?

ln

2

?

f (x1) ? f (x2 )

成立,

求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)
已知数集 A ? ?a1, a2, an??1? a1 ? a2 ? an, n ? 2? 具有性质 P ;对任意的
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i,

j ?1? i

?

j

? n? , aiaj



aj ai

两数中至少有一个属于

A.

(1)分别判断数集?1,3, 4? 与?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由;

(2)证明:

a1

?

1 ,且

a1 a1?1

? a2 ? ? a2?1 ?

? an ? an?1

?

an ;

(3)证明:当

n

?

5 时,

a1,

a2

,

a3 ,

a4

,

a5

成等比数列. .k.s.5.

命题、校对、审核:王朝和、徐小美
数 学Ⅱ (附加题)

1.已知矩阵 M

?

?2 ??1

1? a??

的一个特征值是

3,求直线

x

?

2y

?

3

?

0



M

作用下的直线方程.

2.在平面直角坐标系

xoy

中,曲线

C

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

cos? sin ?

?

(?是参数). 1

若以

O

为极点,

x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极
坐标方程.

高三___________ 姓名_____________ 学号 封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

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3.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别在线段 PA 和 BD 上,

BN ? 1 BD.

P

3

(1)若 PM ? 1 PA ,求证: MN ? AD ; 3
(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为 ? ,求线段 MN 的长 4
度.
A



D

C

·N

B (第 3 题图)

4.已知

(1

?

1 2

x)n

展开式的各项依次记为

a1 (x),

a2

( x),...,

an

(x),

an?1

(x).

设函数

F (x) ? a1 (x) ? 2a2 (x) ? 3a3 (x) ? ... ? nan (x) ? (n ? 1)an?1 (x).

(1) 若 a1 (x), a2 (x),..., a3 (x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值;

(2) 求证: ?x1, x2 ?[0,2], 恒有| F (x1 ) ? F (x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1.

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命题、校对、审核:王朝和、徐小美

高三(理)数学质量检测参考答案

(2014.12)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分

1. R

2. ?

3. 1

4. 12

5. 1

7. ? 4 2

8. 4 22 9. a ? (1, 3 2]

10. 0

6.必要不充分 11. 88

12. 圆,【解析】设 M (m, n), P(x, x ? t),若恒有 PM ? PQ, 则有

(x ? m)2 ? (x ? t ? n)2 ? x2 ? (x ? t ? 2)2 ? 8, 即有

(2m ? 2n ? 4)x ? (m2 ? n2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0,?x ? R 恒成立,



?2m

? ?m

2

? ?

2n n2

? ?

4? 2nt

0 ?

4t

?

4

?

, 消去 0

m, 得

n2

?

(t

?

2)n

?

(2t

?

4)

?

0.

∴ ? ? (t ? 2)2 ? 4(2t ? 4) ? 0 ,∴ t ? (??,?2] ?[6,??) .

13.【解析】∵ bn

?

an an

? ?

2 1

(n

?

N

*

),



a

n

?

bn bn

? ?

2 1

.



an

?1

? an

?

bn?1 ? 2 bn?1 ? 1

?

bn bn

?2 ?1

1

?

1? bn ?1

1 bn?1 ? 1

?

bn?1 ? bn (1 ? bn?1 )(1 ? bn )

?

(1 ?

? 3 bn

2 3

bn

)(1

?

bn

)

?

0, 解得 bn

?

3 2

或0

?

bn

? 1. 若

bn

?

3 2

,则

b1

(

2 3

)

n?1

?

3 2

对一切正整数 n

成立,显然不可能;

若0

?

bn

? 1, 则 0 ?

b1

(

2 3

)

n?1

? 1对一切正整数 n 成立,只要 0

? b1

? 1 即可,即

0

?

a1 a1

?2 ?1

? 1, ,解得 a1

?

a

?

2.

14. 2a ? b ? 8 ? 0 导数
三. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分

15.【解析】(1)由题意知 f (x) ? m? n ? cos2 ?x ? sin2 ?x ? 3 sin 2?x

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= cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2sin(2?x ? ? ). T ? 1 ? 2? ? ? ? ? ,? ? 0, 6 2 2 2? 2?

解得 0 ? ? ? 1 . 2

(2)由(1)知 ?max

?

1 2

,

f

( A)

?

2 sin( A

?

? 6

)

?

1, 即 sin(A

?

? 6

)

?

1 2

.

又∵ 0 ? A ? ? , ∴ ? ? A ? ? ? 7? , ∴ A ? ? ? 5? , 得 A ? 2? .

6

66

66

3

由余弦定理得 a2 ? 3 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 1 ? bc, 即 bc ? 1. 2

∴ S ?ABC

?

1 bc sin 2

A

?

1 ?1? 2

3? 2

3. 4

16.【证明】(1)设 DF 的中点为 N , 连接 MN, 则 MN ∥ 1 CD, MN = 1 CD, 又∵ AO ∥

2

2

1 CD, AO = 1 CD, ∴ MN ∥ AO , MN = AO ,∴ MNAO 为平行四边形,∴ OM ∥ AN.

2

2

又∵ AN ? 面 DAF, OM ? 面 DAF, ∴ OM ∥面 DAF.

(2)∵面 ABCD ?面 ABEF, CB ? AB, CB ? 面 ABCD,面 ABCD? 面 ABEF ? AB, ∴ CB ? 面 ABEF.∵ AF ? 面 ABEF,∴ AF ? CB.又∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF.又∵ CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF.∴ AF ? 面 CBF.
17.【解析】

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18.解:(1) c ? 1, e ? c ? 1 , 得 a ? 2,?b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a2

所以椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ? 3 ,代入椭圆

43

7

? ? 方 程 , 得

3+4k 2 x2 ? 8 3 kx ? 576 ? 0

7

49

.设

A? x1, y1 ?, B? x2 , y2 ?

,则

? ? ? ? x1 ? x

?2

7

8 3k 3 ? 4k2

,x x

?1

49

?576 23 ? 4k

2

.

? ? ? ? ? ? 因为Q 0,

3 ,?QA ? QB ?

x1, y1 ?

3 ? x2 , y2 ?

3

?

? ???

x1 ,

kx1

?

83 7

? ???

? ? ???

x2 , kx2

?

83 7

? ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? k2

x1 x2

?

83 7

k

? x1

?

x2

?

?

192 49

?

1? k2

?576 49 3 ? 4k 2

? 8 3 k 8 3k 7 7 3 ? 4k2

? 192 49

? ? ? ?576 ? 576k 2 ?192k 2 ? 576 ? 768k 2 ? 0 ,所以 ?AQB ? ? .

49 3 ? 4k 2

2

? ? (2)因为 PO ? 1 2

PF1 ? PF2

, F2M

?

PM

?

PF2

?

1 3 PF1

? PF2

,

? ? 因为

PO ?

F2M

?

0 ,所以

1 2

PF1 ? PF2

?

? ??

1 3

PF1

?

PF2

? ??

?

0

,化简得

2

2

2

2

PF1 ? 2PF1·PF2 - 3PF2 ? 0 ,即 PF1 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1PF2 ? 3 PF2 ? 0 ,

2
在 ?F1PF2 中,由余弦定理,有 PF1 ?

2
PF2 ? 2 PF1

PF2

cos ?F1PF2

? 4c2 ,

2
所以 4 PF2

? 4c2 , PF2

? c,

又因为 a ? c ?

PF2

? a ? c,?a ? 2c ,

即e ? c ? 1, a2

0

?

e

?

1?

e

?

? ??

1 2

,1???

.

19.解析:(1)函数的定义域为 (0, ??) .当 a ?1时, f (x) ? x ? ln x, f ' (x) ? 1? 1 ? x ?1, 当 xx
0 ? x ?1 时, f ' (x) ? 0; f (x) 单调递减;当 x ?1 时, f ' (x) ? 0. f (x) 单调递增

? f (x)极小值 =f (1) ? 1 ,无极大值.

(2) f ' (x) ? (1? a)x ? a ? 1

? (1? a)x2 ? ax ?1

(1? a)(x ? 1 )(x ?1)

?

a ?1

x

x

x



1

? 1,即 a

? 2 时,

f

' ( x)

?

(1? x)2 ?

?

0,

f (x) 在定义域上是减函数;

a ?1

x

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当 0 ? 1 ? 1 , 即 a ? 2 时 , 令 f ' (x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? 1; 令 f ' (x) ? 0, 得

a ?1

a ?1

1 ? x ? 1. a ?1

当 1 ? 1 , 即 1? a ? 2 时 , 令 f ' (x )? 0 得, 0 ? x ?1 或 x ? 1 ; 令 f ' (x) ? 0, 得

a ?1

a ?1

1? x ? 1 . a ?1

综上,当 a ? 2 时, f (x) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2 时, f (x) 在 (0, 1 ) 和 (1, ??) 单 a ?1

调递减,在 ( 1 ,1) 上单调递增;当1? a ? 2 时, f (x) 在 (0,1) 和 ( 1 , ??) 单调递减,在

a ?1

a ?1

(1, 1 ) 上单调递增; a ?1
(3)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f (x) 在[1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值.

?

f (x1) ?

f (x2 )

?

f (1) ?

f (2) ?

a ? 3 ? ln 2 22

?

(a2 ? 1) m?ln

2?

a ? 3 ?ln

2,而 a ? 0

2

22

经整理得 m ? a ? 3 ,由 3 ? a ? 4 得 0 ? a ? 3 ? 1 ,所以 m ? 1 .

a2 ?1

a2 ?1 15

15

20.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.
(1)由于 3? 4 与 4 均不属于数集?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P.
3
由于1? 2,1?3,1? 6, 2?3, 6 , 6 ,1, 2 , 3 , 6 都属于数集?1, 2,3,6? ,
2 31236
∴该数集具有性质 P.

? ? (2)∵ A ? a1, a2,

an

具有性质

P,∴

an an



an an

中至少有一个属于 A,

由于1 ? a1 ? a2 ?

?

an

,∴ anan

?

an

,故 anan

?

A .从而1

?

an an

?

A

,∴ a1

?1.

∵1 ? a1 ? a2 ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 akan ? A?k ? 2,3, , n? .

由 A 具有性质 P 可知 an ? A?k ? 1, 2, 3, , n? .又∵ an ? an ? ? an ? an ,

ak

an an?1

a2 a1

∴ an an

? 1, an an?1

? a2 ,

an a2

?

an?1,

an a1

? an ,

从而 an ? an ? an an?1

?

an a2

?

an a1

? a1 ? a2

?

?

an?1

?

an

,∴

a1 a1?1

? ?

a2 ? a2?1 ?

? an ? an?1

?

an .

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(3)由(Ⅱ)知,当 n ? 5时,有 a5 a4

?

a2

,

a5 a3

? a3 ,即 a5

? a2a4

? a32 ,

∵1 ? a1 ? a2 ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,

由 A 具有性质 P 可知 a4 a3

? A .由 a2a4

?

a32

,得

a3 a2

?

a4 a3

? A ,且1 ?

a3 a2

?

a2 ,

∴ a4 a3

?

a3 a2

?

a2

,∴

a5 a4

?

a4 a3

?

a3 a2

?

a2 a1

? a2 ,

即 a1, a2 , a3, a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列.

数 学Ⅱ (附加题)

1.【解析】∵矩阵 M

?

?2 ??1

1? a??

的一个特征值是

3,设

f

(?)

?

??2 ?1

?1 ??a

?

(?

? 2)(?

? a) ?1 ?

0, 则 (3 ? 2)(3 ? a) ?1 ?

0, 解得 a

?

2, ∴ M

?

?2 ??1

1? 2?? .

设直线 x ? 2y ? 3 ? 0 上任一点 (x, y) 在 M 作用下对应的点为 (x', y'), 则有

?2 ??1

1? ? x ? 2?? ?? y??

?

?x'?

? ?

y'??,

整理得

?2x ? y ??x ? 2y

? ?

x' y'

,则

???x ?

? ??

y

? ?

2 3 2 3

x'? 1 3
y'? 1 3

y' x'

,代入

x

?

2y

?

3

?

0

,整理得

4x'?5y'?9 ? 0 .∴所求直线方程为 4x ? 5y ? 9 ? 0.

2.【解析】由

?x

? ?

y

? cos? 消去 ?, 得 ? sin? ?1

x2

? (y

? 1)2

? 1. 曲线 C

是以点 (0,1)

为圆心,1

为半

径的圆,∴在极坐标系中,曲线 C 是以点 (1, ? ) 为圆心,1 为半径的圆,∴曲线 C 的极坐 2

标方程是 ? ? 2sin?.

3.【解析】连接 AC, BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴

建立空间直角坐标系.因为 PA ? AB ? 2 ,则 A(1, 0, 0) ,B(0,1, 0) ,D(0, ?1, 0) ,P(0, 0,1) .

( 1 ) 由 BN ? 1 BD , 得 N (0, 1 , 0) , 由 PM ? 1 PA , 得 M (1 , 0, 2) , 所 以

3

3

3

33

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MN ? (? 1 , 1 , ? 2) , AD ? (?1, ?1, 0) .因为 MN ? AD ? 0 .所以 MN ? AD . 33 3
(2)因为 M 在 PA 上,可设 PM ? ? PA ,得 M (?, 0,1? ?) .所以 BM ? (?, ?1,1? ? ),

BD ? (0, ?2, 0) .设平面 MBD 的法向量 n ? (x, y, z) ,



??n ? ??n

? ?

BD BM

?0 ?0



??2y ? ???x ? y

0 ?

(1

?

?)z

?

0

其中一组解为

x

?

?

?1,

y

?

0



z

?

?

,所以可取

n ? (? ?1, 0,? ).因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0, 0,1) ,

所 以 c o s? ? n ? O P , 即 2 ?

?

, 解 得 ? ? 1 , 从 而 M (1 , 0, 1) ,

4 n OP

2 (? ?1)2 ? ? 2

2

22

N (0, 1 , 0) ,所以 MN ? 22 .

3

6

4.【解析】(1)由题意知

ak

(x)

?

Cnk

?1

(

1 2

x)k?1, k

?

1,2,3...,n

? 1.



a1

(

x),

a

2

(

x),

a3

(

x)

的系数依次为

C

0 n

? 1,

Cn1

?

1 2

?

n 2

,

Cn2

?(1)2 2

?

n(n ?1) , 8

∴ 2 ? n ? 1 ? n(n ?1) , 解得 n ? 8.

2

8

(2) F (x) ? a1 (x) ? 2a2 (x) ? 3a3 (x) ? ... ? nan (x) ? (n ? 1)an?1 (x)

= Cn0

?

2Cn1

(

1 2

x)

?

3Cn2

(1 2

x) 2

?

....?

nCnn?1

(

1 2

x) n?1

?

(n

? 1)Cnn

(1 2

x) n .



x

?

2,

F (2)

?

C

0 n

?

2C

1 n

?

3C

2 n

?

....

?

nCnn?1

?

(n

?

1)C

n n

.

令 x ? 0, F (0) ? 1

设 Sn

? Cn0

?

2C

1 n

? 3Cn2

? .... ? nCnn?1

?

(n

?

1)C

n n

.

则 Sn

?

(n

?

1)C

n n

?

nC

n?1 n

?

....

?

3C

2 n

?

2C

1 n

?

C

0 n

.







C

k n

?

C

n?k n

,

将以上两式相加得

2Sn

?

(n

?

2)(C

0 n

? Cn1

?

C

2 n

....

?

C

n n

?1

?

C

n n

).



Sn

? (n ? 2)2n?1.

又当 x ?[0,2] 时, F'(x) ? 0 恒成立,从而 F(x) 是[0,2]上的单调增函数,

∴ ?x1, x2 ?[0,2], | F (x1 ) ? F (x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2n?1 (n ? 2) ?1.

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