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2013年北京市丰台区高三二模理科数学试卷及答案

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 复数 i (3 ? 4i) 的虚部为 (A)3 (B) 3i (C)4 (D) 4i 2. 设向量 a=(x,1), b=(4,x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是 (A)2 3. ( x ? (A)6 (B)-2 (C) ?2 (D)0 1 4 ) 展开式中的常数项是 x (B)4 (C)-4 (D)-6 4. 已知数列{an}, 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3 x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3 ? 12 对称的是 (C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 3 ?0 ? x ? 1, 1 6. 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的 0 ? y ? 1 4 ? 取值范围是 (A) (??, 2) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??) 7. 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五 位数的个数是 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72 ? ? 8. 已知偶函数 f(x)(x∈R) ,当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ? [2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x) ( a ? R ). 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离 相等. 其中正确命题的序号是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 第二部分(非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 圆 ? ? 2cos? 的半径是________。 共 110 分) 10.已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的一组数据如下: (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) , ? ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是 其回归方程为 y 。 11. 如图,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4, 则 CD 的长为______。 12. 若 双 曲 线 C: x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的 离 心 率 为 a2 3 2 ,则抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点到 C 的渐近线距离是______。 13. 曲线 f ( x) ? x ? 1 1 在 x ? 处的切线方程是______,在 x=x0 处 x 2 。 的切线与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为 2 2 14. 在圆 x ? y ? 25 上有一点 P(4,3),点 E,F 是 y 轴上两点,且满足 PE ? PF ,直线 PE, PF 与圆交于 C,D,则直线 CD 的斜率是________。 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S. 16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染 某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48 根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气 质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 a 5 b 2 30 频率 7 15 x 1 6 y 1 15 1 17. (本小题 13 分) 如图(1), 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4, 点 D 在线段 AC 上, DE ? AB ). 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 长. A E P B E D C 图(1) 图(2) D B C 18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? (Ⅰ)当 a ? ? 1 2 ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 时,求函数

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