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腾冲市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

腾冲市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点 P 0 ? x0 , y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过任意两个不同点 P 1 ? x1 , y1 ? 、 P 2 ? x2 , y2 ? 的直线都可以用方程 ? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示

姓名__________

分数__________

x y ? ? 1 表示 a b D.经过定点 A ? 0, b ? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程 2. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是 ( )

A.

B.

C.

D.

3. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , A(?1, 0) ,点 P 是抛物线上的动点,则当 面积为( A. ) B. 2 C. 2 2 D. 4

| PF | 的值最小时,?PAF 的 | PA |

2 2

【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质,考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 4. 已知命题 p:“?∈[1,e],a>lnx”,命题 q:“?x∈R,x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(1,4] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(4,+∞)

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5. 设集合 A={1,2,3}, B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为(

)。

A3 B4 C5 D6
6.将 y=cos (2x+φ ) 的图象沿 x 轴向右平移 A. B.﹣ C.﹣ D. ) 个单位后, 得到一个奇函数的图象, 则 φ 的一个可能值为 ( )

7. 半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. πR3 B. πR3 C. πR3 D. πR3

8. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,6? , B ? ?1,3,5,7? ,则 A A. ?2,4,6? A.4 殖成( A.512 个 B.1 或 3 ) B.256 个 C.128 个 ) C.y= D.y= B. ?1,3,5? ) C.3 D.1 C. ?2,4,5? 9. 函数 y ? (a 2 ? 4a ? 4)a x 是指数函数,则的值是(

(? U B) ? (

) D. ?2,5?

10.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 2 个小时,这种细菌由 1 个可繁 D.64 个

11.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( 12.已知 )
2

B.y=

?2 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?| log 2 x | ( x ? 0)
B.4 个

,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是(



A .3 个

C.5 个

D.6 个

二、填空题
13.若圆 ____. 14.已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2,
2

与双曲线 C:

的渐近线相切,则

_____;双曲线 C 的渐近线方程是

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为_________.
15.设 x ? R ,记不超过 x 的最大整数为 [ x ] ,令 ?x? ? x ? [ x] .现有下列四个命题: ①对任意的 x ,都有 x ? 1 ? [ x] ? x 恒成立;

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②若 x ? (1,3) ,则方程 sin

2

?x? ? cos2[ x] ? 1 的实数解为 6 ? ? ;
3 1 x ? 1的 3

③若 an ? ? ? ( n ? N ? ),则数列 ?an ? 的前 3n 项之和为 n 2 ? n ; 2 2 ?3?
2 2 ④当 0 ? x ? 100 时,函数 f ( x) ? sin [ x] ? sin ?x? ?1 的零点个数为 m ,函数 g ( x ) ? [ x ] ? ? x? ?

?n?

零点个数为 n ,则 m ? n ? 100 . 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的编号) 【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳,同时又是新定义题,应熟悉理解新定义,将问 题转化为已知去解决,属于中档题。 16.设函数 f(x)= ,则 f(f(﹣2))的值为 . , f [ g ( x)] 的值域为 .

? x2 ? 1, x ? 0 x 17.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? 2 ? 1,则 f ( g (2)) ? x ? 1, x ? 0 ?
18 . 已 知

【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

a 、 b 、 c 分 别 是 ?ABC 三 内 角 A、B、C 的 对 应 的 三 边 , 若 c sin A ? ?a cos C , 则
co Bs? ( 3? ) 的取值范围是 ___________. 4

3 sin A?

【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质,意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、 转化思想.

三、解答题
1 9 . (本小题满分 12 分) 成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从 某班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试 成绩(百分制)的茎叶图如图所示. (1)根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩; (2) 若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学, 求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率. (注: 成绩大于等于75分为优良)

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20.已知 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)若 x∈[1,3]时,f(x)>1﹣4c2 恒成立,求实数 c 的取值范围.

21.设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c a ? 2b sin A . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求.

22.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得

的图象上.

对所有 n∈N 都成立的最大正整数 m.

*

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23.求点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标.

24.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 为 BB1 中点. (Ⅰ)证明:AC⊥D1E; (Ⅱ)求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E?若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.

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腾冲市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】

考 点:直线方程的形式. 【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式,对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线;直线的 斜截式方程只能表示斜率存在的直线; 直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线; 直线的截距式方程 不能表示与坐标轴平行和过原点的直线,此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 2. 【答案】 A 【解析】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A.

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 3. 【答案】B 【解析】设 P(

| PF | y2 , y) ,则 ? 4 | PA |

y2 ?1 4 y2 ( ? 1) 2 ? y 2 4

.又设

y2 1 ,所以 ? 1 ? t ,则 y 2 ? 4t ? 4 , t… 4

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| PF | t 1 2 ,当且仅当 t ? 2 ,即 y ? ?2 时,等号成立,此时点 P(1, ?2) , ? ? ? | PA | 2 2 t 2 ? 4t ? 4 2 ?( ? 1) ? 2 t 1 1 ?PAF 的面积为 | AF | ? | y |? ? 2 ? 2 ? 2 ,故选B. 2 2
4. 【答案】A 【解析】解:若命题 p:“?∈[1,e],a>lnx,为真命题, 则 a>lne=1, 若命题 q:“?x∈R,x ﹣4x+a=0”为真命题, 则△=16﹣4a≥0,解得 a≤4, 若命题“p∧q”为真命题, 则 p,q 都是真命题, 则 ,
2

解得:1<a≤4. 故实数 a 的取值范围为(1,4]. 故选:A. 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题 p,q 的等价条件是解决本题的 关键. 5. 【答案】B 【解析】由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素,故选 B 6. 【答案】D 【解析】解:将 y=cos(2x+φ )的图象沿 x 轴向右平移 )的图象, ∴φ ﹣ 故选:D. 7. 【答案】A 【解析】解:2πr=πR,所以 r= ,则 h= 故选 A 8. 【答案】A ,所以 V= =kπ + ,即 φ =kπ + ,k∈Z,则 φ 的一个可能值为 , 个单位后,得到一个奇函数 y=cos=cos(2x+φ ﹣

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考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目. 9. 【答案】C 【解析】

考点:指数函数的概念. 10.【答案】D 【解析】解:经过 2 个小时,总共分裂了 故选:D. 【点评】本题考查数列的应用,考查了等比数列的通项公式,是基础的计算题. 11.【答案】B 【解析】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致, 否则不是同一函数. 12.【答案】C =6 次,

6 则经过 2 小时,这种细菌能由 1 个繁殖到 2 =64 个.

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【解析】由 f [ f ( x)] ? 2 ,设 f(A)=2,则 f(x)=A,则 log2 x ? 2 ,则 A=4 或 A= 数型结合,当 A=

1 ,作出 f(x)的图像,由 4

1 时 3 个根,A=4 时有两个交点,所以 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是 5 个。 4

二、填空题
13.【答案】 ,

【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线 【试题解析】双曲线的渐近线方程为: 圆 的圆心为(2,0),半径为 1.

因为相切,所以 所以双曲线 C 的渐近线方程是: 故答案为: ,

14.【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】解析: 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) ,那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 , x1 ? x2 ? 8 ,∴线段 MN 的
2 2 中点坐标为 (4, 2) .由 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,而

y1 ? y2 ? 1 ,∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x1 ? x2
15.【答案】①③ 【解析】对于①,由高斯函数的定义,显然 x ? 1 ? [ x] ? x ,①是真命题;对于②,由 sin
2

y1 ? y2 ? 2 ,∴ 2

?x? ? cos2[ x] ? 1 得,

sin2 ?x? ? 1 ? cos2[ x] ,即 sin2 ?x? ? sin2[ x] . 当 1 ? x ? 2 时, 0 ? x ? 1 ? 1, 0 ? sin( x ? 1) ? sin1 ,此 时
方程无解; 当 2 ? x ? 3 时,0 ? x ? 2 ? 1 ,0 ? sin( x ? 2) ? sin1, sin2 ?x? ? sin2[ x] 化为 sin 2 ( x ? 1) ? sin 2 1 , 此时 sin
2

?x? ? sin2[ x] 化为 sin( x ? 2) ? sin 2 ,所以 x ? 2 ? 2 或 x ? 2 ? 2 ? ? ,即 x ? 4 或 x ? ? ,所以原方
?n?

程无解.故②是假命题;对于③,∵ an ? ? ? ( n ? N ? ),∴ a1 ? ? ? ? 0 , a2 ? ? ? ? 0 , a3 ? ? ? ? 1 , ?3? ?3? ?3? ?3?

?1 ?

?2?

?3?

1 ?4? ? 3n ? 1? ? 3n ? , ? [ n ? ] ? n ? 1 a4 ? ? ? ? 1 ,…, a3n?1 ? ? a ? ? [n] ? n ,所以数列 ?an ? 的前 3n 项之和 3 n ? 3 ? 3 ? ? ?3? ?3? ? 3 2 1 n ? n , 故 ③ 是 真 命 题 ; 对 于 ④ , 由 为 3[1 ? 2 ? ? (n ? 1)] ? n ? 2 2

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16.【答案】 ﹣4 . 【解析】解:∵函数 f(x)=
2 ∴f(﹣2)=4﹣ =



, )= =﹣4.

f(f(﹣2))=f(

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故答案为:﹣4. 17.【答案】 2 , [?1, ??) . 【 解 析 】

18.【答案】 (1, 【

6? 2 ) 2
解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取,古典概型的概率计算,是概率统计的基本题型,解答的 关键是应用相关数据进行准确计算,是中档题.

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20.【答案】 【解析】解:(1)由题意:f′(x)=3x2+6ax+3b 直线 6x+2y+5=0 的斜率为﹣3; 由已知 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

所以由 f′(x)=3x2﹣6x>0 得心 x<0 或 x>2; 所以当 x∈(0,2)时,函数单调递减; 当 x∈(﹣∞,0),(2,+∞)时,函数单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)知,函数在 x∈(1,2)时单调递减,在 x∈(2,3)时单调递增; 所以函数在区间[1,3]有最小值 f(2)=c﹣4 要使 x∈[1,3],f(x)>1﹣4c2 恒成立 只需 1﹣4c2<c﹣4 恒成立,所以 c< 故 c 的取值范围是{c|c 或 c>1.

或 c>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函数在闭区间上的最 值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于中档题.

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21.【答案】(1) B ? 【解析】1111]

?
6

;(2) b ?

7.

(2)根据余弦定理,得

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 ,
所以 b ?

7.

考点:正弦定理与余弦定理. 22.【答案】
2 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n ﹣ n,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得: ﹣ =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ ,

* ∴{Tn}在 n∈N 上是增函数,∴(Tn)min=T1= ,

要使 Tn>

对所有 n∈N 都成立,只需

*

< ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14. 23.【答案】

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【解析】解:设点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标为(m,n), 则线段 A′A 的中点 B( , ), ﹣ ﹣1=0 ①. × =﹣1 ②,

由题意得 B 在直线 l:2x﹣y﹣1=0 上,故 2×

再由线段 A′A 和直线 l 垂直,斜率之积等于﹣1 得 解①②做成的方程组可得: m=﹣ ,n= , , ).

故点 A′的坐标为(﹣

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法,注意利用垂直及中点在轴上两个条件.

24.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:连接 BD ∵ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体,∴D1D⊥平面 ABCD, 又 AC?平面 ABCD,∴D1D⊥AC…1 分 在长方形 ABCD 中,AB=BC,∴BD⊥AC…2 分 又 BD∩D1D=D,∴AC⊥平面 BB1D1D,…3 分 而 D1E?平面 BB1D1D,∴AC⊥D1E…4 分 (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0),D1(0,0,2),E(1,1,1),B(1,1,0), ∴ 设平面 AD1E 的法向量为 令 z=1,则 ∴ ∴DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 …9 分 …7 分 …8 分 ,则 ,即 …5 分

(Ⅲ)解:假设在棱 AD 上存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E. 设 P 的坐标为(t,0,0)(0≤t≤1),则 ∵BP∥平面 AD1E ∴ ,即 , ,…12 分 ∴2(t﹣1)+1=0,解得

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∴在棱 AD 上存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E,此时 DP 的长 .…13 分.

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