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2018版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2 空间线面关系的判定(一)

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 空间线面关系的判定(一) 3.2.2 学习目标 1.掌握空间点、 线、 面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义; 会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题. 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线 l 上一点 A 表示直线 l 方向的向量 a(即直线的________) → 在直线 l 上取AB=a,那么对于直线 l 上任意一点 P,一定存在实数 t, → 使得AP=________ 定位置 定点 点 A 和向量 a 可以确定直线的________ 可以具体表示出 l 上的任意________ 形式 作用 (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面 α 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定: 条件 形式 平面 α 内两条相交直线的方向向量 a,b 和交点 O → 对于平面 α 上任意一点 P,存在有序实数对(x,y)使得OP=xa+yb ②通过平面 α 上的一个定点 A 和法向量来确定: 平面的 法向量 确定平 面位置 直线 l⊥α,直线 l 的________________叫做平面 α 的法向量 过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定的 (3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的________向量 a, 叫做直线 l 的一个方向向量 直线 l⊥α,取直线 l 的______,n 叫做平面 α 的法向量 平面的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 μ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 l∥m?________?a=kb(k∈R) l∥α?a⊥μ?________ α∥β?μ∥v?________ 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设 v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线 l1,l2 的方向向量.若直线 l1∥l2, 则向量 v1,v2 应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与 平面平行? (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 梳理 利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运 算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论. 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.AB =AP=1,AD= 3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面 ACE 的一个法向量. 引申探究 若本例条件不变,试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量. 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为 n=(x,y,z). → → (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. → ? AB=0, ?n· (3)列方程组:由? 列出方程组. → ? AC=0 ? n· → ? AB=0, ?n· (4)解方程组:? → ? AC=0. ?n· (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取± 1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟踪训练 1 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形.平面 PAB⊥平面 ABCD, △PAB 是边长为 1 的正三角形,ABCD 是菱形.∠ABC=60° ,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点,试 建立恰当的空间直角坐标系,求平面 DEF 的一个法向量. 类型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和 平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题. 跟踪训练 2 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45° , 1 底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,PA=BC= AD=1,问在棱 PD 上是否存在 2 一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,求出 E 点的位置;若不存在,请说明理由. 1.若点 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量的坐标可以是________. 2.已知向量 n=(2,-3,1)是平面 α 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是 ________.(填序号) ①n1=(0,-3,1);②n2=(-2,0,4); ③n3=(-2,-3,1);④n4=(-2,3,-1). 3.已知向量 n=(-1,3,1)为平面 α 的法向量,点 M(0,1,1)为平面内一定点.P(x,y,z)为平面内 任一点,则 x,y,z 满足的关系式是________. 1 ? 4.若直线 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为? ?1,2,2?,则 m 为________. 5.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,平面 ACD1 的一个法向量为________. 1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量

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