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2018年高中数学 第1章 计数原理 1.4 计数应用题 苏教版选修2-3_图文

[例 1] 3 个女生和 5 个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的 排法?

[思路点拨] 本题涉及限制条件,要优先考虑有条件限制的元 素或位置,相邻问题可采用捆绑法,不相邻问题可采用插空法.
[精解详析] (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起,所以可 先把她们看成一个整体,这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素, 排成一排有 A66种不同排法.对于其中的每一种排法,3 个女生之间 又有 A33种不同的排法,因此共有 A66·A33=4 320 种不同的排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把 5 个男生排好,每两个 相邻的男生之间留出一个空,这样共有 4 个空,加上两边两个男生 外侧的两个位置,共有 6 个位置,再把 3 个女生插入这 6 个位置中, 只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不 相邻.由于 5 个男生排成一排有 A55种不同排法,对于其中任意一 种排法,从上述 6 个位置中选出 3 个来让 3 个女生插入有 A63种方 法,因此共有 A55·A36=14 400 种不同的排法.

(3)法一:(特殊位置优先法)因为两端不能排女生,所以两端只 能挑选 5 个男生中的 2 个,有 A25种不同排法,对于其中的任意一 种排法,其余六位都有 A66种排法,所以共有 A25·A66=14 400 种不同 的排法.
法二:(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A88种不同的 排法,从中扣除女生排在首位的 A13·A77种排法和女生排在末位的 A31·A77种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时 被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一 次,由于两端都是女生有 A23·A66种不同的排法,所以共有 A88-2A13·A77 +A23·A66=14 400 种不同的排法.

法三:(特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个 女生排入,有 A36种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余 5 个位置又都有 A55种不同的排法,所以共有 A36·A55=14 400 种不同的 排法.
(4)法一:因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了 男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有 A15·A77种不同的排法; 如果首位排女生,有 A13种排法,这时末位就只能排男生,这样可 有 A13·A51·A66种不同的排法.
因此共有 A15·A77+A13·A15·A66=36 000 种不同的排法.

法二:3 个女生和 5 个男生排成一排有 A88种排法,从中扣去 两端都是女生的排法有 A32·A66种,就能得到两端不都是女生的排法 种数.因此共有 A88-A23·A66=36 000 种不同的排法.
(5)(顺序固定问题)因为 8 人排队,其中两人顺序固定,共有AA2288 =20 160 种不同的排法.

[一点通] (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位 置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特 殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以用间接 法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部 不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意 要不重复,不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻 问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素 排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排 其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中.

1.(四川高考改编)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或 乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.
解析:当最左端排甲时,不同的排法共有 A55种;当最左端排 乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有 C14A44 种.故不同的排法共有 A55+C14A44=9×24=216 种. 答案:216

2.用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇 数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种.
解析:符合题意的五位数有 A22C13A33=2×3×3×2=36. 答案:36

3.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体 育六门课程,如果第一节不排体育,第六节不排数学,一共有 多少种不同的排法? 解:法一:(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类; ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有 A44种排法; ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有 A41A44种排法; ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有 A41A44种排法; ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有 A24A44种排法. 由分类加法计数原理,所求的不同排法共有 A44+2A14A44+A24A44= 504(种).

法二:(排除法)不考虑受限条件下的排法有 A66种,其中包括数学 课在第六节的排法有 A55种,体育课在第一节的排法有 A55种,但上 面两种排法中同时含有数学课在第六节,体育课在第一节的情形 有 A44种.故所求的不同排法有 A66-2A55+A44=504(种).

[例 2] 某龙舟队有 9 名队员,其中 3 人只会划左舷,4 人只会 划右舷,2 人既会划左舷又会划右舷,现要选派划左舷的 3 人,划右 舷的 3 人,共 6 人参加比赛,则不同的选派方法有多少种?
[思路点拨] 既会划左舷又会划右舷是特殊元素,可以从他们的 参与情况入手分类讨论.

[精解详析] 选派的 3 名会划左舷的选手中,没有既会划左舷 又会划右舷的选手时,
选派方法有 C33C36种选派方法; 选派的 3 名会划左舷的选手中,有一人是既会划左舷又会划右 舷的选手时, 选派方法有 C12C23C35种选派方法; 选派的 3 名会划左舷的选手中,有两人是既会划左舷又会划右 舷的选手时, 选派方法有 C13C34种选派方法. 故共有 C33C36+C12C32C35+C13C34=20+60+12=92 种选派方法.

[一点通] (1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取,后分配. (2)如果涉及的元素有限制条件,则一般以特殊元素,特殊位置 为分类标准.

4.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,
则不同的分配方案有________种.(用数字作答) 解析:分两步完成:第一步,将 4 名大学生按 2,1,1 分成三组, 其分法有C24AC2122C11种;第二步,将分好的三组分配到 3 个乡镇, 其分法有 A33种,所以满足条件的分配方案有C24AC2122C11·A33=36 种. 答案:36

5.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地 参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不 同的安排方案共有________种. 解析:先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地,再将剩下的 1 名教 师和 2 名学生安排到乙地,共有 C12C24=12 种安排方案. 答案:12

6.有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条 件下,各有多少种分法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本. (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本. 解:(1)分 3 步完成: 第 1 步,从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C49种方法; 第 2 步,从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 C35种方法; 第 3 步,把剩下的书给丙有 C22种方法. 所以,共有不同的分法为 C49·C35·C22=1 260 种.

(2)分 2 步完成: 第 1 步,按 4 本、3 本、2 本分成三组有 C94·C35·C22种方法; 第 2 步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A33种方法. 所以,共有 C94·C35·C22·A33=7 560 种.

[例 3] 从 1 到 9 的 9 个数中取 3 个偶数和 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几 个? (4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个? [思路点拨] 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问 题,其解决的思路相似,需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不 相邻问题等的处理方法.

[精解详析] (1)分步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,可 有 C34种情况;第二步,在 5 个奇数中取 4 个,可有 C45种情况;第 三步,3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A77种情况,所以符合题 意的七位数有 C34C45A77=100 800(个).
(2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 C34C45A55A33=14 400(个). (3)上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的 有 C34C54A33A44A22=5 760(个). (4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空,共有 C43C45A44A35=28 800(个).

[一点通] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则: (1)按事情发生的过程进行分步; (2)按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考虑: ①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元 素; ②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位 置; ③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求 的排列或组合数.

7.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则 不同的方法共有________种. 解析:标号 1,2 的卡片放入同一封信有 C31种方法;其他四封信 放入两个信封,每个信封两个有CA2224·A22种方法,共有 C13·CA2224·A22= 18 种. 答案:18

8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲 乙两人至少有一人参加.当甲乙同时参加时,他们两人的发言不 能相邻.那么不同的发言顺序的种数为________. 解析:若甲乙同时参加,则可以先从剩余的 5 人中选出 2 人, 先排此两人,再将甲乙两人插入其中即可,则共有 C25A22A23种不 同的发言顺序;若甲乙两人只有一人参加,则共有 C12C53A44种不 同的发言顺序,综合可得不同的发言顺序有 C25A22A23+C12C35A44= 600 种.
答案:600

9.某种产品有 5 件不同的正品,4 件不同的次品,现在一件件地进 行检测,直到 4 件次品全部测出为止.若次品恰好在第 6 次检测 时被全部选出,则这样的检测方案有多少种? 解:问题相当于从 9 件产品中取出 6 件的一个排列,第 6 位为 次品,前五位有其余 3 件次品. 可分三步,先从 4 件产品中留 出 1 件次品排第 6 位,有 4 种方法,再从 5 件正品中取 2 件, 有 C25种方法,再把另 3 件次品和取出的 2 件正品排在前 5 位有 A55种方法,所以检测方案种数为 4×C52·A55=4 800.

解决排列组合问题的常用方法 (1)位置分析法:以位置为主,特殊(受限)的位置优先考虑.有 两个以上的约束条件时,往往是考虑一个条件的同时,也要兼顾 其他条件.考虑两个条件之间是否有影响. (2)元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限)元素的要求, 再处理其他元素.有两个以上的约束条件时,往往是考虑一个元 素的同时,也要兼顾其他元素.

(3)间接法:也叫排异法.直接考虑时情况较多,但其对立面 情况较少,相对来讲比直接解答简捷,可先考虑逆向思考问题, 在此方法中,对立面要“不重不漏”.
(4)插空法:先把有限制的元素排好,然后将不能相邻的元素 插入排好的元素的空中,要注意无限制元素的排列数及所形成空 的个数.此方法适用于含有“不相邻”的问题
(5)捆绑法:把要求在一起的“小集团”看作一个整体,与其 他元素进行排列,同时不要忘记“小集团”内也要排列.此法比 较适合“必须在一起”的问题.


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