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甘肃省甘谷一中2013届高三上学期第五次检测数学(理)试题

甘肃省甘谷一中 2013 届高三第五次检测数学(理)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意) 1、若集合 A ? { y | y ? 0}, A ? B ? B, 则集合 B 不可能是( ) A、 { y | y ?

x , x ? 0}

B、 { y | y ? ( ) , x ? R}
x

C、 { y | y ? lg x, x ? 0}

D、 ?

1 2

2.虚数(x-2)+yi 中 x,y 均为实数,当此虚数的模为 1 时, A.[ ?

y 的取值范围是( x



3 3 ] , 3 3

B.[-

3 3 ,0)∪(0, ] 3 3

C. [- 3, 3 ] 3. 若 log 3 a ? 0, ( ) ? 1 ,则( )
b

D.[- 3 ,0)∪(0, 3 ]

1 3

A. a ? 1, b ? 0 C. a ? 1, b ? 0

B. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 ( )

4.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是

5. 等差数列 {an }中, 若a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 则a9 ? A.14 B.15 C.16

1 a11 的值是( 3
D.17
[来源:学*科*网]



6.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于(
Z,X,X,K]



[来源:学,科,网

A. 3

B. 2 3

C. 3 3

D. 6 3

第 1 页 共 9 页

7.已知非零向量 AB 与 AC 满足( ,则△ABC 为 A.等腰非等边三角形 C.三边均不相等的三角形 8.若定义运算 f ( a *b)= ? A. (0,1 ]

AB

+

AC

) BC =0,且 ·

AB | AB |


·

AC | AC |


=-

| AB | | AC |
B.等边三角形 D.直角三角形

1 2

[来源:]

?b, (a ? b), 则函数 f (3x*3-x)的值域是 ?a, (a ? b).
C. (0.+∞)





B.[1,+∞)

D. (-∞,+∞)

9.当 x=

π 时,函数 y=f(x)=Asin(x+φ )(A>0)取得最小值,则函数 y= 4


f?

?3π ? -x?是( ? 4 ?

A.奇函数且当 x= 称 C.奇函数且当 x=

π 时取得最大值 2

B.偶函数且图象关于点(π ,0)对

π 时取得最小值 2

?π ? D. 偶函数且图象关于点? ,0?对称 ?2 ?


10. ?ABC 中,O 为边 BC 中线 AM 上的一点, AM ? 4 , AO ? (OB ? OC) 的 在 若 则 ( A.最大值为 8 B.最大值为 4 C.最小值-4 D.最小值为-8

11.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时 xf ?( x) ? f (? x)

c b 成立 (其中 f ?( x)是f ( x) 的导函数) 若 a ? 3 f ( 3) , ? f (1) , ? (log 2 ,
则 a, b, c 的大小关系是( A. c ? a ? b
?x ? 0

1 1 ) f (log 2 ) 4 4

) C. a ? b ? c D. a ? c ? b

B. c ? b ? a

12. 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分 ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

4

则 k 的值是( A.



7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知向量 a=(2cos α,2sin α),b=(2cos β,2sin β),且直线 2xcos α-2ysin α+1=0 与 圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=1 相切,则向量 a 与 b 的夹角为______. π 14. 已知向量 a=(sin x,1), b=(t, 若函数 f(x)=a· 在区间?0,2?上是增函数, x), b 则实数 t 的 ? ? 取值范围是_________.
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15. a ? 0且a ? 1 , 设 函数 解集为 .

f ( x) ? alg( x

2

?2 x?3)

有最大值, 则不等式 loga ( x2 ? 5x ? 7) ? 0 的

16.有三个平面 ? ,β ,γ ,给出下列命题: ①若 ? ,β ,γ 两两相交,则有三条交线 ③若 ? ⊥γ ,β ∩ ? =a,β ∩γ =b,则 a⊥b 其中真命题是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x?

②若 ? ⊥β , ? ⊥γ ,则β ∥γ ④若 ? ∥β ,β ∩γ = ? ,则 ? ∩γ = ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x

(1)求 f ?

?? ? ?? ? (2)写出函数在 ? , ? ? 上的单调区间和值域。 ? 的值; ?4? ?2 ?
ax 令a1 ? 1, an ?1 ? f (an ), n ? N * . a?x

18.(12分) 设a ? 0, f ( x) ?

(1)写出a2, a3, a4的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论; 19、已知△ABC 中, 3 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 3 . (I)求∠C 的大小; (Ⅱ)设角 A,B,C 的对边依次为 a, b, c ,若 c ? 2 ,且△ABC 是锐角三角形,求 a ? b
2 2

的取值范围.

20. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA ? 2 AB ? 2 AD , 1 且 PC1 ? ?CC1 (0 ? ? ? 1) . (I)求证:对任意 0 ? ? ? 1 ,总有 AP ? BD ; (II)若 ? ?

???? ?

???? ?

1 ,求二面角 P ? AB1 ? B 的余弦值; 3

(III)是否存在 ? ,使得 AP 在平面 B1 AC 上的射影平分

?B1 AC ?若存在, 求出 ? 的值, 若不存在,说明理由.
21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln(x ? 1) (Ⅰ) a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间;

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(Ⅱ)当 a ? 0 时,设 f ( x ) 的最小值为 g (a), 若g (a) ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围.

请考生在第 22、23 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系 x 轴的正半轴重合. 直

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? ? ? ? y ? ?1 ? 4 t ? ? 2 sin(? ? ) ? 5 (t 为参数) ? 4 . 线的参数方程是 ,曲线 C 的极坐标方程为
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M , N 两 点间的距离. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
[来源:]

设函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3. (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

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高三第五次月考数学(理科)参考答案和评分参考
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

18.解:

第 5 页 共 9 页

(ii)假设 n ? k 时猜想正确, 即 a k ?
a?

a (k ? 1) ? a ,……………………8分

则a k ?1

a a ?ak (k ? 1) ? a a a ? f (a k ) ? ? ? ? a a ? ak (k ? 1) ? a ? 1 [(k ? 1) ? 1] ? a a? (k ? 1) ? a

20. 解: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系,设 AB ? 1 ,则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), B1 (1,1, 2) ,

??? ? ??? ? C1 (0,1, 2), P(0,1, 2 ? 2? ) ,从而 BD ? (?1, ?1,0), AP ? (?1,1, 2 ? 2?) ,

第 6 页 共 9 页

??? ??? ? ? ? BD?AP ? 0 ,即 AP ? BD .
(II)由(I)及 ? ?

┄┄┄┄┄

(4 分)

??? ? 1 4 ???? 得, AP ? ( ?1,1, ), AB1 ? (0,1, 2) , 3 3

4 ? ?x ? 3 ? ??1 ? x ? y ? 0 ? 设平面 AB1P 的法向量为 n ? (1, x, y) ,则 ? ?? 3 3, ?x ? 2 y ? 0 ?y ? ? 2 ? ?
从而可取平面 AB1P 的法向量为 n ? (2,6, ?3) , 又取平面 ABB1 的法向量为 m ? (1,0,0) ,且设二面角 P ? AB1 ? B 为 ? , 所以
?? ? m? n 2 cos ? ? ?? ? ? 7 m ?n

?

??

┄┄┄┄┄

(8 分)

(III) 假设存在实数 ? (0 ? ? ? 1) 满足条件, 由题结合图形, 只需满足 AP 分别与 AC、 1 AB 所成的角相等,

??? ?

??? ???? ?

??? ??? ?



1 ??? ??? ? ??? ??? ,即 ? ?

AP ?AC

??? ??? ?
AP ?AB

2 4? 2 ? 8? ? 6 ? 2

AP ? AC

AP ? AB1

?

5 ? 4? 4? 2 ? 8? ? 6 ? 5



解得

??

5 ? 10 5 ? 10 所以存在满足题意得实数 , 使得 AP 在平面 B1 AC 上 ? (0,1) . 4 4
┄┄┄┄┄ (12 分)

的射影平分 ?B1 AC

f ?( x) ? a ?
21. (Ⅰ)解:

a ? 1 ax ? 1 ? ( x ? ?1) x ?1 x ?1 ,

┄┄┄┄┄1 分

当 a ? 1 时,

f / ( x) ?

x ?1 x ?1

解 f ( x) ? 0得 f ( x)的增区间为(1,??)
/

解f / ( x) ? 0得 f ( x)的减区间为(?1,1) ┄┄┄┄┄4 分
? (Ⅱ)解:若 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0 得
x? 1 1 ?1 ? x ? f ?( x) ? 0 得 a ,由 a,

1 1 ( ?1, ) ( , ??) a ,增区间为 a 所以函数 f ( x ) 的减区间为 ; 1 1 g (a) ? f ( ) ? 1 ? (a ? 1) ln( ? 1) a a ,

┄┄┄┄┄6 分

第 7 页 共 9 页

因为 a ? 0 ,所以

g (a ) ? t ?

g (a) t 1 1 1 t ? ? 0 ? ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 a a a a a a ,

令 h( x) ? x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? tx( x ? 0) ,则 h( x) ? 0 恒成立 由于 h ( x) ? ? ln(1 ? x) ? t ,

?

? 当 t ? 0 时, h ( x) ? 0 ,故函数 h( x) 在 (0, ??) 上是减函数,
所以 h( x) ? h(0) ? 0 成立; ┄┄┄┄┄┄10 分
?t

?t ? 当 t ? 0 时,若 h ( x) ? 0 则 0 ? x ? e ? 1 ,故函数 h( x) 在 (0, e ?1) 上是增函数,

即对 0 ? x ? e ? 1 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,与题意不符;
?t

综上, t ? 0 为所求.

┄┄┄┄┄12 分

第 8 页 共 9 页

1 ? ?(3 ? a) x ? 2, ( x ≥ 3 ) ? f ( x) ?| 3x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4.( x ? 1 ) ? 3 ? (Ⅱ)

?3 ? a ≥ 0, ? a ? 3 ≤ 0, 即 ?3 ≤ a ≤ 3. …………10 分 函数 f ( x ) 有最小值的充要条件为 ?

第 9 页 共 9 页


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