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【数学】江西省南昌二中2013届高三上学期第四次月考试题(文)

南昌二中 2013 届高三上学期第四次月考数学(文)试题
一、选择题(本题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )

1 ) ? z ?( z 1 3 1 3 3 3 3 1 A. ? i B. ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.已知集合 M ? {x | <1}, N ? { y | y ? x ? 1} ,则 N ? ?R M 等于( ) x A.(1,2) B. [0,2] C. ? D. [1,2] 3.若 p :| x ? 1 |? 2, q : x ? 2, 则?p是?q 成立的 ( )
1.复数 z ? 1 ? i, 则 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是 钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是 ( ) A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 5.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面积是( )m2.

2 6. 一个容量为 10 的样本数据, 组成一个公差不为 0 的等差数列 {an }, 若a3 ? 8 , a1 , a3 , a7 且
6
成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( A.13,14 B.13,12 C.12,13
2 2

A. 4 ? 2 6

B. 4 ?

C. 4 ? 2 2

D. 4 ?

) D.13,13 ).

7.双曲线

b ?1 y x 的最小值为( ? 2 ? 1(a ? 1, b ? 1) 的离心率为 2,则 2 a b 3a
2

A.

4 3 3

B.

3? 3 3

C.2

D.

1? 3 2

8.数列{an}中,a1=3,an-anan+1=1(n=1,2,…),An 表示数列{an}的前 n 项之积,则 A2005=( ) 1 2 A.- B. C. 3 D.-1 2 3 ? ? 9.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) , g( x) ? sin(2 x ? ) , 4 3 ? ,则( ) h( x) ? cos( x ? )的部分图象(如图) 6 A. a 为 f ( x), b 为 g( x) , c 为 h( x) B. a 为 h( x), b 为 f ( x), c 为 g( x)

C. a 为 g( x) , b 为 f ( x), c 为 h( x) D. a 为 h( x), b 为 g( x) , c 为 f ( x) 10. 已知 | a |? 2 | b |,| b |? 0 , 且关于 x 的函数 f ( x) ? 则 a 与 b 的夹角范围为( A. ? 0, ?

?

?

?

?

?

1 3 1 ? 2 ? ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值, 3 2

) B. (

? ?? ? 6?

?
3

,? ]

C. (

? 2?
3 , 3

]

D. (

?
6

,? ]

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.按如下程序框图运行,则输出结果为_____.

12. 已知圆 C 过点 A (1, 和 B 0) (3, , 0) 且圆心在直线 y ? x 上, 则圆 C 的标准方程为 13.设 F1、F2 分别是椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点, 25 16
.

点 M 的坐标为(6,4) ,则|PM|+|PF1|的最大值为

14.在 ?ABC 中, A ? 30?, BC ? 2 5, D 是 AB 边上的一点,CD=2, ?BCD 的面积为 4,则 AC 的长为 。 15.下列 4 个命题:

a ①已知 e是单位向量, ? e ? a ? 2e, 则 a在e 方向上的投影为
②关于 x 的不等式 a ? sin 2 x ?

1 ; 2

2 恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 2 2 ; sin 2 x ③函数 f ( x) ? a log 2 | x | ? x ? b 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ;
④将函数 y ? sin( 2 x ? 其中正确的命题序号是 三、解答题

?
3

) 图像向右平移

?
3

个单位,得到函数 y ? sin 2 x 的图像

(填出所有正确命题的序号) 。

π π 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx- )sin(ωx+ )(其中 ω 为正常数,x∈R)的 6 3 最小正周期为 π.(1)求 ω 的值; 1 BC (2)在△ ABC 中,若 A<B,且 f(A)=f(B)= ,求 的值. 2 AB

17. (本小题满分 12 分)如图,正方形 OABC 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? Z ,求事件:“ OP ? 1 ”的概率; (2)在其内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? R ,求事件“ ?POA, ?PAB, ?PBC , ?PCO 的面积均大 于

2 ”的概率. 3

18.(本小题满分 12 分)圆锥 PO 如图 1 所示,图 2 是它的正(主)视图.已知圆 O 的直径 为 AB , C 是圆周上异于 A 、 B 的一点, D 为 AC 的中点. (1) 求该圆锥的侧面积 S ; (2) 求证:平面 PAC ? 平面 POD ;
(3) 若 ?CAB ? 60 ? , 求三棱锥 A ? PBC 的体积.

19.(本小题满分 12 分) x3 2 10 已知函数 f(x)= 2图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 , a 5 3bx 函数 g(x)=f(x)- 2 +3.(1) 若函数 g(x)在 x=1 处有极值,求 g(x)的解析式; a

(2)若函数 g(x)在区间[-1,1]上为增函数,且 b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上都成立,求 实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左、 右顶点分别为 A1、A2 , 动直线 l : y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相 切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) . 1

(1)求 k 的取值范围,并求 x2 ? x1 的最小值; (2)记直线 P A1 的斜率为 k1 ,直线 P2 A2 的斜率为 k2 ,那么 k1 ? k2 是定值吗?证明你的结 1 论.

21.(本小题满分 14 分) ?? ? ?? ? 已知点集 L ? {( x, y ) | y ? m ? n} ,其中 m ? (2 x ? b,1), n ? (1, b ? 1) ,点列 Pn (a n , bn ) ( n ? N? ) 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的交点,数列 {a n } 是公差为 1 的等差数列. (1)求数列 {bn } 的通项公式;

? an , (n为奇数) (2)若 f (n) ? ? 令 S n ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ,试写出 S n 关于 n 的 ?bn .(n为偶数) 表达式; ? an , (n为奇数) (3)若 f (n) ? ? 给定奇数 m(m 为常数, m ? N? ,m ? 2 ).是否存在 k ? N? ,使 bn .(n为偶数) ? 得 f (k ? m) ? 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

高三数学(文)参考答案

17. 解: (1) P ( x, y ) 共 9 种情形: (0, 0), (0,1), (0, 2), (1, 0), (1,1), (1, 2), (2, 0), (2,1), (2, 2) 满足 OP ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 1 ,共有 6 种 因此所求概率为

6 2 ? ………6 分 9 3

1 2 2 ? 2 ? d ? ,即 d ? 2 3 3 2 ? P 到 OA 、 AB 、 BC 、 CO 的距离均大于 3 2 (2 ? 2 ? ) 2 3 ? 1 ………12 分 ? 概率为 2? 2 9
(2)设 P 到 OA 的距离为 d ,则 S ?

?

m 2 k 2 ? k 2 ? 2m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m 2 m2 ? 1 ? 2 2 ? k 2 ? 1

?

k 2 ? m2 m2 ? k 2 ? 2 ? 2 2


?1 3?2 2 ? ?(3 ? 2 2)

由 值

m2 ? k 2 ? 1



? k1 ? k2 ?



定 .


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