fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

第二节

平面向量的基本定理及坐标 表示

[主干知识梳理]

一、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于 这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ 1,λ 2, 使a= λ1e1+λ 2e2 .

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组 基底 .

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个
分解. 3.平面向量的坐标表示

互相垂直 的向量,叫做把向量正交

(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单 位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对 实数x,y,使a=x i+yj,把有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐 标,记作a= (x,y) ,其中 x 叫做a在x轴上的坐标, y 叫做a

在y轴上的坐标.

(2)设

=xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是 终点A 的坐 =(x,y),则A点坐标为 (x,y) ,反之亦成

标,即若

立.(O是坐标原点)

二、平面向量坐标运算 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=

(x1+x2,y1+y2) ,


a-b= (x1+x2,y1+y2) ,λa=(λx1,λy1) 2.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= → |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2.

(x2-x1,y2-y1)



三、平面向量共线的坐标表示

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.若 a∥b? x1y2-x2y1=0 .

[基础自测自评] → → 1.(2013· 大纲全国)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA= → b,a· b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= ( 1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5 )

D [∵a· b=0,∴a⊥b. 又∵|a|=1,|b|=2, → ∴|AB|= 5, → 1×2 2 5 → ∴|CD|= = .∴|AD|= 5 5 2 5 2 4 5 2 -( )= . 5 5
2

4 5 5 → 4→ 4 4 4 → ∴AD= AB= AB= (a-b)= a- b.] 5 5 5 5 5

2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b等于

(
A.(-2,-1) C.(3,-1) B.(2,1) D.(-3,1)

)

A [由a∥b可得2×(-2)-1×x=0, 故x=-4,所以a+b=(-2,-1).]

→ 3.(教材习题改编)已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与AB同向的 单位向量是 (
?3 4? ? A.?5,-5? ? ? ? ? 4 3? ? - , C.? ? 5 5? ? ? ? 3 4? ? - , B.? ? 5 5? ? ? ?4 3? ? D.?5,-5? ? ? ?

)

→ A [∵A(4,1),B(7,-3),∴AB=(3,-4), → ? 4? AB ?3 → ∴与AB同向的单位向量为 =?5,-5? ?.] → ? ? |AB|

→ → → 4.在平行四边形 ABCD 中,若AB=(1,3),AC=(2,5),则AD= → ________,BD=________. → → → → 解析 AD=BC=AC-AB=(2,5)-(1,3)=(1,2), → → → BD=AD-AB=(1,2)-(1,3)=(0,-1). 答案 (1,2) (0,-1)

5.梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD, M,N 分别是 CD,AB 的中点,设 → → → AB=a,AD=b.若MN=ma+nb, n 则 =________. m 1 1 1 → → → → 解析 ∵MN=MD+DA+AN=- a-b+ a= a-b, 4 2 4 1 n ∴m= ,n=-1.∴ =-4. 4 m 答案 -4

[关键要点点拨] 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基 底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一

组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是
唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完 全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也

有大小的信息.

平面向量基本定理及其应用

[典题导入] (2014· 厦门质检)如图,△ABC 中, 1 AD=2DB,AE= EC,BE 与 CD 相交于点 2 → → → P,若AP=xAB+yAC(x,y∈R),则 x+y= __________.

→ → → → → [听课记录] 由题可知AP=AD+DP=AD+λDC → → → =AD+λ(BC-BD) 2→ → → 1→ = AB+λ(AC-AB- BA) 3 3
?2 2 ? → → ? - λ =? AB + λ AC , ?3 3 ? ? ?

→ → → → → → → → 又AP=AE+EP=AE+μEB=AE+μ(CB-CE)
?→ 1→ → 2→? ? = AC+μ?AB-AC-3CA? ? 3 ? ? ? → ? ?1 1 ? → =μAB+?3-3μ?AC, ? ?

?2 ?3(1-λ)=μ, 所以可得? ?1(1-μ)=λ, ?3 1 5 → 4→ 1→ 解得 λ= ,故AP= AB+ AC,所以 x+y= . 7 7 7 7 5 答案 7

[互动探究] → 1→ → 本例条件若变为“AD=2DB,CD= CA+λCB” ,求 λ. 3 → → → 解析 由图知CD=CA+AD, → → → CD=CB+BD, ② ①

→ → 且AD+2BD=0. → → → ∴①+②×2 得 3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3

[规律方法] 用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,

再用该基底表示向量,也就是利用已知向量表示未知向量,
其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减运算和数乘运算.

[跟踪训练] 1.(2013· 广东中山一模)在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 CD → → → 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ= __________.

→ → 解析 如图,设AB=a,AD=b, → → → 则AC=AB+AD=a+b, 1 → → → AF=AB+BF=a+ b, 2 → → → 1 AE=AD+DE= a+b, 2

3→ → → 3 ∴AE+AF= (a+b)= AC, 2 2 → 2→ 2→ 即AC= AE+ AF. 3 3 2 4 ∴λ=μ= ,λ+μ= . 3 3 4 答案 3

平面向量的坐标运算

[典题导入] (1)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-2).若实数 k 与向量 c 满足 a+2b=kc,则 c 可以是 ( A.( 3,-1) C.(- 3,-1) B.(-1,- 3) D.(-1, 3) )

[听课记录] ∵a=( 3,1), b=(0,-2), ∴a+2b=( 3,-3) =- 3(-1, 3).

答案 D

→ → (2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b, → CA=c. ①求 3a+b-3c; ②求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.

[听课记录] 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). ①3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). ②∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1.

[互动探究] → → 本例中第(2)题增加条件CM=3c,ON=2b,求 M,N 的坐标及向 → 量MN的坐标.

→ → → 解析 ∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).

[规律方法]

1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合
起来,从而可使几何问题转化为数量运算. 2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意 方程(组)思想的应用. [注意] 向量的坐标与点的坐标不同:向量平移后,其起 点和终点的坐标都发生变化,但向量的坐标不变.

[跟踪训练]

→ 2.已知向量 a=(6,4),b=(0,2),OC=a+λb,O 为坐标原点,

?π ? ? 若点 C 在函数 y=sin? 则实数 λ 的值为________. x ?12 ?的图象上, ? ?

→ 解析 由题意得OC=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ), 故点 C 的坐标为(6,4+2λ), 6π 3 根据条件得 4+2λ=sin =1,解得 λ=- . 12 2 3 答案 - 2

平面向量共线的坐标表示

[典题导入] 已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实 数,(a+λb)∥c,则 λ= ( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2 )

[听课记录] 可得 a+λb=(1+λ,2), 1 由(a+λb)∥c 得(1+λ)× 4-3× 2=0,所以 λ= . 2 答案 B

[互动探究]

在本例条件下,问是否存在非零常数λ,使a+λb和a-λc平行?
若平行,是同向还是反向?

解析 ∵a+λb=(1+λ,2),a-λc=(1-3λ,2-4λ),
若(a+λb)∥(a-λc),∴(1+λ)(2-4λ)-2(1-3λ)=0. ∴λ=1.∴a+λb=(2,2)与a-λc=(-2,-2)反向. 即存在λ=1使a+λb与a-λc平行且反向.

[规律方法] a∥b 的充要条件有两种表达方式

(1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R);

(2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0.

两种充要条件的表达形式不同.第(1)种是用线性关系的形式 表示的,而且有前提条件b≠0,而第(2)种无b≠0限制.

[跟踪训练] → → 3.(1)已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ, μ∈R,那么 A,B,C 三点共线的充要条件为 ( A.λ +μ=2 C.λ μ =-1 B.λ -μ=1 D.λ μ =1 )

→ → D [∵A,B,C 三点共线,∴存在实数 t,满足AB=tAC,即 λa +b=ta+μtb,又 a,b 是不共线的向量,
? ?λ=t, ∴? 即 ? ?1=μt,

λμ=1.]

(2)(2014· 湖南长沙一模)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma m +nb)∥(a-2b),则 等于__________. n 解析 ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)

=(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).

由(ma+nb)∥(a-2b)?-(2m-n)=4(3m+2n),

整理得 14m=-7n, m 1 则 =- . n 2 答案 1 - 2

【创新探究】 平面向量基本定理的创新应用 (2014· 石家庄模拟)在△ABC 中,AC=6,BC=7,cos A

1 → → → = ,O 是△ABC 的内心,若OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1, 5 0≤y≤1,动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 ( 10 A. 6 3 10 C. 3 5 B. 6 3 20 D. 3 )

→ → → 【思路导析】 利用平面向量基本定理,由OP=xOA+yOB分析 得出动点 P 的轨迹并确定覆盖的区域,然后求出面积. → → → 【解析】 ∵OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,动点 P 的轨迹所覆盖的区域是以 OA,OB 为邻边的平行四边形,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积 S=AB×r,r 为△ABC 的内切圆的半径. 62+AB2-72 1 在△ABC 中,由余弦定理可知 cos A= = , 2×6×AB 5 ∴5AB2-12AB-65=0,∴AB=5.

1 ∴S△ABC= ×6×5×sin A=6 6,又 O 为△ABC 的内心,故 O 到 2 △ABC 各边的距离均为 r,此时△ABC 的面积可以分割为三个小 三角形的面积的和, 1 1 ∴S△ABC= (6+5+7)×r,即 (6+5+7)×r=6 6, 2 2 2 6 ∴r= , 3 2 10 所求的面积 S=AB×r=5× 6= 6. 3 3 【答案】 A

【高手支招】

利用平面向量基本定理确定动点轨迹图形或

建立系数间的等量关系,是平面向量基本定理创新命题的一
大亮点,常与面积轨迹图形的判断、最值的求法相交汇.

[体验高考] → → → 1.(2012· 广东高考)若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC= ( A.(4,6) C.(-2,-2) B.(-4,-6) D.(2,2) )

→ → → A [AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).]

2.(2013· 陕西高考)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则 实数 m 等于 ( A.- 2 C.- 2或 2 B. 2 D.0 )

C [由 a∥b 知 1×2-m2=0,即 m= 2或- 2.]

→ 3.(2013· 重庆高考)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA=(- → 3,1),OB=(-2,k),则实数 k=__________. → → 解析 ∵OA=(-3,1),OB=(-2,k), → → → ∴AB=OB-OA=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1). → → 又OA,AB为矩形相邻两边所对应的向量.

→ → ∴OA⊥AB, → → 即OA·AB=-3×1+1×(k-1) =-4+k=0, 即 k=4.
答案 4

→ 4.(2013· 山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知OA=(-1, t), → OB=(2,2).若∠ABO=90°,则实数 t 的值为__________. → → 解析 ∵OA=(-1,t),OB=(2,2), → → → ∴BA=OA-OB=(-3,t-2). → → 又∵∠ABO=90°,∴BA·OB=0, 即(-3,t-2)· (2,2)=0,-6+2t-4=0,∴t=5. 答案 5

课时作业


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图