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平泉县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平泉县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},?UA={5,7},则实数 a 的值是( A.2 B.8 C.﹣2 或 8 D.2 或 8 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 如图, 四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA=OB=2, OC=3, D 为四面体 OABC 外一点. 给 出下列命题. ①不存在点 D,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是(  )

A.①② B.②③ C.③

D.③④ 所对应的点在( )

3. 已知 i 为虚数单位,则复数

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. 已知集合 A ? ? x ? N | x ? 5? ,则下列关系式错误的是( A. 5 ? A
2 2

) C. ?1 ? A D. 0 ? A

B. 1.5 ? A

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F2 的直线交双曲线于 P, Q 两点且 2 a b 5 4 PQ ? PF1 ,若 | PQ |? ? | PF1 | , ? ? ? ,则双曲线离心率 e 的取值范围为( ). 12 3 10 37 37 10 10 ] ] , ] ,??) A. (1, B. (1, C. [ D. [ 2 5 5 2 2
5. 已知双曲线 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 6. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是( )

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A. B. C. D.   7. 如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是( )

A.2

m B.2 ) C.6

m C.4 m D.6 m

8. 定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x),x∈[﹣2,2] 的最大值等于( A.﹣1 B.1 D.12 )

  9. 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A. ex+1 B. ex﹣1 C.e﹣x+1 D.e﹣x﹣1

  10.设 m 是实数,若函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则下列关于函数 f( x)的性质叙述正确的是( ) A.只有减区间没有增区间 B.是 f(x)的增区间 C.m=±1 D.最小值为﹣3   11.设 0<a<b 且 a+b=1,则下列四数中最大的是( A.a2+b2 B.2ab C.a D. )



12.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正 方形所组成,该八边形的面积为(

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A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1

B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2sin ? ? cos ? ? 1

二、填空题
13.命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是      . 14.如果定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x1≠x2 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2(fx1),则称函数 为“H 函数”,给出下列函数 ①f(x)=3x+1 ③f(x)=x2+1 ②f(x)=( )x+1 ④f(x)=

其中是“H 函数”的有  (填序号)   15.i 是虚数单位,若复数(1﹣2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为      . 16.在复平面内,复数 与 对应的点关于虚轴对称,且 ,则 ____. 17.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值等于_________. 18.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{an }(即项数是无穷项),我们定义 开始 的前 n 项的和) 为它的各项的和, 记为 S, 即 S= n ? 1 Sn=  
S ? 5, T ? 1

Sn(其中 Sn 是数列{an} 的分数形式是      .

, 则循环小数 0.

三、解答题

S? T? 点 P 在以 F 、 F 为焦点的椭圆 C 上, 19. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F 且 PF1 、 F1 F2 、 2 (1,0) , 1 2



PF2 构成等差数列.
(I)求椭圆 C 的方程;


S ? S ?4

输出 n

2 2 2 结束 2T (II)设经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、T 两点,若 Q? PQ = F1 P + F1Q ,求直线 m 的方程.

n ? n ?1

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20.(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? AD ? a , E 是棱 CD 上的一点, P 是棱 AA1 上的一点. (1)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ; (2)求证: B1E ? AD1 ; (3)若 E 是棱 CD 的中点, P 是棱 AA1 的中点,求证: DP // 平面 B1 AE .

21.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8, 求抛物线的方程.

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22.我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分 100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000(单位 :元)十个档次,某社区随机抽取了 50 名村民,按缴费在 100:500 元,600:1000 元,以及年龄在 20:39 岁,40:59 岁之间进行了统计,相关数据如下: 20﹣39 40﹣59 总计 100﹣500 元 10 15 25 600﹣1000 6 19 25 总计 16 34 50

500 元之间的村民中随机抽取 5 人, 39 岁之间应抽取几人? (1) 用分层抽样的方法在缴费 100: 则年龄在 20: (2)在缴费 100:500 元之间抽取的 5 人中,随机选取 2 人进行到户走访,求这 2 人的年龄都在 40:59 岁之 间的概率.  

23.在直角坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为(2,0),半径为 轴建立极坐标系.,直线 l 的参数方程为: (1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程; (2)点 P 的极坐标为(1, (t 为参数).

,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

),直线 l 与圆 C 相交于 A,B,求|PA|+|PB|的值.

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24.已知椭圆 线被椭圆 G 截得的线段长为 (I)求椭圆 G 的方程; .

的左焦点为 F,离心率为

,过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直

(II)设动点 P 在椭圆 G 上(P 不是顶点),若直线 FP 的斜率大于 的取值范围.  

,求直线 OP(O 是坐标原点)的斜率

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平泉县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 3∈A,|a﹣5|=3, ∴a=2,或 a=8, 故选 D.   2. 【答案】D 【解析】 【分析】对于①可构造四棱锥 CABD 与四面体 OABC 一样进行判定;对于②,使 AB=AD=BD,此时存在点 D,使四面体 ABCD 是正三棱锥;对于③取 CD=AB,AD=BD,此时 CD 垂直面 ABD,即存在点 D,使 CD 与 AB 垂直并且相等,对于④先找到四面体 OABC 的内接球的球心 P,使半径为 r,只需 PD=r,可判定④的 真假. 【解答】解:∵四面体 OABC 的三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,OA=OB=2,OC=3, ∴AC=BC= ,AB= 当四棱锥 CABD 与四面体 OABC 一样时,即取 CD=3,AD=BD=2 此时点 D,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形,故①不正确 使 AB=AD=BD,此时存在点 D,使四面体 ABCD 是正三棱锥,故②不正确; 取 CD=AB,AD=BD,此时 CD 垂直面 ABD,即存在点 D,使 CD 与 AB 垂直并且相等,故③正确; 先找到四面体 OABC 的内接球的球心 P,使半径为 r,只需 PD=r 即可 ∴存在无数个点 D,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上,故④正确 故选 D 3. 【答案】A 【解析】解: 故选:A.   4. 【答案】A 【解析】 试题分析 : 因为 A ? ? x ? N | x ? 5? , 而 1.5 ? N , ?1 ? N ,? .5 ? A, ?1 ? A , 即 B、 C 正确, 又因为 0 ? N 且 0 ? 5 , 所以 0 ? A ,即 D 正确,故选 A. 1 考点:集合与元素的关系. 5. 【答案】C 【解析】如图,由双曲线的定义知, | PF1 | ? | PF2 |? 2a , | QF1 | ? | QF2 |? 2a ,两式相加得 = =1+i,其对应的点为(1,1),

| PF1 | ? | QF1 | ? | PQ |? 4a ,又 | PQ |? ? | PF1 | , PQ ? PF1 , ?| QF1 |? 1 ? ?2 | PF1 | ,

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?| PF1 | ? | QF1 | ? | PQ |? (1 ? 1 ? ?2 ? ? ) | PF1 |? 4a ,
?| PF2 |? 2a (1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 1 ? 1 ? ?2 ? ?
②,在

| PF1 |?

4a 1 ? 1 ? ?2 ? ? ①,
2 2

?PF1 F2

中, | PF1 | ? | PF2 | ?| F1 F2 | ,将①②代入得
2

(

4a 1 ? 1 ? ?2 ? ?
2

)2 ? (

2a (1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 1 ? 1 ? ?2 ? ?
2

) 2 ? 4c 2

4
2 2 ,化简得: (1 ? 1 ? ? ? ? )

?

(1 ? ? ? 1 ? ?2 ) 2 (1 ? 1 ? ? ? ? )
2

? e2

5 4 , ] ,令 1 ? 1 ? ? ? ? ? t ,易知 y ? 1 ? 1 ? ? ? ? 在 12 3 上单调递减,故
2

[

37 10 1 1 1 37 5 4 (2 ? t ) 2 t 2 ? 4t ? 8 4 5 2 , ] ? 8( ? ) 2 ? ? [ , ] e ? [ ? t ?[ , ] ?e ? 2 ? 2 2 5 2 ,故答案 选 t 4 2 25 2 , 3 3 , t t t
C. 6. 【答案】 A 【解析】解:考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时,注水量 V 与水深 h 的函数关系. 如图所示,此时注水量 V 与容器容积关系是:V<水瓶的容积的一半. 对照选项知,只有 A 符合此要求. 故选 A.

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想.属于基础题.   7. 【答案】A 【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x2=﹣2py(p>0), 将点(4,﹣4)代入,可得 p=2, 所以抛物线方程为 x2=﹣4y, 设 C(x,y)(y>﹣6),则

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由 A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得 kCA=

,kCB=



∴tan∠BCA=

=

=



令 t=y+6(t>0),则 tan∠BCA= ∴t=2

=



时,位置 C 对隧道底 AB 的张角最大,

故选:A.

【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及 tan∠BCA,正确运用基本不 等式是关键.   8. 【答案】C 【解析】解:由题意知 当﹣2≤x≤1 时,f(x)=x﹣2,当 1<x≤2 时,f(x)=x3﹣2, 又∵f(x)=x﹣2,f(x)=x3﹣2 在定义域上都为增函数,∴f(x)的最大值为 f(2)=23﹣2=6. 故选 C.   9. 【答案】D 【解析】解:函数 y=ex 的图象关于 y 轴对称的图象的函数解析式为 y=e﹣x, 而函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 的图象关于 y 轴对称, 所以函数 f(x)的解析式为 y=e﹣(x+1)=e﹣x﹣1.即 f(x)=e﹣x﹣1. 故选 D.   10.【答案】B 【解析】解:若 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=|m|﹣1=0,则 m=1 或 m=﹣1, 当 m=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0,此时为偶函数,不满足条件,

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当 m=﹣1 时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,此时为奇函数,满足条件, 作出函数 f(x)的图象如图: 则函数在上为增函数,最小值为﹣2, 故正确的是 B, 故选:B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键.注意使用数形结合进 行求解.   11.【答案】A 【解析】解:∵0<a<b 且 a+b=1 ∴ ∴2b>1 ∴2ab﹣a=a(2b﹣1)>0,即 2ab>a 又 a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2>0 ∴a2+b2>2ab ∴最大的一个数为 a2+b2 故选 A   12.【答案】A 【解析】 试题分析:利用余弦定理求出正方形面积 S1 ? 1 ? 1 - 2 cos ? ? 2 ? 2 cos ? ;利用三角形知识得出四个等
2 2

?

?

腰三角形面积 S 2 ? 4 ? 正确答案为 A.

1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? ;故八边形面积 S ? S1 ? S 2 ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 .故本题 2

考点:余弦定理和三角形面积的求解.

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【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目,掌握正余弦定理是解题的关键 ; 首先根据三角

1 1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? sin ? 求出个三角形的面积 4 S ? 2 sin ? ;接下来利用余弦定理可求出正 2 2 2 2 2 2 方形的边长的平方 1 ? 1 - 2 cos ? ,进而得到正方形的面积 S1 ? 1 ? 1 - 2 cos ? ? 2 ? 2 cos ? ,最后得到
形面积公式 S ?

?

?

?

?

答案.

二、填空题
13.【答案】   .

【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题所以,命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是: . 故答案为:   14.【答案】 ①④  【解析】解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]≥0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的不减函数(即无递减区间); ①f(x)在 R 递增,符合题意; ②f(x)在 R 递减,不合题意; ③f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,不合题意; ④f(x)在 R 递增,符合题意; 故答案为:①④.   15.【答案】 ﹣2 . 【解析】解:由(1﹣2i)(a+i)=(a+2)+(1﹣2a)i 为纯虚数, 得 故答案为:﹣2.   16.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 ,解得:a=﹣2. .

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17.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9, T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后,

S ? 13, T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17, T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 , S ? 21, T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后, S ? 25, T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6
程序结束. 18.【答案】   .

【解析】解:0.

=

+

+…+=

=



故答案为:



【点评】本题考查数列的极限,考查学生的计算能力,比较基础.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识,意在考 查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力.

x2 y2 3 3 3 ? ? 1 得 y ? ? ,即 P(1 , ) , Q(1 , ? ) 4 3 2 2 2 25 2 2 2 2 直接计算知 PQ = 9 , | F1 P | 2 ? | F1Q | 2 ? , PQ ? F1 P + F1Q , x ? 1 不符合题意 ; 2
(II)①若 m 为直线 x ? 1 ,代入
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②若直线 m 的斜率为 k ,直线 m 的方程为 y = k ( x - 1)

? x2 y2 ? 1 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ? ? 由? 4 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 8k 2 4k 2 ? 12 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ???? ???? 2 2 2 F1Q =0 由 PQ = F1 P + F1Q 得, F1 P×
即 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) ? 0

(1 ? k 2 ) x1 x 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) ? (1 ? k 2 ) ? 0
4k 2 ? 12 8k 2 2 ? 1 ) ? ( 1 ? k ) ? ? 0 ,即 7 k 2 ? 9 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 7 3 7 解得 k ? ? ,直线 m 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 7 7
代入得 (1 ? k 2 )( 20.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及 逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.

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21.【答案】

【解析】解:由题意可知过焦点的直线方程为 y=x﹣ ,联立 得 ,



设 A(x1,y1),B(x2,y2)

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根据抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=4p=8, 解得 p=2. ∴抛物线的方程为 y2=4x. 【点评】本题给出直线与抛物线相交,在已知被截得弦长的情况下求焦参数 p 的值.着重考查了抛物线的标准 方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题.   22.【答案】 【解析】解:(1)设抽取 x 人,则 即年龄在 20:39 岁之间应抽取 2 人. (2)设在缴费 100:500 元之间抽取的 5 人中,年龄在 20:39 岁年龄的两人为 A,B,在 40:59 岁之间为 a, b,c, 随机选取 2 人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), (a,b),(a,c),(b,c),共 10 种, 年龄都在 40:59 岁之间的有(a,b),(a,c),(b,c),共 3 种, 则对应的概率 P= . ,解得 x=2,

【点评】本题主要考查分层抽样的应用,以及古典概型的计算,利用列举法是解决本题的关键.   23.【答案】 【解析】解:(1)圆 C 的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=2, 代入圆 C 得:(ρcosθ﹣2)2+ρ2sin2θ=2 化简得圆 C 的极坐标方程:ρ2﹣4ρcosθ+2=0… 由 (2)由 得 x+y=1,∴l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1… 得点 P 的直角坐标为 P(0,1),

∴直线 l 的参数的标准方程可写成



代入圆 C 得: 化简得: ∴ , ,∴t1<0,t2<0…

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∴   24.【答案】 【解析】解:(I)∵椭圆



的左焦点为 F,离心率为 .



过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直线被椭圆 G 截得的线段长为 ∴点 在椭圆 G 上,又离心率为 ,



,解得

∴椭圆 G 的方程为

. .∴点 F 的坐标为(﹣1,0).

(II)由(I)可知,椭圆 G 的方程为

设点 P 的坐标为(x0,y0)(x0≠﹣1,x0≠0),直线 FP 的斜率为 k, 则直线 FP 的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去 y0,并整理得 .

又由已知,得

,解得

或﹣1<x0<0.

设直线 OP 的斜率为 m,则直线 OP 的方程为 y=mx. 由方程组 消去 y0,并整理得 .

由﹣1<x0<0,得 m2> , ∵x0<0,y0>0,∴m<0,∴m∈(﹣∞,﹣ 由﹣ <x0<﹣1,得 , <m<﹣ . ),

∵x0<0,y0>0,得 m<0,∴﹣

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∴直线 OP(O 是坐标原点)的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣

)∪(﹣

,﹣

).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 椭圆与直线的位置关系的合理运用.  

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