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空间几何体的直观图



知识探究(一):水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置,从适当的 角度观察,给人以平行四边形的感觉, 如图.比较两图,其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化?哪些没 有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下,比较两图,其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化? 哪些没有发生变化?

思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图,关键是确定直观图中各顶点的位 置,我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作?
y D C D′ A y′ C′

B x

A′

B′

x′

空间几何体的直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时,一个空间图形在 投射面上的平行投影(平面图形)可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形,叫做空间图形的直观图。

先观察一个正方形,如何把它画成水平
放置的直观图呢?

y
Y’

x o
O’

X’

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边 形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x 轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴交于点 O.画对应的x’,y’轴,两轴相交于点O’,使 ∠x’O’y’=45°.
y

F A

M

E D
O'

y'

O

x

x

'

B

N C

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取
1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF.

y

F

M

E D
C

y?

A
B

O

x

A?
B?

F ? M ? E?
N ? C?

O?

D?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D
C

y?

A
B

O

x

A?
B?

F ? M ? E?
N ? C?

O?

D?

x?

N

y
F
M

E
F?

A
B

O

D
C

x

A?
B?

E?

D?
C?

N

用斜二测画法做直观图的步骤: 教材P16:

y

C

例2.画水平放置的正三角形的直 观图。
画法按如下步骤完成: 第一步 在已知的正三角形ABC中,
B

A
O

x
y`

C`
450

取AB所在的直线为x轴, 取对称轴 CO为y轴. 画对应的 x` 轴、y` 轴, 使 使?x`O`y`? 450.
第二步 在x`轴上取O`A`? OA, O`B`? OB, O`C `? 1 / 2OC. 第三步 连结A`C `, B`C `, 所得 的 三 角 形A`B`C `就是正三角形ABC的直观图.

A`

O`

B` x`

C` A` B`

图1 ? 1 ? 29

常用的一些空间图形的平面画法

例3 作一个底面边长为5cm,高为11.5cm 的正五棱锥直观图。
y y1 D ·1 N1 · C1 o1 x1 · M1 B1

D
E N o A M B C E1

x
A1

z S S

y1
E1

D ·1
o1
B1

C1

E1 A1

D ·1

x1

o1
B1

C1

A1

练习题:

1. 一个四边形的直观图是边长为a的正方 形,则原图形的面积是

2 2a

2



例4、如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观 图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长 均为1,则这个平面图形的面积是 2 ? 2 .
y y`

A
D`

D

A`

B`

E`

C`

x`

B

C

x

2、如图为水平放置的正方形ABCO,它在直角 坐标系xOy中点B的坐标为(2,2),则在用斜二测 画法画出的正方形的直观图中,顶点B`到x`轴的 2 距离为 2 .

3、右图是△ABC利用斜二测画法得到的水 平放置的直观图△A`B`C`,其中A`B`∥y`轴, B`C`∥x`轴,若△A`B`C`的面积是3,则△ABC 的面积是 . 6 2


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