fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

第1讲 平面向量的概念及其线性运算


第 1 讲平面向量的概念及其线性运算
一、选择题 1.如图中的小网格由等大的小正方形拼成,则向量 a-b 等于( A.-e1-3e2 B.e1+3e2[来源:学科网 ZXXK] C.-e1+3e2 D.e1-3e2 解析由图可知 a=2.5e1+1.5e2,b=1.5e1+4.5e2,a-b=e1-3e 2,故选 D.[来 答案 D → =a, → =b, → =c, → =d, 2. 已知OA OB OC OD 且四边形 ABCD 为平行四边形, 则( A.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 B.a-b-c+d=0 D.a+b+c+d=0 ) )

→ =DC →, → +CD → =0, → -OA → +OD → -OC → =0, → 解析依题意得, AB 故AB 即OB 即有OA → +OC → -OD → =0,则 a-b+c-d=0,选 A. -OB 答案 A → =λa+b,AC → =a+μb(λ、μ∈R),那么 A、B、 3.已知 a,b 是不共线的向量,AB C 三点共线的充要条件是( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 → =λa+b, 解析由AB → =a+μb(λ、μ∈R)及 A、B、C 三点共线得: AC → =tAC → ,所以 λa+b=t(a+μb)=ta+tμb, AB ?λ=t, 即可得? ,所以 λμ=1.故选 D. ?1=tμ 答案 D → 4.设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A→ 1A3=λA1A2(λ∈ )[来源:学+科+网] B.λ-μ=1 D.λμ=1

1 1 → → R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且λ +μ=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面 上的点 C,D 调和分割点 A,B,则下列说法正确的是 A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 1 1 解析 若 A 成立,则 λ=2,而μ=0,不可能;同理 B 也不可能;若 C 成立, 1 1 则 0<λ<1,且 0<μ<1,λ +μ>2,与已知矛盾;若 C,D 同时在线段 AB 的 1 1 延长线上时,λ>1,且 μ>1,λ +μ<2,与已知矛盾,故 C,D 不可能同时在 线段 AB 的延长线上,故 D 正确. 答案 D →= 5.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足OP 1?1 → 1 → →? ? OA+2OB+2OC?,则点 P 一定为三角形 ABC 的( 3?2 ? A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 1→ 1→ → → =1(OM → +2OC → )=1OM →+ 解析 设 AB 的中点为 M, 则2OA +2OB=OM, ∴OP 3 3 2→ → → → → → 3OC,即 3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,∴P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三等分点. 答案 B → =( 6.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么EF 1→ 1 → A.2AB +2AD 1→ 1 → B.-2AB -2AD ) ). ( ).

1→ 1 → C.-2AB+2AD 1→ 1 → D.2AB -2AD → =EC → +CF → ,因为 E 为 DC 的中点,所以EC → =1DC → 解析在△CEF 中,有EF 2 . → =1CB → .所以EF → =EC → +CF → =1DC → +1CB → =1AB → 因为点 F 为 BC 的中点, 所以CF 2 2 2 2 1 → 1→ 1 → +2DA =2AB-2AD . 答案 D 二、填空题 → =2a+pb,BC → =a+b,CD → =a-2b,若 A,B, 7.设 a,b 是两个不共线向量,AB D 三点共线,则实数 p 的值为________. → =BC → +CD → =2a-b,又 A,B,D 三点共线, 解析 ∵BD → =λBD →. ∴存在实数 λ,使AB ?2=2λ, 即? ∴p=-1. ?p=-λ, 答案 -1 → |=1,|AD → |=2,设AB → =a, 8.如图,在矩形 ABCD 中,|AB → =b,BD → =c,则|a+b+c|=________. BC 解析 → + BC → 根据向量的三角形法则有 |a + b + c|= | AB

→ |=|AB → +BD → +AD → |=|AD → +AD → |=2|AD → |=4. +BD 答案 4 → -OC → |=|OB → +OC → -2OA → |,则 9.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB △ABC 的形状为________. → +OC → -2OA → =OB → -OA → +OC → -OA → =AB → +AC →, 解析 OB → -OC → =CB → =AB → -AC → ,∴|AB → +AC → |=|AB → -AC → |. OB 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形.

答案 直角三角形 → =3CD → ,点 O 在线段 CD 10.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC → =xAB → +(1-x)AC, 上(与点 C、 D 不重合), 若AO 则 x 的取值范围是________. → =xAB → +AC → -xAC →, 解析∵AO → -AC → =x(AB → -AC → ),即CO → =xCB → =-3xCD →, ∴AO ∵O 在线段 CD 上(不含 C、D 两点)上运动, 1 ∴0<-3x<1,∴-3<x<0. ? 1 ? 答案?-3,0? ? ? 三、解答题 11.如图,过△OAB 的 重心 G 的直线与 OA、O B 分别交于 P、Q, → =hOA → ,OQ → =kOB → ,求证:1+1是常数. 设OP h k → =λ OP → +(1-λ )OQ → (λ ∈R),OM → =1OA → +1OB → 证明OG 1 1 1 2 2 ,且 O、G、M 三点共 → 2→ 线,G 为重心,故OG=3OM, → +(1-λ )OQ → =2×1(OA → +OB → ). 即 λ1OP 1 3 2 → =hOA → ,OQ → =kOB →, 又∵OP → )+(1-λ )(kOB → )=1(OA → +OB → ). ∴λ1(hOA 1 3 → 与OB → 为三角形两邻边,∴OA → 、OB → 不共线. 而OA 1 ? ?λ1h=3, ∴? 1 ? 1 - λ ? k = 1 ? ? 3. 1 3k-1 1 1 消去 λ1 得3h= 3k ,即h+ k=3.

→ =2e +3e ,BC → =6e +23e ,CD → 12. (1)设两个非零向量 e1,e2 不共线,如果AB 1 2 1 2 =4e1-8e2,求证:A,B,D 三点共线. → =2e +ke ,CB → =e +3e ,CD → =2e (2)设 e1,e2 是两个不共线的向量,已知AB 1 2 1 2 1 -e2,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值.

(1)证明

→ → 因为BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2,

→ =BC → +CD → =10e +15e . 所以BD 1 2 → =2e +3e ,得BD → =5AB → ,即BD → ∥AB →, 又因为AB 1 2 → ,BD → 有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线. 又因为AB (2)解 → -CD → =e +3e -2e +e =4e -e , D→ B =CB 1 2 1 2 2 1

→ =2e +ke , AB 1 2 → ∥D→ 若 A,B,D 共线,则AB B, -1=2λ, → ,所以? ? 设 D→ B =λAB ?k=-8. ?4=λk 13.如图所示,在△ABC 中,在 AC 上取一点 N,使得 1 1 AN=3AC,在 AB 上取一点 M,使得 AM=3AB,在 1 BN 的延长线上取点 P,使得 NP=2BN,在 CM 的延 → =λCM → 时,AP → =QA → ,试确定 λ 的值. 长线上取点 Q,使得MQ → =NP → -NA → =1(BN → -CN → )=1(BN → +NC → )=1BC → → → → 1→ 解 ∵AP 2 2 2 ,QA=MA-MQ=2BM →, +λMC → =QA → ,∴1BM → +λMC → =1BC → 又∵AP 2 2 , → =1MC → ,∴λ=1. 即 λMC 2 2 14.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; → =a,OB → =b,OP → =ma,OQ → =nb,求证: (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA 1 1 m+n=3. (1)解 → +GB → =2GM → ,又 2GM → =-GO →, ∵GA

→ +GB → +GO → =-GO → +GO → =0. ∴GA

(2)证明

→ 1 → 2→ 1 显然OM=2(a+b).因为 G 是△ABO 的重心,所以OG=3OM=3(a

→ ∥GQ → ,所以,有且只有一个实数 λ,使PG → +b).由 P,G,Q 三点共线,得PG →. =λGQ 1 1 ? → =OG → -OP → =1(a+b)-ma=? ?3-m?a+ b, 而PG 3 3 ? ? 1? → =OQ → -OG → =nb-1(a+b)=-1a+? ?n-3?b, GQ 3 3 ? ? 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? n-3?b?. 所以?3-m?a+3b=λ?-3a+? ? ? ? ? ? ? 1 1 - m =- ? ?3 3λ, 又因为 a,b 不共线,所以? 1? 1 ? n-3?, ? ?3=λ? ? ? 1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故m+n=3.


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图