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分形几何概述(课件) 阮火军_图文


分形几何概述
浙江大学数学系 阮火军

内容
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分形几何的发展历史
分形几何的研究对象和研究方法 分形几何的应用

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分形几何产生的背景
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经典几何的研究对象: 规则的图形,如圆,三角形等. 问题: 对于不规则的图形:如海岸线,云 的边界,我们如何研究?如何用计算机 去生成?

分形几何的历史
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萌芽期:十九世纪末,二十世纪初. Cantor集,Weierstrass函数等的提出.
形成期:二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年,Science, 英国的海岸线有多长? 2. 1975年,《分形对象:形,机遇和维数》. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派 生 出来的.

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分形几何的历史(续)
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发展期:二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.

英国的海岸线有多长?
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测量方法: 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能 短的道路步行,并规定每步长度不超过?,设 这样测得的海岸线长度为L(?).然后重新开始, 并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论:随着步长?越来越短,我们测量出 来的海岸线长度越来越长。

英国的海岸线有多长(续)?
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Richardson的经验数据 L(?)与??成正比,其中?的值依赖于具体的海 岸线。而且对同一海岸线,对不同的区段,常 常得到不同的?。在Richardson看来, ?没有 什么特别意义。 Mandelbrot的贡献 把?的意义挖掘出来,将1+ ?=D解释为“分形 维数”。

其它例子

迭代(动力系统)的问题
给定一个函数 f : R 2 ? R 2 (或者 f : C ? C), 设 f n ? f ? f ? ?? f 是 n 个 f 的复合函数.

输入:  0 ? R 2. p 输出: 点列 n ( p0 ) . f 问: 点列 n ( p0 ) 具有什么样的性质? f

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Julia集的定义
f : C ? C是一个复多项式函数,( z ) ? ? ak z k . f
k ?0 n

f 的斥性周期点所组成集 合的闭包称为 f 的 Julia 集.

若 f ( z) ? z 2 , 则 f 的 Julia 集为单位圆周.  ) (验证! 若 f ( z) ? z 2 ? C , 则当C ? 0时,f 的 Julia 集将非常复杂. 

Julia集的图象

C = -1

C = -0.5+0.5i

C=-0.2+0.75 i

C=0.64 i

Mandelbrot集
令 Pc ( z ) ? z 2 ? c

M ? {c {P (0)} 是有界数列 称为 Mandelbrot } 集.
n c n ?1

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Mandelbrot集

微积分中的一个问题
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如何研究在闭区间上处处连续处处不可导 的函数:如Weierstrass函数?
f ( x) ? ? ?( s ?2) k sin(?k x) , ? ? 1, 1 ? s ? 2.
k ?1 ??

f : [0,1] ? R.

分形几何的研究对象(一) —自相似集
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1 Cantor集

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2 Sierpinski垫片

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3 Koch曲线

Cantor集C

Cantor集C中的点的表示

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?x ? [0,1],可用三进制小数展开 x ? ? a j ? 3? j,a j ? {0,1,2}. :
j ?1

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记为x ? (a1a2 ?an ?).
若x ? ? a j ? 3? j ,其中ak ? 0.我们规定:
j ?1 k

当ak ? 2时,取x ? (a1a2 ?ak 000?); 当ak ? 1时,取x ? (a1a2 ?ak ?1 222?);

定理 设x ? [0,1],那么x ? C的充分必要条件是:    在x的展开式中,有 j ? 0或2,?j. a

Cantor集C的基本性质
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1. 2. 3. 4.

“长度”为零. 没有孤立点. 闭集. 自相似.

定理 设 f1 ( x) ? x / 3, f 2 ( x) ? x / 3 ? 2 / 3, 则 C ? f1 (C) ? f 2 (C).

Sierpinsk垫片

Sierpinsk垫片的生成过程 —第0步、第1步

Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步、第3步

Sierpinski垫片的基本性质
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与Cantor集类似。
面积等于0.
3

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问题:如何选取合适的 f1 , f 2 , f 3,使得S ? ?i ?1 f i ( S ) ?

Koch曲线

Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步

Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步

Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线

Koch曲线的一些基本性质
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Koch曲线具有与Cantor集,Sierpinski垫 片类似的性质. 长度等于无穷.

自相似集合的定义
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相似压缩映射的定义: 设f是从Rn到Rn的映射,如果存在常数1>c>0,使得对 于Rn中的任意两点x,y,有 |f(x)-f(y)|=c|x-y|, 我们称f是一个Rn上的相似映射,相似比为c. 关于自相似集合的定理及定义: 设f1, f2, …,fm 是Rn上的一组相似压缩映射,则 存在Rn的一个非空子集E,使得 E=∪fi(E). 我们称集合E是一个自相似集合.

分形几何的研究对象(二)
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自仿射集(每个映射都是压缩的仿射映 射)。 迭代函数系统的不变集(每个映射都是 压缩映射)。 分形函数(如:Weierstrass函数)。 随机分形(如:随机Koch曲线)。

随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟

分形集合的基本特征
我们很难给出分形的定义,但我们认为 一个分形集合E应该有如下的特征: ? E具有精细的结构,即有任意小比例的细 节。 ? E是如此的不规则以至它的整体和局部都 不能用传统的几何语言来描述 ? E通常具有某种自相似的形式,可能是近 似的或是统计的。

分形集合的基本特征(续)
一般地,E的“分形维数”(以某种方式 定义)大于它的拓扑维数。 ? 在大多数令人感兴趣的情形下,E以非常 简单的方式定义,可能由迭代产生。
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分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 ? 传统意义下的维数: 点是0维的,线是1维的,平面是2维的, 立方体是三维的,… ? 用这个维数去刻画分形集合时的困难:
Cantor集:含有无穷多个点,长度为0. ? Koch曲线:长度为无穷,面积为0. ? Sierpinski垫片:长度为无穷,面积为0.
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分形维数的一种定义(1)
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换种角度看维数. 把线段放大两倍后,所得线段可以看成 是2个原来个线段叠加而成。 把正方形放大两倍后,所得正方形可以 看成是4=22个原来的正方形叠加而成。 把立方体放大两倍后,所得立方体可以 看成是8=23个原来的立方体叠加而成。

分形维数的一种定义(2)
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分形维数的一种直观定义(不很确切). 如果我们把集合E放大?倍,得到的新集 合可以由?d个集合叠加而成,则称集合E 的分形维数是d.

几个典型自相似集的分形维数
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Cantor集: log2/log3. Sierpinski垫片: log3/log2. Koch曲线: log4/log3.

自相似集合的分形维数公式
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设f1, f2, …,fm 是一组Rn上的相似压缩映射, fi的相似比为ci, E是对应的自相似集,如 果fi(E)是两两不交的,那么E的分形维数 d由下面的公式给出: c1d+ c2d+…+ cmd=1.
注:带下划线的条件可以放宽到“开集 条件”,使得Koch曲线,Sierpinski垫片 的维数公式也可由此计算。

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迭代函数系----预备知识
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度量空间(X;d) 柯西序列 完备度量空间 压缩映射 不动点 Banach不动点定理:完备度量空间中的 压缩映射必存在唯一的不动点。

迭代函数系----分形空间(H(X);h)
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Rn中紧集的定义:有界闭集 给定完备度量空间(X;d),定义H(X)为X的所有非 空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义:
d ( x, B) ? min?d ( x, y) | y ? B?, x ? X , B ? H ( X ). d ( x, B) ? 0 ? x ? B
d ( A, B) ? max?d ( x, B) | x ? A?, A, B ? H ( X ). d ( A, B) ? 0 ? A ? B

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(H(X);h)是一个完备度量空间

h( A, B) ? max?d ( A, B), d ( B, A)? .

Hausdorff距离计算实例
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X=R. A=[0,1], B=[3,5]. 问h(A,B)=?

迭代函数系----定义及其性质
设 f n (n ? 1,2,?,N ) 是完备度量空间( X;d) 上的一族压缩映射, ?X 称  ; f n , n ? 1,2,?, N?是一个双曲迭代函数系 .
定义 f:H ( X ) ? H ( X ) 为:
f ( B) ? ?n?1 f n ( B),
N

?B ? H ( X ).

则 f 是 ( H(X);h 上的一个压缩映射 ) . 于是,双曲迭代函数系 存在唯一的非空紧集A ? X ,
使得 A ? f ( A) ? ?n ?1 f ( A),且有.
N

f n ( B) ?h A, ??

?B ? H ( X ).

迭代函数系----意义
双曲迭代函数系中对应的A也称为吸引子或 者不变集,在许多情况下,它是一个分形集合, 而自相似集、甚至更一般的自仿射集一定是某 个双曲迭代函数系的吸引子。 此外,前面所提到的性质也为在计算机画 出吸引子的近似图象提供了理论依据。

分形几何的应用
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图像,数据压缩方面的研究。 如:对某一个静态场景的分形压缩。 自然景物的模拟 如:雪花,海岸线,分形山,分形树叶 分形生长模型

对某一个静态场景的分形压缩

原图

分形压缩得到的图形

分形山

分形树叶

分形树叶(续1)


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