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圆锥曲线几何精华

圆锥曲线的几何性质
一、椭圆的几何性质(以
x2 y 2 + =1(a﹥b﹥0)为例) a2 b2
y A F 11 o F2

1、⊿ABF2 的周长为 4a(定值) 证明:由椭圆的定义
AF1 ? AF2 ? 2a ? ? ? ? AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 4a BF1 ? BF2 ? 2a ? ?
B

x

即 C?ABF ? 4a
2

2、焦点⊿PF1F2 中: (1)S⊿PF1F2= b 2 ? tan ?
2
F1

y

P

(2) (S⊿PF1F2)max= bc (3)当 P 在短轴上时,∠F1PF2 最大 证明: (1)在 ? AF1F2 中 ∵ ∴ ∴ ∴
PF1 ? PF2 ? 4c 2 cos ? ? 2 PF1 ? PF2
2 2

o F 22

x

2PF P2 Fc o?s ?? 1 ?

P1 F ?

P ?2 F ? 2
2

1

P? F

2

2 P ? F 4

c

PF1 ? PF2 ?

2b2 1 ? cos ?

1 2b 2 ? S PF1F2 ? ? ? sin ? ? b2 cos ?1 ? ? tan 2 1 ? cos ? 2
1 2

(2) (S⊿PF1F2)max = ? 2c ? hmax ? bc (3
PF1 ? PF2 ? 4c 2 ? a ? ex0 ? ? ? a ? ex0 ? ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 cos ? ? ? ? 2 ?1 2 2 PF1 ? PF2 2a ? 2e02 x02 2 ? a 2 ? e2 x 2 ?
2 2 2 2 0

当 x0 =0 时

c o? s

有最小值

a 2 ? 2c 2 a2

即∠F1PF2 最大

1

3、 过点 F1 作⊿PF1F2 的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为 M ,则 M 的轨 迹是 x2+y2=a2 证明:延长 F1M 交 F2 P 于 F ,连接 OM 由已知有 ∴
PF FP 1 ?
M
M F
1

y P o F
2

为 F1F 中点
x

1 1 OM? F2F = ? PF1 ? PF2 ? = a 2 2

所以 M 的轨迹方程为

x ? y ? a。
2 2 2

4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆 x2+y2=a2 内切 证明:取 PF1 的中点 M ,连接 OM 。令圆 M 的直径 PF1 ,半径为 r ∵
1 1 1 OM = PF2 ? ? 2a ? PF1 ? ? a ? PF1 ? a ? r 2 2 2
F
2 2 2
1

y P

∴ 圆 M 与圆 O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆 x +y =a 内切。

o

F
2

x

5、任一焦点⊿PF1F2 的内切圆圆心为 I,连结 PI 延长交长轴于 R, 则 ∣IR∣:∣IP∣=e 证明:证明:连接 F1I , F2 I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ ∴
R F? R 2F 2 Rc I R F1 R F ? ? 2 ? 1 ? e? PI P1 F P ? P F 2P 2F a 2 F 1
IR ? e PI
y A F1 o I I R I y P

F
2

x

6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明:令 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 到准线的距离为 d1 , d 2 以为直径的圆的圆心为 M 到准线的距离为 d 。 ∵
AF2 ? ed1 ? ? ? AF2 ? BF2 ? e ? d1 ? d 2 ? ? BF2 ? ed 2 ?
F
1

o

F
2

x B

1 AB ? 2 R ? e ? d1 ? d 2 ? ? R ? e ? d1 ? d 2 ? 2 1 d ? ? d1 ? d 2 ? ∵ 2
2



0 ? e ? 1 ,∴ R ? d ,∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离
y P F1 P A · o F
2

7、A 为椭圆内一定点,P 在椭圆上,则: (∣PA∣+∣PF2∣)max =2a+∣AF1∣ (∣PA∣+∣PF2∣)min =2a-∣AF1∣ 证明:连接 AP, AF1 , PF1 ∵ ∵ ∴ ∴
AP ? PF2 ? AP ? 2a ? PF 1 ? 2a ? ? AP ? PF

x

?
1

? AF1 ? AP ? PF1 ? AF1 2a ? AF1 ? AP ? PF 2 ? 2a ? AF
1

(∣PA∣+∣PF2∣)max =2a+∣AF1∣

(∣PA∣+∣PF2∣)min =2a-∣AF1∣ 8、A 为椭圆内一定点,P 是椭圆上的动点,则 (∣PA∣+
PF2 e
y

)min = A 到右准线的距离
A · o x F

证明:设到右准线的距离 d,由椭圆的第二定义有
PF PF ?e?d ? d e

∴(∣PA∣+

PF2 e

)min = ? PA ? d ?min = A 到右准线的距离. x=±a 上。
y M P I N I F I
2

9、焦点⊿PF1F2 的旁心在直线

证明:令☉I 与⊿PF1F2 三边所在的直线相切于 M、N、A ∵ ∴ ∵ ∴ , F2 N ? F2 A PM? PN
PF1 ? PN ? F1M F1 F2 ? F2 N ? F1 A
F
1

o

A2

x

F1M ? F1 A ,∴ PF P N? 1 ?
2

PF P N? 1 ?
1

1

F 2F ?

2

,∵ F N

F2 N ? F2 A 2a ? 2c? 2 2 F A

F N ?

F2 F ?

2

F? N ,∵ F2 N ? F2 A ,∴ 2 F A
3



a ? c? 2 F A 即为椭圆顶点。∴

焦点⊿PF1F2 的旁心在直线 x=±a 上。

10、P 是椭圆上任意一点,PF2 的延长线交右准线于 E,K 是准线 上另一任意点,连结 PK 交椭圆于 Q,则 KF2 平分∠EF2Q 证明:令 P,Q 到准线的距离为 d1 , d 2
PF2 ? ? ? e? ? d1 PF2 QF2 PF2 d1 ? ? ? ? ? ?? QF2 d1 d2 QF2 d 2 ? PF2 PK ? ?e ? ? ? ? d2 QF QK ? 2 ? ? d1 PK ? ? d 2 QK ?
y E F F
1

o P

x K Q

2

由三角形外角平分线性质定理有 KF2 平分∠EF2Q 11、
1 1 2a ? ? 2 (定值) AF BF b

y

证明:令 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 当 AB 的斜率存在时,设直线 AB 方程为 y ? k ? x ? c ?
? y ? k ? x ? c? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵? ? x 2 y 2 ? b x ? a (k x ? 2k cx ? c k ) ? a b ? 0 ? 2? 2 ? a b
? (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2k 2cx ? a2k 2c2 ? a2b2 ? 0
o A F B x

∴ ∴

2a 2 k 2 c x1 ? x2 ? 2 b ? a2k 2

a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 x1 x2 ? b2 ? a 2 k 2

AF ? a ? ex1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? BF ? a ? ex2 ? AF BF a ? ex1 a ? ex2 ?

?

2a ? e ? x1 ? x2 ? a ? ae ? x1 ? x2 ? ? e2 x1 x2
2

2a 2 k 2 c c 2a 2 k 2c 2 a ? ? 2 2 2 2 b ? a k a b ? a2k 2 = ? 2 2 2 2 2 2a 2 k 2c 2a 2 k 2c c 2 a 2 k 2c 2 ? a 2b 2 2 a k c ?a b 2 a 2 ? ae 2 ? e a ? ae ? ( ) b ? a2k 2 b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2 a b2 ? a 2 k 2 2a ? e
2a3k 2 ? 2ab 2 ? 2ak 2c 2 ? 4 2 a k ? a 2 b 2 ? 2a 2 k 2 c 2 ? c 4 k 2 ? b 2 c 2

?

2ak 2 ? a 2 ? c 2 ? ? 2ab2 k 2b 4 ? a 2b 2 ? b 2 c 2

?

2ak 2 ? 2a k 2b 2 ? a 2 ? c 2

?

2a ? k 2 ? 1? b ? k ? 1?
2 2

?

2a b2
4

当 AB 的斜率存在时,

1 1 a a 2a 1 1 2a ? ? 2 ? 2 ? 2 ,∴ ? ? 2 (定值) 。 AF BF b b b AF BF b

12、AB 是椭圆的任意一弦,P 是 AB 中点, 则 K AB ? K OP ? ?
b2 (定值) a2
y A B P o

证明:令 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P ? x0 , y0 ?

?x ? x ? 则 1 2 ? x0 2


? y1 ? y2 ? ? y 0 2

F

x

? x12 y12 ? 2 ? 1? 2 2 y1 ? y2? b? x ? ? ? ? x1 ? x2 ? . ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? . ? y1 ? y2 ? a b 1 ? ?0? ?? 2 ?? 2 2 2 2 a b x ? x a y ? ? 1 2? ? 1 x2 y ? 22 ? 1? 2 ? a b ?
y ?y ? y ? k AB ? 1 2 , kOP ? 0 ,∴ x0 ? x1 ? x2 ?
k AB ? 1 kOP ? b2 ? ? ? ? 2 ? ,∴ ? a ?

?x 2 , y ?2



k AB ? kOP ? ?

b2 。 a2

13、椭圆的短轴端点为 B1、B2,P 是椭圆上任一点,连结 B1P、B2P 分别 交长轴于 N、M 两点,则有∣OM∣*∣ON∣=a2 证明: B1 ? 0, b? , B2 ? 0, ?b? , N ? x1 0? , P ? x0 , y0 ? , M ? x2 0? ∴
u u uv B2 P? ? x , 0 u u u uv y ? b , B M ? ? ? ? ,2 x ? ,b 0 2 u u uv B ? ? 1 ? P ,0 x? 0 y , u u uv b?1 ?B ? N ,1
B2 y

x b
o N B1

P x M

∵ 由于 B2 、 P 、 M 共线 ∴
x0 y 0? b ?bx 0 ? ? x2 ? x2 ?b y0 ? b
u u ur u u ur P2 F ??
P 、N 共线, c ? ,0 x?? 、 0 y

, x ? ?0y, ∵ 由于 P F 1 ?? ? c? 0

∴ ∵

x0 y 0? b bx 0 ,∴ ? ? x1 ? x1 b y0 ? b

2 2 ? x0 2b 2 x0 b OM ? ON ? 2 2 ? 2 2 AB y0 ? b y0 ? b

2 2 x02 y02 x02 b ? y 0 ? ? 1 ? ? ? a2 2 2 2 2 a b a b

b2 x 2 ? 2 0 ,∴ ? b 0 y2

O M? O N ?

2

。 a

y P A2 M

14、椭圆的长轴端点为 A1、A 2,P 是椭圆上任一点, 连结 A1P、A2P 并延长,交一准线于 N、M 两点,
5

A1

o

F

x N

则 M、N 与对应准线的焦点张角为 900 证明:令 M ?
uuu r ? a2 ? ? a2 ? , y1 ? , N ? , y2 ? , P ? x0 , y0 ? , A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0? ? c ? ? c ? uuu r uuuu r ? a2 r ? uuuu ? a2 ?

∴ A1P ? ? x0 ? a, y0 ? , A2 P ? ? x0 ? a, y0 ? , A1M ? ? ? a, y1 ? , A2 N ? ? ? a, y2 ? ? c ? ? c ? ∵ 由于 A1 、 P 、 M 共线 ,∴
x0 ? a y0 ? ? y1 ? a2 y1 ?a c y0 ? ( a2 ? a) c x0 ? a



由于 A2 , P, N 共线 ,∴

a2 y0 ? ( ? a) x0 ? a y0 c ? ? y ? 2 a2 y2 x0 ? a ?a c



y1 y2 ?

y0 ? (

a2 a2 ? a) y0 ? ( ? a) y 2 a 4 ? a 2c 2 x02 y02 y02 b2 c c ? 20 2? ,∵ ? ? 1 ? ? ? x0 ? a x0 ? a x0 ? a c2 a 2 b2 x02 ? a 2 a2



y1 y2 ? ?

2 2 b2 a 4? a c b4 ? ? ? ,∵ a2 c2 c2

uuur ? a 2 ?? FM ? ? ? c, y1 ? ? r b4 ? c ?? uuur uuu ? FM ? FN ? 2 ? y1 y2 ? uuu r ? a2 c ?? FN ? ? ? c, y2 ? ? c ?? ?



uuu r uuu r F M? F N ? 0 ,∴

M、N 与对应准线的焦点张角为 900

15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线,切点弦 AB 过 该准线对应的焦点。
a x ? a2 ? y y 证明:设 M ? , y0 ? ,则 AB 的方程为 c 2 ? 02 ? 1 a b ? c ?
x y y 即 ? 02 ? 1 必过点 ? c, 0 ? c b
2

A

y

M
1

F o
2

x B

16、椭圆的光学性质:过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 证明:设 P ? x0 , y0 ? ,则过 P 点的切线 l :
x0 x y0 y ? 2 ? 1 ,直线 l 的法线 x 交轴于 Q a2 b

6

r x0 y0 ? 直线 l 的法向量为: n ? ? ? 2, 2? ?a b ?

m P l F1 o y

∵ PF1 ? ? ?c ? x0 , ? y0 ? , PF2 ? ? c ? x0 , ? y0 ? ∴ PF2 ? c 2 ? x0 2 ? y0 2 ? 2cx0
2 2 2
2

uuu r

uuu r

F2 x

2 b 2 x0 2 a 4 ? c 2 x0 2 ? 2a 2 cx0 ? a ? cx0 ? 2 ? c ? x0 ? 2cx0 ? b ? 2 ? ? a a2 a2

同理 PF1

2

?a ?

2

? cx0 ? 2 a2

, ∵

r uuu r ?cx ? x 2 y 2 ?cx ? x 2 b 2x 0 2 ?a 2 ? c 0x 2 0 0 0 0 0 n ? PF1 ? ? ? ? b ? ? a2 b2 a2 a2 a2

同理 n ? PF2 ?

r uuu r

?a 2 ? cx0 , a2
?a 2 ? cx0 r uuu r 2 1 n ? PF2 ? r , cos ?F2 PQ ? uuu r r ?? r a a 2 ? cx0 n PF2 ? n n? a2



?a 2 ? c 0x r uuu r 2 n? P 2 F c o? s F2 P Q ? uuu r r ? r a a 2 ? c 0x PF 2 ? n n? a2

1 ? r n



?F1PQ ? ?F2 PQ ,即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。
x2 y2 二、双曲线的几何性质(均以 2 ? 2 ? 1?a, b ? 0? 为例) a b ? (1)焦点三角形面积: S ? ? b 2 ? cot 2

(2) 过作∠F1PF2 的内角平行线的重线垂足 M 的轨迹是 x 2 ? y 2 ? a 2 (3) 以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与 x 2 ? y 2 ? a 2 内切,小的圆 与 x 2 ? y 2 ? a 2 外切。
y P P y P

?F1

?F2

?F1

?F2

x

F1

F2

x

(1)

M (2)

(3)

7

(4)以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交 (5)焦点⊿PF1F2 的内切圆心横生标为±a 即与实轴的切点一定是实轴端点 (6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠ MCN= 2arccos
1 e
y A I F1 F2 B (4) x F1 F2 x

y P

y B M C F1 N (6) F2 A x

(5)

(7) A 为双曲线内一定点 P 为双曲线上动点= ? PA + PF2 ? min = AF1 -2a (8) 如图:A 为双曲线内一定点,P 是双曲线上的动点, ? PA + A 到右准线的距离 (9)焦点到渐近线的距离等于 b
y A P x F1 F2 F1 F2 B y P A P x F1 F2 x y

1 PF2 e

? min 等于

(7)

(8)

(9)

(10)双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值
b2 (11)P 是弦 AB 中点 K AB .K op = 2 定值 a

a 2b 2 c2

(12)P 为双线上任一点过 P 点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四 边形面积等于定值 ab
8

1 2

y M P O F1 N (12) F2 x F1 A

y P B

y A P x F2 F1 B F2 x

O

(11)

(10)

(13) 过 P 的切线平分∠F1PF2 (光学性质) 即经过一焦点的光线被双曲线反射, 反射光线的下长线过另一焦点 (14)双曲线与渐近线把平面分成 5 部分 双曲线上的点
x2 y2 ? ?1 a2 b2

y P 1

x2 y2 渐近线上的点 2 ? 2 ? 0 a b

y ① 2 ?F2 x F1 ③ ③

x2 y2 区域①的点 2 ? 2 ? 1 a b x2 y2 区域②的点 2 ? 2 ? 1 a b


F2

?F1 M (13)



x

① (14)

区域③的点 0 ?

x2 y2 ? ?1 a2 b2

过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线,过中心无切线,没有与两支 都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上,过区域③的点作切线切点在 同一支上,过区域②的点没切线,双曲线的切线斜率 k ? ,区域①、②的点可 作弦的中点,中心是任意过中心的弦的中点,渐近线上(除中心) ,双曲线上, 区域③的点不可能是弦中点。
x2 y2 (15)直线 L 与双曲线的渐近线 2 ? 2 ? 1 a b
F1 C A y B D x F2

b a

交于 A、B 两点,与双曲线交于 C、D 两点,则 AC=BD
(15)
9

三、抛物线的几何性质 均以抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 为例 (1) 如图:A 为抛物线内一定点,P 是抛物线上的动点,

y P A x F X=-P/2

? PA + PF ?

min

等于 A 到准线的距离。

(2) 过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 焦点 F 作弦 AB,其中 A(x1,y1),B(x2,y2)则有: ① ②
y1 y2 ? ? p 2
p x1 x 2 ? 4
2

y A x F B X=-P/2

③ AB ? x1 ? x2 ? p ④ AB min ? 2 p ⑤
1 1 2 ? ? p AF B F
p 2

⑥以 AB 为直径的圆与准线 l : x ? ? 相切 (3)过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 顶点作任意互相垂直的弦 OA、OB,则弦 AB 必过定点(2p,0) ;反之亦成立, 即过定点(2p,0)作直线交抛物线于 A、B 两点, 则有 OA 垂直 OB
B x y A

(4)过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 焦点 F 作直线交抛物线于 P、Q 两点,弦 PQ 的垂 直平分线交抛物线的对称轴于 R,则 FR ?
PQ 2
y P x

F Q

R

(5)过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? H 上任一点 P(X0,Y0)的切线方程为 yy0 ? p?x ? x0 ?

10


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