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泗水县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

泗水县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下面的结构图,总经理的直接下属是( )

姓名__________

分数__________

A.总工程师和专家办公室 B.开发部 C.总工程师、专家办公室和开发部 D.总工程师、专家办公室和所有七个部 2. 等比数列的前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 A,B,C,则( A.B =AC A. A ? B B. A
2

) D.B(B﹣A)=C(C﹣A) ) )1111] D. [

2

B.A+C=2B
x

C.B(B﹣A)=A(C﹣A) C. A

3. 已知全集 U ? R , A ? {x | 2 ? 3 ? 9} , B ? { y | 0 ? y ? 2} ,则有(

B?B
2

(?R B) ? ?

D. A

(?R B) ? R

4. 在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是(
2

A. (0,

?
6

]

B. [

?
6

,? )

C. (0,

?
3

]

?
3

,? )


5. 奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,若 f(﹣1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集是( (1,+∞)

A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)(∪1,+∞) C.(﹣1,0)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪ 6. 已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f′(x)的图象如图所示,则对于任意 x1,x2∈R( x1≠x2), 下列结论正确的是( ①f(x)<0 恒成立; ②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0; ③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0; ④ ⑤ ; . )

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A.①③

B.①③④ C.②④ ﹣ C.

D.②⑤ )

7. 已知双曲线 A. B.

=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为( D. ) D.(0,1)

8. 函数 f(x)=3x+x 的零点所在的一个区间是( A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0) ( )

9. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为

A.

B.

C.

D. )

10.过抛物线 y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1+x2=﹣6,则|AB|为( A.8
2

B.10

C.6

D.4

11.将 n 个正整数 1、2、3、…、n2(n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算某行或某列中的 任意两个数 a、b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n=2 时,数表的所有可 能的“特征值”的最大值为( A. B. ) C.2 D.3 )

12.如果双曲线经过点 P(2, A.x2﹣ =1 B. ﹣

),且它的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲线的方程是( =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

二、填空题

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13.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一 个红球的概率为 . km. 14.如图,一船以每小时 20km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°方向,行驶 4 小时后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔间的距离为

15.已知函数 f(x)=

,若 f(f(0))=4a,则实数 a=



16.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻),其它工 艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工 艺的排列顺序有 种.(用数字作答) . 17.设集合 A={﹣3,0,1},B={t2﹣t+1}.若 A∪B=A,则 t= ③ CN 与 BM 成 60 ? 角;④ DM 与 BN 是异面直线. 以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).

18.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中① BM 与 ED 平行;② CN 与 BE 是异面直线;

三、解答题
19.【南京市 2018 届高三数学上学期期初学情调研】已知函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R. (Ⅰ)曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线的斜率为 3,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意 x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a>1,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为 M(a)、m(a), 记 h(a)=M(a)-m(a),求 h(a)的最小值.

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20.在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ACF; (Ⅱ)求证:BD⊥AE.

21.(本小题满分 12 分) 如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,且 AD ? AC ? 0 , sin ?BAC ? (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cos C .

2 2 , AB ? 3 2 , BD ? 3 . 3

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22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ? 2x ?1 ,数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? f ? ? ( n ? N? ). x ? an ?

(2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

【命题意图】本题主要考查等差数列的概念,通项公式的求法,裂项求和公式,以及运算求解能力.

23.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

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24.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? ln x ( a, b ? R ).

?1 ? ? ? (2)当 a ? 0 时,是否存在实数 b ,当 x ? ? 0,e? ( e 是自然常数)时,函数 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求
(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 出 b 的值;若不存在,说明理由;

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泗水县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:按照结构图的表示一目了然, 就是总工程师、专家办公室和开发部. 读结构图的顺序是按照从上到下,从左到右的顺序. 故选 C. 【点评】本题是一个已知结构图,通过解读各部分从而得到系统具有的功能,在解读时,要从大的部分读起, 一般而言,是从左到右,从上到下的过程解读. 2. 【答案】C 【解析】解:若公比 q=1,则 B,C 成立; 故排除 A,D; 若公比 q≠1, 则 A=Sn= B(B﹣A)= ,B=S2n= ( ,C=S3n= ﹣ )= ,
n n n (1﹣q )(1﹣q )(1+q )

A(C﹣A)=





)=

(1﹣q )(1﹣q )(1+q );

n

n

n

故 B(B﹣A)=A(C﹣A); 故选:C. 【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用,同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力.

3. 【答案】A 【解析】解析:本题考查集合的关系与运算, A ? (log3 2, 2] , B ? (0, 2] ,∵ log3 2 ? 0 ,∴ A ? B ,选 A. 4. 【答案】C 【 解 析 】

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考点:三角形中正余弦定理的运用. 5. 【答案】A 【解析】解:根据题意,可作出函数图象: ∴不等式 f(x)<0 的解集是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) 故选 A.

6. 【答案】 D 【解析】解:由导函数的图象可知,导函数 f′(x)的图象在 x 轴下方,即 f′(x)<0,故原函数为减函数, 并且是,递减的速度是先快后慢.所以 f(x)的图象如图所示. f(x)<0 恒成立,没有依据,故①不正确; ②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号,即 f(x)为减函数.故②正确; ③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号,即 f(x)为增函数.故③不正确, ④⑤左边边的式子意义为 x1,x2 中点对应的函数值,即图中点 B 的纵坐标值, 右边式子代表的是函数值得平均值,即图中点 A 的纵坐标值,显然有左边小于右边, 故④不正确,⑤正确,综上,正确的结论为②⑤. 故选 D.

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7. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,即 x±y=0.

2 2 根据圆(x﹣2) +y =1 的圆心(2,0)到切线的距离等于半径 1,

可得,1=

,∴

=



,可得 e= 故此双曲线的离心率为: 故选 D.

. .

【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 的值,是 解题的关键. 8. 【答案】C 【解析】解:由函数 f(x)=3x+x 可知函数 f(x)在 R 上单调递增,
0 又 f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)=3 +0=1>0,

∴f(﹣1)f(0)<0, 可知:函数 f(x)的零点所在的区间是(﹣1,0). 故选:C. 【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性,属于基础题.

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9. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

10.【答案】A 【解析】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=1,
2 ∵抛物线 y =﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点

∴|AB|=2﹣(x1+x2), 又 x1+x2=﹣6 ∴∴|AB|=2﹣(x1+x2)=8 故选 A 11.【答案】B 【解析】解:当 n=2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表, 当 1、2 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 ; 当 1、3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ; 当 1、4 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 , 故这些可能的“特征值”的最大值为 . 故选:B. 【点评】题考查类比推理和归纳推理,属基础题. 12.【答案】B 【解析】解:由双曲线的一条渐近线方程为 y=x,
2 2 可设双曲线的方程为 x ﹣y =λ(λ≠0),

代入点 P(2, λ=4﹣2=2,

),可得

2 2 可得双曲线的方程为 x ﹣y =2,

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即为



=1.

故选:B.

二、填空题
13.【答案】 【

8 9
解 析 】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P( A) ? 1 ? P( A) 求解较好. 14.【答案】 【解析】解:根据题意,可得出∠B=75°﹣30°=45°, 在△ABC 中,根据正弦定理得:BC= 则这时船与灯塔的距离为 故答案为 . 海里. = 海里,

15.【答案】 2 .

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【解析】解:∵f(0)=2, ∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以 a=2 故答案为:2. 16.【答案】 24 【解析】解:由题意,B 与 C 必须相邻,利用捆绑法,可得 故答案为:24. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础. 17.【答案】 0 或 1 . =48 种方法,

因为 A 必须在 D 的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 48÷2=24 种,

2 2 【解析】解:由 A∪B=A 知 B?A,∴t ﹣t+1=﹣3①t ﹣t+4=0,①无解

或 t ﹣t+1=0②,②无解
2 2 或 t ﹣t+1=1,t ﹣t=0,解得 t=0 或 t=1.

2

故答案为 0 或 1. 【点评】本题考查集合运算及基本关系,掌握好概念是基础.正确的转化和计算是关键. 18.【答案】③④ 【解析】 试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:① BM 与 ED 是异面直线,所以是错误 的; ② DN 与 BE 是平行直线, 所以是错误的; ③从图中连接 AN , AC , 由于几何体是正方体, 所以三角形 ANC 为等边三角形,所以 AN , AC 所成的角为 60 ? ,所以是正确的;④ DM 与 BN 是异面直线,所以是正确的.

考点:空间中直线与直线的位置关系.

三、解答题
19.【答案】(1)a=

1 1 8 (2)(-∞,-1- ].(3) 2 e 27
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【解析】 f(x)+f(-x)=-6(a+1)x ≥12lnx 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,
2

(2)

所以-(a+1)≥ 令 g(x)=

2 ?1 ? 2lnx ? 2lnx ,x>0,则 g?(x)= . 2 x x3 令 g?(x)=0,解得 x= e .
当 x∈(0, e )时,g?(x)>0,所以 g(x)在(0, e )上单调递增; 当 x∈( e ,+∞)时,g?(x)<0,所以 g(x)在( e ,+∞)上单调递减. 所以 g(x)max=g( e )= 所以-(a+1)≥

2lnx . x2

1 , e

1 1 ,即 a≤-1- , e e 1 所以 a 的取值范围为(-∞,-1- ]. e
(3)因为 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax, 所以 f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),f(1)=3a-1,f(2)=4. 令 f ′(x)=0,则 x=1 或 a. f(1)=3a-1,f(2)=4.

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②当

5 <a<2 时, 3

当 x∈(1,a)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,a)上单调递减; 当 x∈(a,2)时,f ?(x)>0,所以 f(x)在(a,2)上单调递增. 又因为 f(1)>f(2),所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(a)=-a3+3a2, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-(-a3+3a2)=a3-3a2+3a-1. 因为 h? (a)=3a2-6a+3=3(a-1)2≥0. 所以 h(a)在( 所以当 a∈(

5 ,2)上单调递增, 3

5 5 8 ,2)时,h(a)>h( )= . 3 3 27

③当 a≥2 时, 当 x∈(1,2)时,f ?(x)<0,所以 f(x)在(1,2)上单调递减, 所以 M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(2)=4, 所以 h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-4=3a-5, 所以 h(a)在[2,+∞)上的最小值为 h(2)=1. 综上,h(a)的最小值为

8 . 27

点睛:已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法:(1)利用导数结合参数讨论函数最值取法,根据最值

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列等量关系,确定参数值或取值范围;(2)利用最值转化为不等式恒成立问题,结合变量分离转化为不含参 数的函数,利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 20.【答案】 【解析】 【分析】(Ⅰ)连接 FO,则 OF 为△BDE 的中位线,从而 DE∥OF,由此能证明 DE∥平面 ACF. (Ⅱ)推导出 BD⊥AC,EC⊥BD,从而 BD⊥平面 ACE,由此能证明 BD⊥AE. 【解答】证明:(Ⅰ)连接 FO,∵底面 ABCD 是正方形,且 O 为对角线 AC 和 BD 交点, ∴O 为 BD 的中点, 又∵F 为 BE 中点, ∴OF 为△BDE 的中位线,即 DE∥OF, 又 OF?平面 ACF,DE?平面 ACF, ∴DE∥平面 ACF. (Ⅱ)∵底面 ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, ∵EC⊥平面 ABCD,∴EC⊥BD, ∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥AE.

21.【答案】 【解析】(Ⅰ)因为 AD ? AC ,所以 sin ?BAC ? sin ? 所以 cos ?BAD ?

?? ? ? ?BAD ? ? cos ?BAD , ?2 ?

2 2 .…… 3 分 3 2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理可知, BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD 即 AD2 ? 8 AD ? 15 ? 0 ,解之得 AD ? 5 或 AD ? 3 , 由于 AB ? AD ,所以 AD ? 3 .…… 6 分
(Ⅱ)在 ?ABD 中,由 cos ?BAD ?

2 2 1 可知 sin ?BAD ? …… 7 分 3 3

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BD AB , ? sin ?BAD sin ?ADB AB sin ?BAD 6 所以 sin ?ADB ? …… 9 分 ? BD 3
由正弦定理可知, 因为 ?ADB ? ?DAC ? ?C ? 22.【答案】 【解析】(1)∵ f ( x) ?

?
2

? ?C ,即 cos C ?

6 …… 12 分 3

2x ?1 1 1 ? 2 ? ,∴ an ?1 ? f ( ) ? 2 ? an . x x an
(5 分)

即 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 {an } 是以首项为 2,公差为 2 的等差数列, ∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n . (2)∵数列 {an } 是等差数列,

(a1 ? an )n (2 ? 2n) n ? ? n(n ? 1) , 2 2 1 1 1 1 ∴ . (8 分) ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ? ? ? ? S1 S2 S3 Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )?( ? )?( ? )? ?( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n 1 ? ? 1? . (12 分) n ?1 n ?1
∴ Sn ? 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

∴h(x)=

∴|h(x)|≤1

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∵ ∴k≥1.

恒成立,

【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于中档题. 24.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力.

(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? bx ? ln x .

假设存在实数 b ,使 g ? x ? ? bx ? ln x x ? ? 0, e ? 有最小值 3,

?

?

f ?( x) ? b ?

1 bx ? 1 ? .………7 分 x x
4 (舍去).………8 分 e

①当 b ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? f ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? ②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, b ? b? ?b ? ?1? 2 ∴ f ( x) min ? g ? ? ? 1 ? ln b ? 3, b ? e ,满足条件.……………………………10 分 ?b?

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1 4 ? e 时, f ( x) 在 ? 0, e? 上单调递减, f ( x) min ? g ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? (舍去),………11 分 b e 2 综上,存在实数 b ? e ,使得当 x ? ? 0,e? 时,函数 f ( x ) 最小值是 3.……………………………12 分
③当

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