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河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)数学(文)试题

河南省郑州市 2018 届高中毕业年级第一次质量预测 数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作 答无效。交卷时只交答 题卡。

第Ⅰ卷
一、选 择题:共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 复数

3?i ( i 为虚数单位)等于 i
B. ?1 ? 3i C. 1 ? 3i D. 1 ? 3i

A. ?1 ? 3i

2. 设集合 A ? x 1 ? x ? 2 , B ? x x ? a ,若 A ? B ? A ,则 a 的取值范围是 A. a a ? 2

?

?

?

?

?

?

B. a a ? 1

?

?

C. a a ? 1

?

?

D. a a ? 2

?

?

3. 设向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 1, 2) ,且 a ? b ,若 (a ? b) ? a ,则实数 m ? A.

1 2
[来源:学科网]

B.

1 3

C.1

D.2

4.下列说法正确的是

A.“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”
2 2

B.“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题为真命题
2 2

C. ?x0 ? (0, ??) ,使 3 0 ? 4 0 成立
x x

D.“若 sin ? ?

1 ? ,则 ? ? ”是真命题 2 6

5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿 墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日 自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述, 如图所示,则输出结果 n ? A.5 C.3 B.4 D.2

6. 若某几何体的三视图(单位: cm )如图所 示,则该几何体的体积等于

A.10 cm C.30 cm

3

B.20 cm D.40 cm

3

3

3

7. 若将函数 f ( x) ?

1 ? ? sin(2 x ? ) 图象上的每一个点都向左平移 个单位, 得到 y ? g ( x) 的图象, 2 3 3

则函数 g ( x) 的单调递增区间为 A. [ k ? ? C. [ k ? ?

?
4

, k? ?

3? ](k ? Z ) 4

B. [ k ? ? D. [ k ? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) 4 4

?

2? ? , k? ? ](k ? Z ) 3 6

?
12

, k? ?

5? ](k ? Z ) 12

8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0(n ? N * ) ,记

Tn ?
A.

1 1 1 ? ? ... ? (n ? N * ) ,则 T2018 ? S1 S2 Sn
B.

4034 2018

2017 2018

C.

4036 2019

D.

2018 2019

9.已知函数 f ( x) ? ? 是

?e x ? a , x ? 0 ? 2 x ? a, x ? 0

(a ? R) ,若函数 f ( x) 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围

(0, 1] A.

B. [1, ??)

C. (0,1)

D. (??,1]

C: 10.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点和上顶点分别为 A, B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,在 a 2 b2

线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率的平方为 A.

3 2

B.

3? 5 2

C.

?1 ? 5 2

D.

3 ?1 2

11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛(河南初 赛) ,他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是 81, 乙班学生成绩的平均数是 86,若正实数 a , b 满足 a, G, b 成 等差数列且 x, G, y 成等比数列,则

1 4 ? 的最小值为 a b

4 9 9 C. 4
A.

B. 2 D.9

12.若对于任意的正实数 x , y 都有 ? 2 x ?

? ?

y? y x 成立,则实数 m 的取值范围为 ? ? ln ? e? x me
C. (

A. ( ,1]

1 e

B. (

1 ,1] e2

1 , e] e2

D. ? 0, ? e

? 1? ? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 一 21 为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 一 23 题为选考题,考生 根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? 1, ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
14.如果直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行,则 a ? 15.已知数列 ?an ? 满足 log2 an?1 ? 1 ? log2 an (n ? N * ) ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a10 ? 1,则 .

.

log2 (a101 ? a102 ? ... ? a110 ) ?
16.已知双曲线 C :

.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为 M , a 2 b2
.

交另一条渐近线于 N ,若 2MF ? FN ,则双曲线的渐近线方程为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对 边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ? 2a ? b . (1)求角 C ; (2)若 ?ABC 的面积为 S ? 18. (本小题满分 12 分) 2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试,为了考察高中学生的身体素质情 况,现抽取了某校 1000 名(男生 800 名,女生 20 0 名)学生的测试成绩,根据性别按分层抽样的方 法抽取 100 名进行分析,得到如下统计图表: 男生测试情况:

3 c ,求 ab 的最小值. 2

抽样情况 人数 女生测试情况 抽样情况 人数

病残免试 5

不合格 10

合格 15

良好 47

优秀

x

病残免试 2

不合格 3

合格 10

良好

优秀 2

y

(1)现从抽取的 100 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生,求选出的这两名学生恰好 是一男一女的概率; (2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”,其它等级的学生(含病残免试)为“非体育 达人”,根据以上统计数据填写下面列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为 “是否为‘体育达人’与性别有关?” 男性 体育达人 非体育达人 总计 临界值表: 女性 总计

P( K 2 ? k0 )
k0
附: (K ?
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAB ? 平面 ABC , AB ? 6 , BC ? 2 3 ,

AC ? 2 6 , D 为线段 AB 上的点,且 AD ? 2 DB , PD ? AC .
(1)求证: PD ? 平面 ABC ; (2)若 ?PAB ?

?
4

,求点 B 到平面 PAC 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 和抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,圆心 C 到抛物线焦点 F 的 距离为 17 . (1)求抛物线 E 的方程; (2)不过原点的动直线 l 交抛物线于 A, B 两点,且满足 OA ? OB .设点 M 为圆 C 上任意一动点, 求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ? R 在 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ( x) ?

x2 1 ? 2 x ? ? k ( x ? 1) 成立,求 k 的取值范围. 2 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时 请用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) (选 修 4 一 4:坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 (1, 0) ,倾斜角为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? =

8cos ? . 1 ? cos 2 ?

(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直 角坐标方程; (2)若 ? ?

?
4

,设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 ?AOB 的面积.

23. (本小题满分 10 分) (选修 4 一 5:不等式选讲) 设函数 f ( x) ? x ? 3 , g ( x) ? 2x ?1 . (1)解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若 2 f ( x) ? g ( x) ? ax ? 4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

数学(文科)参考答案
一、 选择题 题号 答案 二、填空题 1 A 2 D 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B 11 C 12 D

13. 6;

14. 3;

15.100;

16. y ? ?

3 x. 3

三、解答题: 17.(1)?

a b c ? ? . sin A sin B sin C

……2 分

由已知可得, 2sin C cos B ? 2sin A ? sin B,

则有2sin C cos B ? 2sin (B ? C) ? sin B.
? 2sin B cos C ? sin B ? 0,
? B为三角形的内角
……4 分

1 ?sin B ? 0. ? cos C ? ? . 2
?C ? 2? . 3
……6 分

又 ? C为三角形的内角,
(2)? S ?

1 3 1 ab sin C ? c,? c ? ab. ……8 分 2 2 2

又c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a2 ? b2 ? ab,
? a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 3ab. 4
……11 分 ……12 分

……10 分

? ab ? 12.

故 ab 的最小值为 12 .

18. (1)按分层抽样男生应抽取 80 名,女生应抽取 20 名.

? x ? 80 ? (5 ? 10 ? 15 ? 47) ? 3 , y ? 20 ? (2 ? 3 ? 10 ? 2) ? 3.
抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生,设为 A , B , C ; 两位女生设为 a ,b .从 5 名任意选 2 名, 总的基本事件有 (A, B) ,(A, C ) ,(A,a) ,(A, b) ( B, C ) ,

( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) , (a, b) ,共 10 个.
设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A ”. 则事件包含的基本事件有 (A,a) , (A, b) , ( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) 共 6 个.

? P(A) ?

6 3 ? ..........6 分 10 5

(2) 2 ? 2 列联表如下表: 男生 体育达人 非体育达人 总计 则 k2 ?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

女生 5 15 20

总计 55 45 100

50 30 80

n(ad? bc)2 100(50 ?15 ? 30 ? 5) 2 ? ? 9.091. (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d) 80 ? 20 ? 55 ? 45

2 ? 9.091 ? 6.635 且 P(k ? 6.635) ? 0.010 .

所以在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下可以认为“是否为?体育达人?与性别无关”. ...........12 分

19. (1)证明:连接 CD ,据题知 AD ? 4, BD ? 2.

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,??ACB ? 90? ,

? cos ?ABC ?

2 3 3 ? , 6 3

?CD2 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos?ABC ? 8 ?CD ? 2 2.
?CD 2 ? AD 2 ? AC 2 ,则 CD ? AB ,
..........4 分 ..........6 分 又因为 平面 PAB ? 平面 ABC ,所以 CD ? 平面PAB,?CD ? PD,

因为 PD ? AC , AC , CD 都在平面 ABC 内,所以 PD ? 平面 ABC ;..........8 分 (2)? ?PAB ?

? , ? PD ? AD ? 4, ? PA ? 4 2, 4

?在Rt?PCD中,PC? PD2 ? CD2 ? 2 6,

??PAC是等腰三角形, ?可求得S?PAC =8 2, 设点B到平面PAC的距离为d ,

..........10 分

[来源:学科网]

1 1 S ? PD ? S ?PAC ? d ? S ?ABC ? PD, ? d ? ?ABC 由VB?PAC ? VP? ABC, =3. 3 3 S?PAC
故点B到平面PAC的距离为3. ..........12分

). 20. (1) C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 可化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,则 圆心C为(-1,1
2 2

p ?p ? ? F ? ,0 ? ,? CF ? ( ? 1)2 ? (0 ? 1)2 ? 17, 解得p ? 6. 2 ?2 ?
∴抛物线的方程为 y ? 12x. .………4 分
2

(2) 设直线l为:x ? my ? t (t ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ).

联立可得y 2 ? 12my ? 12t ? 0. ? y1 ? y2 ? 12m, y1 ?y2 ? ?12t, ………5 分 ?OA ? OB,? x1x2 ? y1 y2 ? 0, ………6 分
即(m2 ?1) y1 y2 ? mt ( y1 ? y2 ) ? t 2 ? 0.

整理可得t 2 ? 12t ? 0 ,? t ? 0,? t ? 12. ………8 分 ?直线l的方程为:x ? my ? 12, 故直线l过定P(12,0). ………9 分 ?当CN ? l时,即动点M 经过圆心C(?1,1)时到动直线l的距离取得最大值.
当 CP ? l 时,即动点 M 经过圆心 C(-1,1)时到动直线 l 的距离取得最大值.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

k MP ? kCP ?

1? 0 1 1 ? ? ,? m ? , ………11 分 1 ? 12 13 13
1 y ? 12, 即为13 x ? y ? 156 ? 0. ………12 分 13

此时直线l的方程为:x ?

21. (1)由已知可得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

? f ?( x ) ?

1 1 1? x ? a, ? f ?(1) ? 1 ? a ? 0, ? a ? 1. ? f ?( x ) ? ? 1 ? , x x x

令f ?( x) ? 0得0 ? x ? 1, 令f ?( x) ? 0得x ? 1, ? f ( x)的单调递增区间为(0, 1 ),单调递减区间为(1, +?).
x2 1 x2 1 (1) 不等式 f ( x ) ? ? 2 x ? ? k ( x ? 1) 可化为 ln x ? ? x ? ? k ( x ? 1) , 2 2 2 2 x2 1 令g ( x) ? ln x ? ? x ? ? k ( x ? 1), ( x ? 1), 2 2
令g ?( x ) ? 1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? , x x

? x ? 1, 令h( x) ? ? x2 ? (1 ? k ) x ? 1, h( x )的对称轴为x ?
① 当

1? k , 2

1? k ? 1时,即k ? ?1, 易知h( x)在(, 1 x0 )上单调递减, 2

? h( x) ? h(1) ? 1 ? k ,

1 x0 )上单调递减, ? g ( x) ? g (1) ? 0 ,不 若k ? 1, 则h( x) ? 0, ? g ?( x) ? 0, ? g ( x)在(,
适合题意.

(, 1 x0 )时g?( x) ? 0, 若-1 ? k ? 1, 则h(1) ? 0, ?必存在x0使得x ? ? g( x)在(, 1 x0 )上单调递增, ? g ( x) ? g (1) ? 0恒成立,适合题意 .
② 当

1? k ? 1时,即k ? ?1, 易知必存在x0使得h( x)在(, 1 x0 )上单调递增, 2

1 x0 )上单调递增, ? h( x) ? h(1) ? 1 ? k ? 0, ? g ?( x) ? 0, ? g ( x)在(,
? g ( x) ? g (1) ? 0恒成立,适合题意.
综上, k 的取值范围是 ( ??,1).

22.(1)直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t为参数). ? y ? t sin ?

……2 分

?? ?

8cos ? 2 2 2 2 ,? ? sin ? ? 8cos? , ? ? sin ? ? 8? cos? , 即y ? 8x. 2 sin ?

……5 分

? 2 x ? 1? t, ? ? ? 2 (t为参数), (2)当 ? ? 时,直线 l 的参数方程为: ? 4 ?y ? 2 t ? 2 ?
代入 y ? 8x 可得 t ? 8 2t ?16 ? 0,
2
2

……6 分

设A、B两点对应的参数分别为t1, t2 , 则 t1 ? t1 ? 8 2, t1 ? t2 ? ?16
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? 8 3.
……8 分

又点O到直线AB的距离d ? 1? sin

?
4

?

2 , 2

? S?AOB ?

1 1 2 AB ? d ? ? 8 3 ? ? 2 6. 2 2 2

……10 分

23.(本小题满分 10 分)

(1)由已知,可得 x ? 3 ? 2x ?1 ,

即 x ? 3 ? 2x ?1 .

2

2

……1 分

则有:3x2 ?10 x ? 8 ? 0,

2 ? x ? ? 或x ? 4. 3

……3 分 ……4 分

2 故所求不等式的解集为: (??, ? ) ? (4, ??). 3

? ??4 x ? 5, x ? ?3, ? 1 ? (2)由已知,设h( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?7, ?3 ? x ? , 2 ? 1 ? 4 x ? 5, x ? . ? ? 2 ……6 分

当x ? ?3时,只需 ? 4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立,即ax ? ?4 x ? 9,
? x ? ?3 ? 0 ?a ? ?4 x ? 9 9 ? ?4 ? 恒成立. x x

9 ? a ? (?4 ? ) max ,? a ? ?1, x ……7 分
1 当 ? 3 ? x ? 时,只需7 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 3 ? 0恒成立. 2

?? 3a ? 3 ? 0 ?a ? ?1 ? 只需? 1 ,? ? ,? ?1 ? a ? 6. ……8 分 a ?3? 0 ?a ? 6 ? ?2
1 当x ? 时,只需4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 4 x ? 1. 2 1 4x ?1 1 ? x ? ? 0, ?a ? ? 4 ? 恒成立. 2 x x 1 ? 4 ? ? 4 ,且无限趋近于 4, x
? a ? 4.
……9 分

综上, a 的取值范围是 ( ?1, 4]. ……10 分


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