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(北师大版)高中数学必修2课件:2.1.1直线的倾斜角和斜率


数 学 必修2

第二章

解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升

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解析几何初步

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§1 1. 1

直线与直线的方程 直线的倾斜角和斜率

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升高量 日常生活中,常用坡度(坡度=前进量)表示倾斜程度.例如,“进 2 升 3”与 3 2 “进 2 升 2”比较,前者更陡一些,因为坡度2>2.

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[问题1]

对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直

线的倾斜程度?

[提示] 可以.
[问题2] 由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角

坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量?
[提示] 可以.

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1.理解直线的倾斜角与斜率的概念. 2.掌握倾斜角与斜率的对应关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式.

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确定直线位置的几何条件

一个点 在平面直角坐标系中, 确定直线位置的几何条件是: 已知直线上的 ________

方向 . 和这条直线的_____

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直线的倾斜角的概念和范围 (1)直线 l 的倾斜角的概念

相交 的直线 l,把 x 轴(正方向)按 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴______ 逆时针方向 绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线 l 的倾斜角.当 ____________ 0° 直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为____.
(2)直线 l 的倾斜角的范围

α 表示,其取值范 .倾斜角通常用___ 当直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为 0° 0°≤α<180° . 围为_______________

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[强化拓展] (1)直线的倾斜角是一个几何概念,它只是从“形”的角度刻画平面直角坐标 系内一条直线的倾斜程度. (2)平面直角坐标系中每一条直线都有唯一确定的倾斜角,而且倾斜程度相同 的直线其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不等.

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斜率的概念及斜率公式 (1)斜率的概念

tan α 叫作直线的斜率. 正切值 ,通常把________ 斜率 k 是直线倾斜角 α 的________
(2)斜率与倾斜角的关系

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图示

倾斜角(范围) 斜率(范围)

α=0°
k=0 ________

0° <α<90°
k>0 ________

90° α=______

90° <α<180°
k< 0 ________

不存在

(3)过两点的直线的斜率的计算公式

y2-y1 k= x2-x1 . 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的斜率公式为___________

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[强化拓展] (1)关于直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与其斜率是刻画直线位置状态的两种基本量,决定了这条直线 相对于 x 轴正方向的倾斜程度,两者之间存在以下关系: ①所有的直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率. ②当倾斜角 0° ≤α<90° 时,斜率是非负的,倾斜角越大,直线的斜率就越大; <α<180° ③当倾斜角 90° 时,斜率是负的,倾斜角越大,直线的斜率就越大.

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(2)关于过两点的直线的斜率公式 ①斜率公式与 P1,P2 两点的位置无关(即在直线 l 上任取两点 P1、P2,其斜率 均不变),而与两点相应坐标的差的顺序有关. ②斜率计算公式反映了直线倾斜角同斜率间的对应关系.运用斜率公式的前 提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与 x 轴垂直,而当直线与 x 轴垂直时,直线 的倾斜角为 90° ,其斜率不存在. ③利用斜率可以求直线上的点的坐标,反之也可以由斜率及有关点的坐标来 确定相关的参数.

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[自主练习] 1.有下列说法: ①任何一条直线都有唯一的倾斜角; ②任何一条直线都有唯一的斜率; ③倾斜角为 90° 的直线不存在; ④倾斜角为 0° 的直线只有一条. 其中正确的有( A. 0 个 C. 2 个 ) B.1 个 D. 3 个

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解析:

由倾斜角定义知①正确;③④不正确;由斜率定义知倾斜角为 90°

的直线斜率不存在,故②不正确.

答案:

B

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3 2.(2015· 台州高一检测)直线 l 的倾斜角是斜率为 3 的直线的倾斜角的 2 倍, 则 l 的斜率为( A. 1 2 3 C. 3 ) B. 3 D.- 3

解析:

3 ∵tan α= 3 ,0° ≤α<180° ,

∴α=30° ,∴2α=60° ,∴k=tan 2α= 3.故选 B.

答案:

B

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7 3.已知点 M(5,3)和点 N(-3,2),若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和-4, 则点 P 的坐标为________.
? ?y-3 ?x-5=2, 设 P(x,y),则? 7 ?y-2 ? ?x+3=-4,

解析:

解得 x=1,y=-5.

答案:

(1,-5)

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4.(2015· 西宁高一检测)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3, a3)共线,求 a.
解析: A,B,C 三点共线,∴kAB=kBC,

a2-?-a? a3-a2 即 2-1 = 3-2 ,∴a2+a=a3-a2, ∵a>0,∴a2-2a-1=0.∴a=1+ 2.

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合作探究· 课堂互动

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直线的倾斜角 (1)已知直线 l 的倾斜角为 β-15° ,则下列结论中正确的是( A.0° ≤β<180° C.15° ≤β<180° B.15° <β<180° D.15° ≤β<195° )

(2)已知直线 l1 的倾斜角为 α1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 α2 为 ________.

[思路探究]

1.直线倾斜角α的范围是什么?

2.关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗 ?

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[边听边记] (1)因为直线 l 的倾斜角为 β-15° , <180° . 所以 0° ≤β-15° ,即 15° ≤β<195° (2)当 α1=0° <α1<180° 时,α2=0° ,当 0° 时,α2=180° -α1.

答案:

(1)D

(2)0°或180°-α1

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[规律方法]

求直线倾斜角的方法及关注点

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1. (1)若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30° 角, 则直线 l 的倾斜角为( A.30° C.30° 或 150° B.60° D.60° 或 120°

)

(2)图中各标注的直线的倾斜角是否正确?为什么?

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解析:

(1)如图,直线 l 有两种情况,故 l 的倾斜角为 60° . 或 120°

(2)图①中的角 α 的一边取的是 x 轴的负方向,因此标注 不正确; 图②中的角 α 的一边取的是直线向下的方向,因此标注 不正确; 图③中的角 α 的两边分别取的是 x 轴的负方向和直线向下的方向,因此标注 不正确,但是它的大小等于直线的倾斜角; 图④中的角 α 是 y 轴正方向与直线向上方向所成的角,因此标注不正确.

答案:

(1)D

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直线的斜率 (1)已知过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为 135° ,则 y= ________; (2)过点 P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 的值为________; (3)已知过 A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为 1,则 m 的值为________.
[思路探究] 1.已知直线的倾斜角为 α,如何求直线的斜率?

2.已知两点的坐标,如何求经过两点的直线的斜率?

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解析:

(1)直线 AB 的斜率 k=tan 135° =-1,

-3-y - 3- y 又 k= 2-4 ,由 2-4 =-1,得 y=-5. 4-m (2)由斜率公式 k=m+2=1,得 m=1. (3)当 m=3 时,直线 AB 平行于 y 轴,斜率不存在. - 2- 1 3 当 m≠3 时,k= m-3 =-m-3=1,解得 m=0.

答案:

(1)-5

(2)1

(3)0

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[规律方法]

求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法

(1)已知两点坐标求直线的斜率时,首先应检验其横坐标是否相等,若相等, 其斜率不存在;若不相等,可用公式来求. (2)α=0° <α<90° <α<180° ?k=0;0° ?k>0;90° ?k<0;α=90° ?斜率不存在; 若求 α 的具体值,可用公式 k=tan α 求解.

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2.(1)已知直线的倾斜角,求直线的斜率. . ①α=0° ;②α=60° ;③α=90° (2)求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α. ①P1(-2,0),P2(-5,3); ②P1(-2,3),P2(-2,8); ③P1(5,-2),P2(-2,-2).

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解析:

(1)①因为 tan 0° =0,所以倾斜角为 0° 的直线斜率为 0.

②因为 tan 60° = 3,所以倾斜角为 60° 的直线斜率为 3. ③因为 tan 90° 不存在,所以倾斜角为 90° 的直线斜率不存在. 3-0 (2)①k=-5-?-2?=-1,即 tan α=-1, . 所以 α=135° . ②斜率不存在,α=90° -2-?-2? . ③k= -2-5 =0,所以 α=0°

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直线倾斜角与斜率的综合应用 已知直线 l 过 P(-2,-1),且与以 A(-4,2),B(1,3)为端点的线段 相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

[思路探究]

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[规范解答]

根据题中的条件可画出图形,如图所示:

3分

3 又可得直线 PA 的斜率 kPA=-2, 4 直线 PB 的斜率 kPB=3.6 分 结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时, 它的倾斜角逐渐增 大到 90° ,

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?4 ? ? ,+ ∞ 故斜率的取值范围为? ?3 ?.8



当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时, 它的倾斜角由 90° 增大到 PA 的倾斜角,
? 3? ? - ∞ ,- 故斜率的变化范围是? 2 ? ?.10



综上可知,直线 l 的斜率的取值范围是
? ? 3? ?4 ? ? ? ? - ∞ ,- ,+ ∞ ∪ 2 3 ? ? ? ?.12



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[规律方法]

(1)斜率的求法: ①已知倾斜角可用 k=tan θ 去求, 注意 θ≠90° ;

y2-y1 ②已知直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),可用 k=x2-x1,注意 x1≠x2. (2)斜率的坐标公式中与两点顺序无关, 但与两点的坐标顺序有关, 必须一致.

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[特别提醒] 在[0° )范围内的一些特殊角的正切值要熟记. ,180° 倾斜角 α 斜率 k 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 0 3 3 1 3 - 3 -1 3 -3

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3.(1)若直线经过三点 A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1),求 a 的值; 1 1 (2)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,求a+b的值.

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解析:

(1)由题意可知,直线 AC 的斜率存在,又 A,B,C 三点共线,则

3 4 5 kAB=kAC,即a-1=-3,所以 a=-4. (2)由于 A,C 两点横坐标不相等,故直线 AC 的斜率存在, 2-b 2 又 A,B,C 三点共线,于是有2-a= 2 , 1 由此可得 a+b=2ab, 1 1 1 两边同时除以 ab(ab≠0),得a+b=2.

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◎求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角 α 的取值范围.
【错解】 3-2 1 由斜率公式可得 k=m-1=m-1.

1 . ①当 m>1 时,k=m-1>0,所以直线的倾斜角的取值范围是 0° <α<90° 1 ②当 m<1 时,k=m-1<0, . 所以直线的倾斜角的取值范围是 90° <α<180°

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【错因】 由于本题中含有参数 m,故需要对 m 的取值情况进行讨论.在上 述解题过程中遗漏了 m=1 的情况,当 m=1 时,斜率不存在.

【正解】

. 当 m=1 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 α=90°

3-2 1 当 m≠1 时,由斜率公式可得 k=m-1=m-1. 1 . ①当 m>1 时,k=m-1>0,所以直线的倾斜角的取值范围是 0° <α<90° 1 . ②当 m<1 时,k=m-1<1,所以直线的倾斜角的取值范围是 90° <α<180°

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