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尚义县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

尚义县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 抛物线 y2=2x 的焦点到直线 x﹣ A. B. C. D. y=0 的距离是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定 正确的是( ) B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 ) D.以上都不对 ) A.f(x)为奇函数

  2 3. f ? x ? ? 2 ? a x ? a 在区间 ? 0,1? 上恒正,则的取值范围为(

?

?

A. a ? 0 A.1 B.2 C.3

B. 0 ? a ? D.4

2

C. 0 ? a ? 2

4. 随机变量 x1~N(2,1),x2~N(4,1),若 P(x1<3)=P(x2≥a),则 a=(   5. 设集合 A={x|2x≤4},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B 等于( A.(1,2) B.[1,2] A.m?α,n∥m?n∥α C.[1,2) D.(1,2] )



6. 已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( B.m?α,n⊥m?n⊥α

C.m?α,n?β,m∥n?α∥β D.n?β,n⊥α?α⊥β   7. 函数 y=f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,且函数 y=f(x)在点 p(x0,f(x0))处的切线为 l:y=g(x) =f′(x0)(x﹣x0)+f(x0) ,F(x)=f(x)﹣g(x) ,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且 a< x0<b,那么( )

A.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0 不是 F(x)极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0 是 F(x)极值点  
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8. 设双曲线焦点在 y 轴上,两条渐近线为 A.5 B. C.

,则该双曲线离心率 e=( D.



9. 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示,这种框图通常称为( A.程序流程图 A. B. B.工序流程图 C. D. ) C.知识结构图 ) D.组织结构图 10.正方体的内切球与外接球的半径之比为(



11.某人以 15 万元买了一辆汽车,此汽车将以每年 20%的速度折旧,如图是描述汽车价值变化的算法流程图, 则当 n=4 吋,最后输出的 S 的值为(

A.9.6

B.7.68 C.6.144D.4.9152 ) D. ?2,5? B. ?1,3,5? C. ?2, 4,5?

12.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , A ? ?2, 4, 6? , B ? ?1,3,5, 7? ,则 A ? (? U B) ? ( A. ?2, 4, 6?

二、填空题
13.抛物线 y= x2 的焦点坐标为( A.(0,   14.函数 f(x)= (x>3)的最小值为  . ) B.( ,0) ) C.(0,4) D.(0,2)

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15.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一 次试验中发生的概率 P 的取值范围是  . 16.数列{ an}中,a1=2,an+1=an+c(c 为常数),{an}的前 10 项和为 S10=200,则 c=________. 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且满足对任意的实数 x 都有 f[f(x)﹣2x]=6,则 f(x)+f(﹣x) 的最小值等于      .   18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣1<a3<1,0<a6<3,则 S9 的取值范围是      .  

三、解答题
19.已知定义域为 R 的函数 (1)求 f(x); (2)判断函数 f(x)的单调性(不必证明); (3)解不等式 f(|x|+1)+f(x)<0. 是奇函数.

20.已知函数 f(x)=xlnx,求函数 f(x)的最小值.

21.本小题满分 12 分已知椭圆 C 的离心率为

6 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 2. 3

Ⅰ求椭圆 C 的长轴长; Ⅱ过椭圆 C 中心 O 的直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点 A 、 B 不是椭圆 C 的顶点,点 M 在长轴所在直线上,且

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???? ?2 ??? ? ???? ? OM ? OA ? OM ,直线 BM 与椭圆交于点 D,求证:AD ? AB。 2

22.本小题满分 12 分 设函数 f ( x) ? e ? a ln x
x

Ⅰ讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点个数; Ⅱ证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln a

23.一艘客轮在航海中遇险,发出求救信号.在遇险地点 A 南偏西 45 方向 10 海里的 B 处有一艘海
?

难搜救艇收到求救信号后立即侦查,发现遇险客轮的航行方向为南偏东 75 ,正以每小时 9 海里的速度向
?

一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时 21 海里. (1)为了在最短的时间内追上客轮,求海难搜救艇追上客轮所需的时间; (2)若最短时间内两船在 C 处相遇,如图,在 ?ABC 中,求角 B 的正弦值.

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24.(本小题满分 12 分)一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l2 : 3 x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点, 当 P 点为 ? 0, 0 ? 时, 求此直线方程.

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尚义县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:抛物线 y2=2x 的焦点 F( ,0), 由点到直线的距离公式可知: F 到直线 x﹣ y=0 的距离 d= = ,

故答案选:C.   2. 【答案】C 【解析】解:∵对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=﹣1 ∴令 x1=x,x2=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x)+1, ∴f(x)+1=﹣f(﹣x)﹣1=﹣[f(﹣x)+1], ∴f(x)+1 为奇函数. 故选 C 【点评】本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.   3. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,根据一次函数的单调性可知,函数 f ? x ? ? 2 ? a

?

2

? x ? a 在区间 ?0,1? 上恒正,则

?a ? 0 ? f (0) ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? a ? 2 ,故选 C. ? 2 ? f (1) ? 0 ?2 ? a ? a ? 0
考点:函数的单调性的应用. 4. 【答案】C 【解析】解:随机变量 x1~N(2,1),图象关于 x=2 对称,x2~N(4,1),图象关于 x=4 对称, 因为 P(x1<3)=P(x2≥a), 所以 3﹣2=4﹣a, 所以 a=3, 故选:C. 【点评】本题主要考查正态分布的图象,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.

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  5. 【答案】D 【解析】解:A={x|2x≤4}={x|x≤2}, 由 x﹣1>0 得 x>1 ∴B={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1} ∴A∩B={x|1<x≤2} 故选 D.   6. 【答案】D 【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.   7. 【答案】 B 【解析】解:∵F(x)=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0), ∴F'(x)=f'(x)﹣f′(x0) ∴F'(x0)=0, 又由 a<x0<b,得出 当 a<x<x0 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)<0, 当 x0<x<b 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)>0, ∴x=x0 是 F(x)的极小值点 故选 B. 【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即当函数取到极值时导函数一定等于 0,反之当导函数 等于 0 时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值.   8. 【答案】C 【解析】解:∵双曲线焦点在 y 轴上,故两条渐近线为 y=± x, 又已知渐近线为 ,∴ = ,b=2a,

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故双曲线离心率 e= = 故选 C.

=

=



【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,判断渐近线的斜率 = ,是解题的关键 .   9. 【答案】D 【解析】解:用来描述系统结构的图示是结构图, 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示. 故选 D. 【点评】本题考查结构图和流程图的概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.   10.【答案】C 【解析】解:正方体的内切球的直径为,正方体的棱长,外接球的直径为,正方体的对角线长, 设正方体的棱长为:2a,所以内切球的半径为:a;外接球的直径为 2 所以,正方体的内切球与外接球的半径之比为: 故选 C   11.【答案】C 【解析】解:由题意可知,设汽车 x 年后的价值为 S,则 S=15(1﹣20%)x, 结合程序框图易得当 n=4 时,S=15(1﹣20%)4=6.144. 故选:C.   12.【答案】A a,半径为: a,

考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目.

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二、填空题
13.【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 把抛物线的方程化为标准形式是关键.   14.【答案】 12 . 【解析】解:因为 x>3,所以 f(x)>0 由题意知: = ﹣ =t﹣3t2

令 t= ∈(0, ),h(t)=

因为 h(t)=t﹣3t2 的对称轴 x= ,开口朝上知函数 h(t)在(0, )上单调递增,( , )单调递减; 故 h(t)∈(0, 由 h(t)= 故答案为:12   15.【答案】 [ ] . ] ≥12

?f(x)=

【解析】解:由题设知 C41p(1﹣p)3≤C42p2(1﹣p)2, 解得 p ∵0≤p≤1, ∴ , ]. ,

故答案为:[   16.【答案】

【解析】解析:由 a1=2,an+1=an+c,知数列{an}是以 2 为首项,公差为 c 的等差数列,由 S10=200 得 10×2+10 × 9×c=200,∴c=4. 2 答案:4

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17.【答案】 6 . 【解析】解:根据题意可知:f(x)﹣2x 是一个固定的数,记为 a,则 f(a)=6, ∴f(x)﹣2x=a,即 f(x)=a+2x, ∴当 x=a 时, 又∵a+2a=6,∴a=2, ∴f(x)=2+2x, ∴f(x)+f(﹣x)=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4 ≥2 +4=6,当且仅当 x=0 时成立, ∴f(x)+f(﹣x)的最小值等于 6, 故答案为:6. 【点评】本题考查函数的最值,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.   18.【答案】 (﹣3,21) . 【解析】解:∵数列{an}是等差数列, ∴S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d)=(x+y)a1+(2x+5y)d, 由待定系数法可得 ∵﹣3<3a3<3,0<6a6<18, ∴两式相加即得﹣3<S9<21. ∴S9 的取值范围是(﹣3,21). 故答案为:(﹣3,21). 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法,属于 中档题.   ,解得 x=3,y=6.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 从而有 经检验,符合题意;… =0,解得 b=1; ;…

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(2)由(1)知,f(x)=

=﹣ +



由 y=2x 的单调性可推知 f(x)在 R 上为减函数; … (3)因为 f(x)在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 f(1+|x|)+f(x)<0 等价于 f(1+|x|)<﹣f(x), 即 f(1+|x|)<f(﹣x); … 又因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 1+|x|>﹣x,… 解得 x∈R.…   20.【答案】 【解析】解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得 f′(x)=1+lnx 令 f′(x)=1+lnx=0,可得 ∴0<x< 时,f′(x)<0,x> 时,f′(x)>0 ∴ 时,函数取得极小值,也是函数的最小值 = =﹣ .

∴f(x)min=

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.   21.【答案】 【解析】Ⅰ由已知
c 6 ? , a 2 ? b 2 ? 4 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 3, b 2 ? 1 , a 3

所以椭圆 C 的长轴长 2 3 Ⅱ以 O 为坐标原点长轴所在直线为 x 轴建立如图平面直角坐标系 xOy , x2 不妨设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,则由 1 可知椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ; 3 设 A ( x1 , y1 ) ,D ( x2 , y2 ) ,则 A ( ? x1 , ? y1 )

???? ?2 ??? ? ???? ? OM ∵ ? OA ? OM 2

∴M (2 x1 , 0)

根据题意,BM 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 2 x1 ) ,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 2 联立 ? 3 ,消去 y 得 (1 ? 3k ) x ? 12k x1 x ? 12k x1 ? 3 ? 0 , ? y ? k (x ? 2x ) ? 1
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? ? (?12k 2 x1 ) 2 ? 4(1 ? 3k 2 )(12k 2 x12 ? 3) ? 12(?4k 2 x12 ? 1 ? 3k 2 ) ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

12k 2 x1 12k 2 x12 ? 3 , ? x ? x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ? y k ( x2 ? 2 x1 ) ? k (? x1 ? 2 x1 ) k ( x2 ? 5 x1 ) 4kx1 1 k AD ? 2 1 ? ? ?k? ?? 2 12k x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 3k 2 1 ? 3k y1 ?k (? x1 ? 2 x1 ) k AB ? ? ? 3k x1 x1
∴AD ? AB

? k AD ? k AB ? ?1
22.【答案】

【解析】:Ⅰ f '( x) ? e ?
x

a ,因为定义域为 (0, ??) , x

a x x x 有解 即 xe ? a 有解. 令 h( x) ? xe , h '( x) ? e ( x ? 1) , x 当 x ? 0, h '( x) ? 0, h(0) ? 0 ? h( x) ? 0 f '( x) ? 0 ? e x ?
所以,当 a ? 0 时, f '( x) ? 0, 无零点; 当 a ? 0 时,有唯一零点. Ⅱ由Ⅰ可知,当 a ? 0 时,设 f '( x) 在 (0, ??) 上唯一零点为 x0 , 当 x ? ( x0 , ??), f '( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 为增函数;

a ? e x0 x0 ? a x0 a a a a ? f ( x0 ) ? e x0 ? a ln x0 ? ? a ln x0 ? ? a (ln a ? x0 ) ? ? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a x0 e x0 x0
当 x ? (0, x0 ) , f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, x0 ) 为减函数.? e
x0

?

23.【答案】(1) 【解析】

3 3 2 小时;(2) . 14 3

试 题解析:(1)设搜救艇追上客轮所需时间为小时,两船在 C 处相遇. 在 ?ABC 中, ?BAC ? 45 ? 75 ? 120 , AB ? 10 , AC ? 9t , BC ? 21t .
? ? ?

cos ?BAC , 由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB AAC A
2 2 2

所以 (21t ) ? 10 ? (9t ) ? 2 ? 10 ? 9t ? ( ? ) ,
2 2 2

1 2

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2 5 或t ? ? (舍去). 3 12 2 所以,海难搜救艇追上客轮所需时间为 小时. 3 2 2 (2)由 AC ? 9 ? ? 6 , BC ? 21? ? 14 . 3 3
化简得 36t ? 9t ? 10 ? 0 ,解得 t ?
2

在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin B ? 所以角 B 的正弦值为

AC A sin ?BAC 6A sin120 ? ? BC 14
?

6?

3 2 ?3 3. 14 14

3 3 . 14

考点:三角形的实际应用. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用,其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用,注重 考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力, 属于中档试题, 本题的解答中, 可先根据题意, 画出图形,由搜救艇和渔船的速度,那么可设时间,并用时间表示 AC , BC ,再根据正弦定理和余弦定理,即 可求解此类问题,其中正确画出图形是解答的关键. 24.【答案】 y ? ? 【解析】 试题分析:设所求直线与两直线 l1 , l2 分别交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,根据因为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 分别在直线

1 x. 6

l1 , l2 上,列出方程组,求解 x1 , y1 的值,即可求解直线的方程. 1

考点:直线方程的求解.

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