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类比探究性问题


初步感知
1.(2012年河南22)如图1,在四边形ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上
一点,BF的延长线交射线CD于点G。 若

(1)尝试探究

CD AF = 3, 求 的值. CG EF

A F

D G C D

在图1中,过点E作EH // AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系 是__,CG和EH的数量关系是____, CD 的值是 ______. CG

B
A

E

(2)类比延伸

AF CD 如图2,在原题的条件下,若 = m (m>0), 则 的值是____ CG EF (用含m的代数式表示),试写出解答过程.

F
B E

G C E C F

(3)拓展迁移

如图3,梯形ABCD中,DC // AB,点E是BC的延长线上一点, AE和BD相交于点F,若
AB BC AF = a, = b (a>0,b>0), 则 的值 CD BE EF

D

是_________________(用含a、b的代数式表示). A B

2.(2013河南22)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,
其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.

初步感知

B(E)

B

(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转, 当点D恰好落在AB边上时,填空: ①线段DE与AC的位置关系是_________; ②设△BDC的面积为 S1,△AEC的面积为 S 2 , 则 S1与 S 2的数量关系是___.

D A(D) C A C

B
D C A D

(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中

NM A

S1与 S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和
△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB交 BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使 S ?DCF ? S ?BDE ,请直接 写出相应的BF的长.

E

B

E

C

题型特征
类比探究题以几何综合题为主,题目一般有三问或 更多,每小问的条件、结论和图形相似度很高,由特 殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步 深入。

问题探究
例.(2010河南22) (1)操作发现 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,

且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗? 说明理由; (2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求 (3)类比探究

AD 的值; AB

AD 保持(1)中的条件不变,若DC=nDF,求 的值. AB

A

E

D

F
B G

C

(1)操作发现 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE 折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将 BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理 由; E
1 2

A

D F

A

E

D
F

B

3 4

G

C

B

G

C

(2)问题解决
保持(1)中的条件不变, 若DC=2DF,求 AD 的值; AB

A

E

D F G

B
(3)类比探究

C D

保持(1)中的条件不变,
若DC=nDF,求AD 的值;
AB

A

E

F
G B C

(2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求 AD 的值; AB

A

E

x
G

a
C

D F

B

(3)类比探究 保持(1)中的条件不变,若DC=nDF,求
AD 的值; AB

A

E

D F G

B

C

过程示范:
A
2a

E

a
2a

D

A

E
a

D
a

a
G

F

类比

na

B

a

na
2 na

F C

G (n ? 1)a

C

2 2a

B

22 22 解:设FD=a, ? BC ?? BF ?? FC ? BC BF FC ∴由(1)知,GF=DF,则GF=a 2 2 22

又∵在矩形ABCD中, =2DF DC=n ∴CF=a, AB=CD =2a CF=(n-1)a , AB=CD =na 由折叠可知,BG=AB=na 2a ∴在RtΔBFC中,

? ((n 3a a ? (n ? 1)2 a 2 ? ?)1)?a ?2 2 na 2a ?

2a 2 n AD 2 na ? ? ? 2 2a AB na n

A
2a
5

x
1

E x
4

D F

A
na

x

E

x

D
a

2 3

a 类比 a
G

F
(n ? 1) a

B

G

C

B

C

解:由(1)知,∠3=∠4 ∴设FD =a ,则 =(n-1) ∴设 FD =CF a, 则 CF=a,AB=na a,AB=2a 由折叠可知,∠1=∠2 又∵点E是AD的中点 ∴∠2+∠3=90°,即∠BEF=90° ∴设AE=x, 则ED=x ∴∠1+∠4=90° 2a a x n ?x ? n 2a 又∵在RtΔABE中,∠1+∠5=90° ? ? a x ∴∠4=∠5 又∵∠A=∠D=90° AD 2 na 2a 2 n ? ? ? 2 ∴RtΔABE∽RtΔDEF AB 2a na n 又∵DC=nDF 2DF

变式训练: (2014新乡一模填空第15题)
如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,

将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩
形ABCD内部.延长AF交边BC于点G,若CG ? 1 ,

AD 则 ? AB

2

.

GB

7

课堂检测
(1)问题背景

如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D,
过点C作CE⊥BD,交直线BD于E.请直接写出线段BD与CE的数量关系.(事

实上,我们可以延长CE与直线BA相交,通过三角形的全等等知识解决问题.)

(2)类比探索
在(1)中,如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线, 其他条件均不 变(如图2),(1)中的结论还成立吗?

若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)拓展延伸
在(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),其他 条件均不变(如图3),请你直接写出BD与CE的数量关系. 结论:BD= CE(用含n的代数式表示).

(1)问题背景 如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC 的平分线交直线AC于D,过点C作CE⊥BD,交直线BD 于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上,我们 可以延长CE与直线BA相交,通过三角形的全等等知识 解决问题.)
M

BD=2CE

图1

(2)类比探索 在(1)中,如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的 平分线,其他条件均不变(如图2),(1)中的结论 还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请 说明理由; BD=2CE

M

(3)拓展延伸

在(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),
其他条件均不变(如图3),请你直接写出BD与CE

的数量关系.结论:BD=
表示).
ΔBAD∽ΔCAM

2n CE(用含n的代数式

即 BD=nCM

BD AB ? ?n CM AC

ΔBCM是等腰三角形 CM=2CE ∴ BD=2nCE

M

方法总结
M

C

M

ΔBAD≌ΔCAM ΔBCM是等腰三角形

ΔBAD≌ΔCAM ΔBCM是等腰三角形

ΔBAD∽ΔCAM ΔBCM是等腰三角形

M

类比

类比

题型变式:
(2014新乡一模第22题)在正方形ABCD中,对角线 AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不与点B重合), 1 ∠BPE= ∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE, 2 垂足为F,交AC于点G. (1)当点P与点C重合时(如图1),求证:
A G F E B C(P)
ΔBAD≌ΔCAM

△BOG≌△POE;

D

M

O

BF 1 (2)通过观察、测量,猜想: = PE 2 并结合图2证明你的猜想;
A G
M



D
M

O
N

F E B

BD=2CE

P PE=2BF

C

(3) 把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),

若∠ACB=? ,请直接写出 BF 的值(用含? 的式子表示)

A G
M N

PE

D O

分析: ΔBMN∽ΔPEN ΔBPM是等腰三角形

F B

E P C

方法总结
A G F E B C(P) B O D

A G

DA
G O

D

M
F E

O

M
F E B

N
P C

N
P

C

ΔBPG是等腰三角形 ΔBOG≌ΔPOE

ΔBPM是等腰三角形 ΔBMN≌ΔPEN

ΔBPM是等腰三角形 ΔBMN∽ΔPEN

类比

类比

课堂小结 谈谈本节课你有哪些收获?

还有什么疑问?

作业布置
必做题:2013河南中考第22题

选做题:对河南2005—2013年的河南中考试题 收集、整理此类题目,进行分类、归纳总结.

谢谢指导 ~ ~


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