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10. 数列中简易数论问题的研究


专题:数列中简易数论问题的研究
一、问题提出 问题 1:设 a1 , a2 , ???, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ??? ? a50 ? 9 ,

(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ? ??? ? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1 , a2 , ???, a50 中数字 0 的个数为

.7

问题 2:已知 a, b, c, d 是正整数, a ? b ? c ? d , d ? a ? 7 ,若 a , b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数列,则这 四数依次为 .

问题 3:已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N ,总存在 m ? N ,使得
* *

am ? 3 ? bn 成立,则 an ?

.. 5n ? 3 .

问题 4:一个正数,它的小数部分、整数部分及它本身,依次构成等比数列,则这个正数为 问题 5:设等比数列 a, aq, aq2 ,?, 其中 q 是整数,试问数列中存在三项构成等差数列吗?

二、思考探究 探究 1:设 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列. (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ? N ? ,使 am ? am?1 ? ak ?

1 (2)数列 {bn } 中,若 b1 ? 1 ,公比 q ? (0, ) ,且 ?k ? N ? ,bk ? bk ?1 ? bk ? 2 仍是 {bn } 中的项,则 q ? 2
(3) {an } 满足 a1 ? 1, d ? 2, 试证明任给 m ? N? ,总存在 p ? N? 使 a1 , am , ap 成等比数列. 探究 2:已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

.

(2)找出所有数列 ?an ?和 ?bn ?,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由. an

探究 3: 从数列 {an } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 {an } 的一个子数 列.设数列 {an } 是一个首项为 a1 、公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a2 , a 5 成等 比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7 d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项,试问该数列是 否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由.

探究 4:设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、 b 、 p 是
*

常数) (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问是否存在封闭数列 ?an ? , 对任意 n ? N ,且都有 Sn ? 0 ,
*

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? 12 S1 S2 S3 Sn 18

若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由 解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ② ②-①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an , 在①中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴ ①

an ?1 ? 3, an
3n ? 1 2
③ ④

数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ④-③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,



用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 , ⑥ ⑥-⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 {an } 是等差数列 ∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 9?3

(3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。 又 ?an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
? ?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,
又由已知,

18 1 1 11 ? ? ,故 ? a1 ? 12 11 12 S1 18

一 方 面 , 当

18 ? a1 ? 12 时 , Sn ? ( n n ?1 11

a1 ? ? ) 0 , 对 任 意 n ? N* , 都 有

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1



1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1 1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意 S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

取 n ? 2 ,则

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18


18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

三、真题链接 1.(2009 年江苏高考题)设

?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1,令 bn ? an ? 1(n ? 1,2,?) 若数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q ? ____ . ?9

2.(2014 年江苏高考题)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? a m , 则称 {a n } 是“H 数列”. (1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {a n } 是“H 数列”; (2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {a n } 是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列” {bn } 和 {c n } ,使得 a n ? bn ? c n ( n ? N ? )成立. (1) 证明:由已知,当 n ? 1 时, an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,于是对任意的正整数 n,总存在正整数
m ? n ? 1 ,使得 Sn ? 2n ? am ,所以 ?an ? 是“H 数列”.

(2) 解法一(官方解答) :由已知,得 S2 ? 2a1 ? d ? 2 ? d ,因为 ?an ? 是“H 数列”,所以存在正整 数 m,使得 S2 ? am , 即 2 ? d ? 1 ? ? m ? 1? d ,于是 ? m ? 2? d ? 1 . 因为 d ? 0 ,所以 m ? 2 ? 0 ,故 m ? 1 ,从而 d ? ?1 . 当 d ? ?1 时, an ? 2 ? n , S n ?
n ?3 ? n? 2

是小于 2 的整数, n ? Ν* .
n ?3 ? n? 2

于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m ? 2 ? S n ? 2 ?

,使得 Sn ? 2 ? m ? am ,

所以 ?an ? 是“H 数列”,因此 d 的值为 ?1 . 解法二:由 {an } 是首项为 1 的等差数列,则 am ? 1 ? (m ? 1)d , Sn ? n ? 又数列是“H 数列”,不妨取 n ? 2 时,存在满足条件的正整数 m , 使得 1 ? (m ? 1)d ? 2 ? d ,即 (m ? 2)d ? 1 , (i)当 m ? 3 时,此时 d ? 0 ,不符合题意,应舍去; (ii)当 m ? 2 时,不存在满足条件的 d ; (iii)当 m ? 1 时, d ? ?1 . 此时数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n , 下面我们一起来验证 {an } 为“H 数列”:
an ? 2 ? n ; Sn ?

n2 ? n d, 2

3n ? n2 4 ? 3n ? n2 ,此时 m ? ,容易验证 m 为正整数. (江苏苏州 何睦) 2 2
n2 ? n d; 2

解法三:由题意设 am ? 1 ? (m ? 1)d ;又等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ?

由题意知对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am , 1 ? (m ? 1)d ? n ? 那么 m 随着 n 的变化而变化,可设满足函数关系式 m ? f (n) .

n2 ? n ; d (*) 2

1 又 d ? 0 ,那么要使(*)对任意自然数 n 恒成立,则 m ? f (n) ? n2 ? Bn ? C ; 2
d ? 1 d n2 ? Bd ? 1 ? 代入得: n2 d ? Bnd ? (1 ? d ? Cd ) ? n(1 ? ) ? d ,即有 ? ; 2 2 2 2 ? ?1 ? d ? Cd ? 0
又当 n ? 1 时, m ? n ? 1 ,即 此时 an ? 2 ? n .

1 3 ? B ? C ? 1 ,由此可以解得 B ? ? , C ? 2 , d ? ?1 . 2 2

(江苏苏州 王耀)

解法四: ?n ? N , Sn ? am ,所以 Sn ?1 ? am? (n ? 2) ,由题意得 Sn ? Sn?1 ,所以 am ? am? ,即 m ? m? . 对于任意的 n ,存在 m, m? 使得 an ? am ? am? , 即 1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (m ? 1)d ? [1 ? (m? ? 1)d ] , 化简可得 n ? m ? m? ? 当 d ? ?1 时,此时

1 ? 1 .(*) d

1 不是整数,此时(*)式不满足; d 1 ? 1 ,而 m ? m? ? 0 , d

当 ?1 ? d ? 0 时,此时 ? 所以 n ? m ? m? ?

1 ? 1 ? 3 恒成立,不对 ?n ? N 恒成立,所以 d ? ?1 . (江苏兴化 顾卫) d

解法五:由 {a n } 是首项为 1 的等差数列,且数列 {a n } 是“H 数列”, 则 S2 ? 1 ? a2 ? a2 ,又 d ? 0 ,所以 S2 ? 1 ? a2 ? a1 ? 1 ,则 a2 ? 0 ,从而 d ? a2 ? a1 ? ?1,

此时 an ? 2 ? n , S n ? ?

1 2 3 n 2 ? 3n ? 4 n ? n ,由 Sn ? am 得, m ? 为正整数, 2 2 2

从而数列 {a n } 是“H 数列”. (江苏常州 封中华) (3) 解法一(官方解答) :设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 则 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? na1 ? ? n ? 1?? d ? a1 ? (n ? Ν* ) . 令 bn ? na1 , cn ? ? n ? 1?? d ? a1 ? ,则 an ? bn ? cn (n ? Ν* ) . 下证 ?bn ? 是“H 数列”. 设 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ?
n ? n ? 1? 2 a1 ? n ? Ν* ? , n ? n ? 1? 2

于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m ? 同理可证 ?cn ? 也是“H 数列”.

,使得 Tn ? bm ,所以 ?bn ? 是“H 数列”.

所以,对任意的等差数列 ?an ? ,总存在两个“H 数列” 解法二:由(2)的解答过程可知:等差数列 ?bn ? 中若 则 bn ? b1 ? (n ? 1)d1 ? 2b1 ? b1n . 同理等差数列 ?cn ? 中若

?bn ? 和 ?cn ? ,使得 an ? bn ? cn (n ? Ν* ) 成立. ?bn ? 是“ H 数列”,

b1 ? ?1 时, d1

c1 ? 1 时, ?cn ? 是“ H 数列”, cn ? c1 ? (n ? 1)d2 ? c1n . d2

任意的等差数列 ?an ? ,则可表示为 an ? An ? B . 令 ?b1 ? c1 ? A , 2b1 ? B ,此时 b1 ?

B B , c1 ? A ? . 2 2

所以对任意的等差数列 ?an ? ,总存在两个等差“ H 数列” ?bn ? 和 ?cn ? , 使得 an ? bn ? cn (n ? N * ) 成立. 解:(1)略.(2)【分析】难点是规范运用简易数论严密推理的过程. 途径一(个例求值,整体论(验)证):标解(?). 途径二(一般性推理)关键词:整除 ·非负 ·恒成立 ·两边夹 . .. .. ... ... 依题意, ?m ? N? 使 Sn ? am ? n ? 于是,一方面, m ? 1,

n(n ? 1)d n ? 1 n(n ? 1) ? 1 ? (m ? 1)d ? m ? 1 ? ? 2 d 2

n(n ? 1) n?1 ?Z ? ? Z(n ? N? )? d ? 1, 又 d ? 0 ? d ? ?1 ① 2 d
n ? 1 n(n ? 1) (n ? 1)(nd ? 2) ? ? ? m?1? 0 d 2 2d

另一方面 n ? 1 ? m ? 1 ? N? ; n ? 2,

2 n ? 1 ? 0, d ? 0? nd ? 2 ? 0 ? d ? ? ? d ? ?1 ②,由①② d ? ?1 . n
(3)【分析】构造一组 {bn } 和 {cn } 已属不易,探讨 {bn } 和 {cn } 是否唯一,更难.

为讨论方便,不妨假定合成 {an } 的两“ H 数列” {bn } 和 {cn } 均为等差数列,于是有—— 问题一: {bn } (或 {cn } )的首项和公差应满足怎样的关系? 问题二:对于确定的 {an } ,无序数列对 ({bn },{cn }) 是否唯一?是否有无数个?证明你的结论. 问题一解: 途径一(个例求解,整体论证)设等差数列 {bn } 是“ H 数列”,设首项和公差分别为 b , d ,取

n ? 2, S2 ? 2b ? d ? b ? ( p ? 1)d ( p ? N? )? b ? ( p ? 2)d ? kd (k ? Z,k ? ?1)
而当 b ? kd ( k ? Z,k ? ?1) 时:① d ? 0 ? b ? 0 {bn } 显然是“ H 数列”;② d ? 0,

1 1 1 ?n ? N? , Sn ? nb ? n(n ? 1)d ? [nk ? n(n ? 1)]d , ?m ? (n ? 1)k ? 1 ? n(n ? 1) 2 2 2
? N? (? ( n ? 1)k ? 1, n( n ? 1) ? Z; 又? k ? ?1,( n ? 1)k ? 1 ?

1 2

1 n( n ? 1) ? 2

1 2 1 ( n ? 3n ? 4) ? 0 ? m ? N? )使得 bm ? [nk ? n( n ? 1)]d ? S n 2 2
综上所述: b 和 d 应满足的条件是 b ? kd ,(k ? Z,k ? ?1) 途径二(一般性推理)仿(2)途径二证之(略) 问题二解:这样的数列对有无数个.证明如下: 设 bn ? b ? (n ? 1)d1 ? k1d1 ? (n ? 1)d1 , 同理 cn ? k2d2 ? (n ? 1)d2 (ki ? Z,ki ? ?1)

? k1d1 ? k2d 2 ? a 由 an ? bn ? cn ? a ? ( n ? 1)d ? k1d1 ? k2d 2 ? (n ? 1)(d1 ? d 2 ) ? ? ? d1 ? d 2 ? d
当 k1 ? k2 ,
? ( a ? k 2d ) ?( n ? k1 ? 1)(a ? k2d ) ? ? ? d1 ? k ? k ? bn ? k2 ? k1 ? ? 2 1 ?? ? ? d ? a ? k1d ? c ? ( n ? k2 ? 1)(a ? k1d ) 2 n ? ? k ? k k2 ? k1 2 1 ? ?

(ki ? Z,ki ? ?1, k1 ? k2 )

故这样的数列对有无数个.如取 k2 ? 0, k1 ? 1 ? bn ? na, cn ? (n ? 1)(d ? a ) (此即标解) 再如取 k2 ? 3, k1 ? ?1 ? bn ? (n ? 2)(3d ? a ).cn ? (n ? 2)(d ? a ) .等. 【注】思考题:公比为有理数的等比数列能否是“H 数列”?(不是“H 数列”(证略))

1 4

1 4

三.向量类
3.(2007 年江苏高考题)已知 {an } 是等差数列,{bn } 是公比为 q 的等比数列,a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,记 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和, (1)若 bk ? am (m, k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: Sk ?1 ? (m ?1)a1 ; (2)若 b3 ? ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项; (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以 说明;若不存在,请说明理由;

解:设 {an } 的公差为 d ,由 a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,知 d ? 0, q ? 1 , d ? a 1 ? q ? 1? ( a1 ? 0 ) (1)因为 bk ? am ,所以 a1q
k ?1

? a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1? ,

qk ?1 ? 1 ? ? m ? 1?? q ? 1? ? 2 ? m ? ? m ? 1? q ,
所以 S k ?1 ?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q
2

?

a1 ? m ? 1 ? ? m ? 1? q ? q

? ? m ? 1? a1

(2) b3 ? a1q , a i ? a1 ? ?i ? 1? a1 ? q ? 1? ,由 b3 ? ai , 所以 q ? 1 ? ?i ? 1?? q ? 1? , q ? ?i ? 1? q ? ?i ? 2? ? 0, 解得, 但 q ? 1, 所以 q ? i ? 2 , q ? 1或 q ? i ? 2,
2 2

因为 i 是正整数,所以 i ? 2 是整数,即 q 是整数,
n ?1 n ? N ? ,设数列 {an } 中的某一项 设数列 {bn } 中任意一项为 bn ? a1 q

?

?

am ? m ? N ? ? = a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1?
现在只要证明存在正整数 m ,使得 bn ? am ,即在方程 a1q 可, q
n ?1

n?1

? a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1? 中 m 有正整数解即

? 1 ? ? m ? 1?? q ? 1? , m ? 1 ?

q n?1 ? 1 ? 1 ? q ? q 2 ? ? q n?2 ,所以 q ?1

i ? 3 时,因为 m ? 2 ? q ? q2 ? ?qn?2 , 若 i ? 1 , 则 q ? ?1 , 那 么 b2n? 1 ? b1 ? a 1, b n2 ? b 2? a , 2 当

a1 ? b1, a2 ? b2,只要考虑 n ? 3 的情况,因为 b3 ? ai ,所以 i ? 3 ,因此 q 是正整数,所以 m 是正整数,
因此数列 {bn } 中任意一项为

bn ? a1 q n ?1 ? n ? N ? ? 与数列 {an } 的第 2 ? q ? q2 ? ?qn?2 项相等,从而结论成立。
? (3)设数列 {bn } 中有三项 bm , bn , bp m ? n ? p, m, n, p ? N 成等差数列,则有

?

?

? 2 a1qn?1 ? a1qm?1 ? a1q p?1 , 设 n ? m ? x, p ? n ? y, x, y ? N ,所以 2 ?

?

?

1 ? q y ,令 x ? 1, y ? 2 ,则 x q 5 ?1 ? 舍去负值? , 2

q3 ? 2q ? 1 ? 0, ? q ? 1? ? q 2 ? q ? 1? ? 0 ,因为 q ? 1 ,所以 q2 ? q ? 1 ? 0 ,所以 q ?
即存在 q ?

5 ?1 ? 使得 {bn } 中有三项 bm , bm ?1 , bm ?3 ? m ? N ? 成等差数列。 2

4.(2015 年江苏高考题)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3 明理由.
n n? k n? 2 k n?3k 依次成等比数列,并说 , a4
a a a a

四、反思提升 五、反馈检测 1. 各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列,后三项依次成 公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 设 a1 , a1 ? d , a1 ? 2d , a1 ? 88 ,其中 a1 , d 均为正偶数, 则 (a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 88) , 整理得 a1 ? .

,8 ?5 3 7?

4d (22 ? d ) ? 0 ,(注意体会这里用“ a1 ? 0 ”而不用“ a1≥2 ”的好处) 3d ? 88

所以 (d ? 22)(3d ? 88) ? 0 ,即 22 ? d ? 88 , 3 所以 d 的所有可能值为 24,26,28, 当 d ? 24 时, a1 ? 12 , q ? 5 ; 3 当 d ? 26 时, a1 ? 208 (舍去) ; 5 当 d ? 28 时, a1 ? 168 , q ? 8 , 7 所以 q 的所有可能值构成的集合为 5 ,8 . 3 7 2. 已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范围 是

? ?

?1 ? 5 . ?1 ? 5 , 2 2

?

?
? a 2 0 1 2
2 0 1 3

3. 对“绝对差数列”有如下定义:在数列 ?an ? 中, a1、a2 是正整数,且 an ? an?1 ? an?2 , n ? 3, 4,5..., 则称数列 ?an ? 为 “绝对差数列” .若在数列 ?an ? 中,a20 ? 3 ,a22 ? 1 , 则 a2 0 1
?

?a

?

.2

4. 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? x ( x ? N ), an?2 ? an?1 ? an ,若前 2010 项中恰好含有 666 项 为 0 ,则 x 的值为 . 8 或9

5. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54,ak 成等比数列, 则公差 d 的所有可能取值之和为 略解:易知 d=0,成立.
2 当 d>0 时,(a54-53d)(a54+(k-54)d)= a54 ,得

.92.

d=

38(k ? 107) 38 ? 53 = 38 ? . k ? 54 k ? 54

故(k-54,d)∈{(53×2,19),(53×19,36),(53×38,37)}. d=0+19+36+37=92. 6. 设数列 ?an ?? n ? 1,2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中

的一项,则 称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由? (2)试问:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.

7. 若数列 ?an ? 对任意的正整数满足:

a n? 2 ? a n?1 ,则该数列 ?an ? 称为“等差比数列”. ? k (k 为常数) a n?1 ? a n

(1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2(an ? 1) ,求 ?an ? 的通项公式,并判断 ?an ? 是否为“等差比数 列”? (2)若数列 ?an ? 为等差数列,试判断 ?an ? 是否为等差比数列?并说明理由? (3)试写出一个“等差比数列”的通项公式 an ,使此数列既不是等差数列,也不是等比数列? (4)类比“等差比数列”的定义,请你给出“等比差数列”的定义,并仿照(3)给出该数列的一个通项 公式?

8. (1)在一个等差数列中,如果其中有一项为

26 1 5 1 , , 能否成为该等差数列的连续三项? ,那么 3 x ? 1 6x x

(2)已知由正数组成的无穷等差数列中有 3 项 13,25,41. 求证: 2009 是其中一项. 9. 已知直角 ?ABC 的三边长 a , b, c ,满足 a ≤ b ? c .已知 a , b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足
?c? ? a? 5X n ? ? ? ? ? ? ? ?a? ? c?
n n

? n ? N ? ,证明:数列 ?
*

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.

?

证明:因为 a, b, c 成等比数列, b 2 ? ac 由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 , ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c? ? a? ? ? ? ? ? 又 5X n ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ) ,得 5 X n ? ? 2 ? ? ? 2 ? . a c ? ? ? ? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2
Xn

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 , 则有

?

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?.
2

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.

?

10. 设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) ,则数列{bn}的 公比为 ______ .3? 2 2

方法一:设 a1 , a2 , a3 分别为 a ? d , a, a ? d ,因为 a1 ? a2 ,所以 d ? 0 ,又 b22 ? b1b3 ,所以 ,则 d ? ? 2a .若 d ? ? 2a ,则 a4 ? (a ? d )2 (a ? d )2 ? (a 2 ? d 2 )2 ,则 a 2 ? d 2 ? a 2 或 a 2 ? d 2 ? a 2 (舍)

q?

b2 a a ? ( 2 )2 ? (1 ? 2)2 ? 3 ? 2 2 ? 1 ,舍去;若 d ? 2a ,则 q ? ( 2 )2 ? 3 ? 2 2 . b1 a1 a1

4 2 2 2 2 方法二:由题意可知 a2 ,则 a2 ? a12 a3 ? ? a1 a3 .若 a2 ? a1a3 ,易知 a1 ? a2 ? a3 ,舍去;若 a2 ? ? a1 a3 ,则

(

a1 ? a3 2 a a a 2 ) ? ?a1a3 且 a1 ? 0 , 则 a12 ? 6a1a3 ? a3 ? 0 , 所 以 ( 3 )2 ? 6( 3 ) ? 1 ? 0 , 则 3 ? ? 3 ?2 2, 又 2 a1 a1 a1
2 b3 a3 a ? 2 ? ( 3 )2 ,且 q ? 1 ,所以 q ? 3 ? 2 2 . b1 a1 a1

q2 ?

11. 设等比数列{an}满足公比 q?N ?,an?N ?,且数列{an}中任意两项之积也是该数列的一项.若 a1=24, 则 q 的所有可能取值之和为_________.22 解:设 an,am(mn≠n)为等比数列{an}中任意两项,则 aman=(24?qn 1)? (24?qm 1)=28?qm+n 2,设 aman 是数
- - -

列{an}的第 k 项,则有 28?qm+n 2=24?qk 1,故 qm+n
- -

-k-1



1 ,故 q 的值只可能是 2,4,16.则 q 的所有可能取 24

值之和为 22.

11. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=-2,a2=b2=4,则满足 an=bn 的 n 的所有取值构成的 集合是______.{1,2,4} 解:设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,所以 d=a2-a1=6,q=
b2 =-2, b1

所以 an=-2+6(n-1)=6n-8,bn=-2(-2)n-1=(-2)n,因为等差数列{an}的首项为负,从第二项起均为 正数,等比数列{bn}奇数项为负,偶数项为正,所以除首项外,当 an=bn 时 n 为偶数,n=4 时 a4=16,b4 =(-2)4=16, n=6 时, a6=28<b6=(-2)6=64. 因为 n 为偶数时, 数列{an}、 数列{bn}均递增, 所以当 n≥2k (k=3,4,5, …)时,an<bn.综上可得,满足 an=bn 的 n 的所有取值为 1,2,4. 12. 设 a1,a2,?,an 为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意的 i,j(1≤i<j≤n),存在 k,l(k≠l, 且异于 i 与 j)使得 ai+aj=ak+al,则 n 的最小值是 _________ . 13

13. 已知 ? , ? 为常数,且为正整数, ? ? 1 ,无穷数列 ?an ? 的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn ,对任意正 整数 n , Sn ? ? an ? ? .数列 ?an ? 中任意不同两项的和构成集合 A. (1)证明无穷数列 ?an ? 为等比数列,并求 ? ; (2)如果 2015 ? A ,求 ? ; (3)当 n ≥1时,设集合 Bn ? ?x 3? ? 2n?1 ? x ? 3? ? 2n , x ? A? , Bn 中元素的个数记为 bn 求数列 ?bn ? 的通项公

式. (1)当 n ? 2 时, Sn ? ? an ? ? , Sn ?1 ? ? an ?1 ? ? , 两式相减得: an ? ? an ? ? an ?1 , ? ? 1 ,
an ? ? ,所以数列 {an } 为等比数列. an ?1 ? ? 1

??2 分

因为无穷数列 {an } 的各项均为正整数, 则公比

? (? ? 1) ? 1 1 为正整数, ? 为正整数,则 ? ? 2 . ??4 分 ? ?1? ? ?1 ? ?1 ? ?1
??5 分

(2)由(1)得, Sn ? 2an ? ? ,当 n ? 1 时, a1 ? ? ,则 an ? ? ? 2n ?1 , 所以 A ? ??(2i ?1 ? 2 j ?1 ) 1 ? i ? j , i, j ? N*? , 如果 2015 ? A ,则 2015 ? ? (2i ?1 ? 2 j ?1 ) ? ? ? 2i ?1 (1 ? 2 j ?i ) ? 5 ? 13 ? 31 , 因为 j ? i ? 0 ,则 1 ? 2 j ?i 必为不小于 3 的奇数,则:

??6 分

因 1 ? 2 j ?i ? 31 时,无解; 1 ? 2 j ?i ? 13 时,无解; 1 ? 2 j ?i ? 13 ? 31 ? 403 无解;
1 ? 2 j ?i ? 5 ? 31 ? 155 无解; 1 ? 2 j ?i ? 5 ? 13 ? 31 ? 2015 无解.

??7 分

当 1 ? 2 j ?i ? 5 时,此时 j ? i ? 2 , ? ? 2i ?1 ? 403 ,则 i ? 1 ,否则 ? ? 2i ?1 为偶数. 所以 i ? 1, j ? 3, ? ? 403 ,即 2015 ? 403(21?1 ? 23?1 ) ? A . ??8 分

当 1 ? 2 j ?i ? 65 ,此时 j ? i ? 6 , ? ? 2i ?1 ? 31 ,则 i ? 1 ,否则 ? ? 2i ?1 为偶数. 所以 i ? 1, j ? 7, ? ? 31 ,即 2015 ? 13(21?1 ? 27?1 ) ? A , 综上: ? ? 31 ,或 ? ? 403 . (3)当 n ? 1 时, Bn ? ?x 3? ? 2n?1 ? x ? 3? ? 2n , x ? A? , 即 3? ? 2n?1` ? ?(2i ?1 ? 2 j ?1 ) ? 3? ? 2n , 1 ? i ? j, i, j ? N*,
Bn 中元素个数,等价于满足 3 ? 2n ? 2i ? 2 j ? 3 ? 2n ?1 的不同解 (i, j ) ,

??9 分

??10 分

如果 j ? n ? 2 ,则 2i ? 2 j ? 2i ? 2n ?3 ? 2i ? 4 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ,矛盾!

??11 分

如果 j ? n ? 2 ,则 2i ? 2 j ? 2i ? 2n ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ,矛盾!则 j ? n ? 2 ,??12 分 又因为 (21 ? 2n?2 ) ? 3 ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? 2n ? 0 , 所以 3 ? 2n ? 21 ? 2 n ?2 ? 2 2 ? 2 n ?2 ? ?? 2 n ? 2 n ?2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?2 ? 3 ? 2 n ?1 , 即 i ? 1, 2,3,?, n ,共 n 个不同解 (i, j ) , 即共 n 个不同 x ? Bn ,所以 bn ? n ( n ? 1 ) . ??16 分 ??13 分 ??15 分

14. 已知数列 {an } 是以 d 为公差的等差数列,数列 {bn } 是以 q 为公比的等比数列. (1)若数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? b1 ? d ? 2 , S3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010 ,求整数 q 的值; ( 2 )在( 1 )的条件下,试问数列 {bn } 中是否存在一项 bk ,使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续

p( p ? N , p ? 2) 项的和?请说明理由;
( 3 ) 若 b1 ? ar , b 2 ? as ? ar , b 3? at ( 其 中 t ? s? r, 且 ( s ? r ) 是 ( t ? r ) 的 约 数 ) , 求证:数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项. 解: (Ⅰ)由题意知, an ? 2n, bn ? 2 ? qn?1 ,所以由 S3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010 , 得 b1 ? b2 ? b3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010 ? b1 ? 4b2 ? b3 ? 2006 ? 2010 ? q2 ? 4q ? 3 ? 0 ……3 分 解得 1 ? q ? 3 ,又 q 为整数,所以 q ? 2 ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)假设数列 ?bn ? 中存在一项 bk ,满足 bk ? bm ? bm?1 ? bm?2 ???? ? bm? p?1 , 因为 bn ? 2n ,∴ bk ? bm? p?1 ? 2k ? 2m? p?1 ? k ? m ? p ?1 ? k ? m ? p (*)…………8 分 又 bk ? 2 ? bm ? bm?1 ? bm? 2 ? ??? ? bm? p ?1 ? 2 ? 2
k m m ?1

? ??? ? 2n? p ?1 ?

2m (2 p ? 1) 2 ?1

=2

m? p

? 2m ? 2m ? p ,所以 k ? m ? p ,此与(*)式矛盾. 所以,这要的项 bk 不存在……11 分

(Ⅲ)由 b1 ? ar ,得 b2 ? b1q ? ar q ? as ? ar ? (s ? r )d ,则 d ? 又 b3 ? b1q ? ar q ? at ? ar ? (t ? r )d ? ar q ? ar ? (t ? r ) ?
2 2 2

ar (q ? 1) ………………12 分 s?r

ar (q ? 1) , s?r

从而 ar (q ? 1)(q ? 1) ? ar ( q ? 1) ? 故q ?

t ?r ,因为 as ? ar ? b1 ? b2 ,所以 q ? 1 ,又 ar ? 0 , s?r

t?r ? 1 . 又 t ? s ? r ,且( s ? r )是( t ? r )的约数,所以 q 是整数,且 q ? 2 ………14 分 s?r

对于数列 {bn } 中任一项 bi (这里只要讨论 i ? 3 的情形) ,有 bi ? ar qi ?1 ? ar ? ar (qi ?1 ?1)

? ar ? ar (q ?1)(1 ? q ? q2 ???? ? qi?2 ) ? ar ? d (s ? r )(1? q ? q2 ???? ? qi?2 ) ? ar ? [((s ? r )(1 ? q ? q2 ???? ? qi?2 ) ? 1) ?1] ? d ,
由于 (s ? r )(1 ? q ? q2 ? ??? ? qi ?2 ) ? 1是正整数,所以 bi 一定是数列 {an } 的项……………16 分 15. 已知各项均为整数的数列 ?an ? 满足: a9 ? ?1 , a13 ? 4 ,且前 12 项依次成等差数列,从第 11 项起依 次成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若存在正整数 m、p 使得: am ? am?1 ? ?? am? p ? amam?1 ?am? p ,请找出所有的有序数对 (m, p) , 并证明你的结论. 解: (1)设由前 12 项构成的等差数列的公差为 d ,从第 11 项起构成的等比数列的公比为 q ,

?q ? 6 2 ?q ? 2 ? a12 (?1 ? 3d ) 2 由 a13 ? 或? ? ? 4 可得 ? 5, a11 ? 1 ? 2d ? d ? 1 ?d ? 9 ?
又数列 ?an ? 各项均为整数,故 ?

(3 分)

?q ? 2 ?n ? 10, n ? 12 ;所以 an ? ? n?11 n? N? ; ?d ? 1 ? 2 , n ? 13

(6 分)

(2)数列 ?an ? 为: ?9, ?8, ?7, ?6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2, 4,8,16,? 当 am , am?1 , ???, am? p 均为负数时, 显然 am ? am?1 ???? ? am? p ? 0 ,所以 amam?1 ??? am? p ? 0 ,即 am , am?1 , ???, am? p 共有奇数项,即 p 为偶数; 又最多有 9 个负数项,所以 p ? 8 ,

p ? 2 时,经验算只有 (?3) ? (?2) ? (?1) ? (?3) ? (?2) ? (?1) 符合,此时 m ? 7 ; p ? 4,6,8 时,经验算没有一个符合;
故当 am , am?1 ,?, am? p 均为负数时,存在有序数对 (7, 2) 符合要求. 当 am , am?1 , ???, am? p 均为正数时, m ? 11且m ? N ,
?

(8 分)

am ? am?1 ????? am? p ? 2m?11 ? 2m?10 ????? 2m? p?11 ? 2m?11 (1 ? 2 ???? ? 2 p ) ? 2m?11 (2 p?1 ?1)
amam?1 ??? am? p ? 2
因为 2
p ?1

m?11

?2

m?10

????? 2

m? p ?11

? (2

m?11 p

) ?2

1? 2????? p

? (2

m?11 p

) ?2

( p ?1) p 2

? 1 是比 1 大的奇数,所以 am ? am?1 ???? ? am? p 能被某个大于 1 的奇数( 2 p ?1 ? 1 )整除,而
( p ?1) p 2

(2m?11 ) p ? 2

不存在大于 1 的奇约数,故 am ? am?1 ???? ? am? p ? amam?1 ?am? p ; (11 分)

故当 am , am?1 , ???, am? p 均为正数时,不存在符合要求有序数对; 当 am , am?1 , ???, am? p 中既有正数又有负数,即 am , am?1 , ???, am? p 中含有 0 时, 有 am am?1 ??? am? p ? 0 ,所以 am ? am?1 ???? ? am? p ? 0 , (方法一)设负数项有 k (k ? N ,且k ? 9) ,正数项有 l (l ? N ) , 则 am , am?1 , ???, am? p 应是 ?k , ?(k ?1), ?(k ? 2), ???, ?2, ?1,0,1, 2,?, 2 故有
l ?1 ? ?



k (k ? 1) ? 2l ? 1 ;经验算: 2

k ? 1 时, l ? 1 ,此时 am , am?1 , ???, am? p 为 ?1, 0,1 , m ? 9, p ? 2 ; k ? 2 时, l ? 2 ,此时 am , am?1 , ???, am? p 为 ?2, ?1, 0,1, 2 , m ? 8, p ? 4 ; k ? 5 时, l ? 4 ,此时 am , am?1 , ???, am? p 为 ?5, ?4, ?3 ? 2, ?1, 0,1, 2, 4,8 , m ? 5, p ? 9 ;

k ? 3, 4, 6, 7,8,9 时,均不存在符合要求的正整数 l ;
故当 am , am?1 , ???, am? p 中既有正数又有负数时,存在三组有序数对 (9, 2) , (8, 4) , (5,9) 符合要求;

(方法二)因为负数项只有九项,我们按负数项分类: 含 1 个负数项时, ?1, 0,1 ,符合,此时 m ? 9, p ? 2 ; 含 2 个负数项时, ?2, ?1, 0,1, 2 ,符合,此时 m ? 8, p ? 4 ; 含 3 个或 4 个负数项时,经验算不存在符合要求的; 含 5 个负数项时, ?5, ?4, ?3 ? 2, ?1, 0,1, 2, 4,8 ,符合,此时 m ? 5, p ? 9 ; 含 6 个及 6 个以上负数项时,经验算不存在符合要求的; 故当 am , am?1 , ???, am? p 中既有正数又有负数时,存在三组有序数对 (9, 2) , (8, 4) , (5,9) 符合要求; 综上,存在四组有序数对 (9, 2) , (8, 4) , (5,9) , (7, 2) 符合要求. (注:只找出有序数对无说明过程,一个有序数对只给 1 分) 16. 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1,公比为 q,且 q>0,q≠1. (1)若 a1=qm,m∈Z,且 m≥-1,求证:数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项; (2) 若数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项, 求证: 存在整数 m, 且 m≥-1, 使得 a1=qm. 证明: (1)设 ar , at 为等比数列 ?an ? 中不同的两项,由 a1 ? q m , 得 ar ? at ? a1qr ?1 ? a1qt ?1 ? a1 ? q( r ?t ? m?1)?1 .???????????????2分 又 r ? t ≥ 3 ,且 m ≥ ?1 ,所以 r ? m ? t ? 1≥ 1 . 所以 ar , at 是数列 ?an ? 的第 r ? m ? t ? 1 项. ?????????????6分 (2)等比数列 ?an ? 中任意不同两项之积仍为数列 ?an ? 中的项, 令 as ? at ? al (l , t , s ? N* , t ? s) ,由 as ? a1 ? q s ?1 , at ? a1 ? qt ?1 , al ? a1 ? ql ?1 , 得 a1 ? q s ?1 ? ?a1 ? qt ?1 ? a1 ? ql ?1 , a1 ? ql ? s ?t ?1 . 令整数 m ? l ? s ? t ? 1 ,则 a1 ? q m .????????????????9分 下证整数 m ≥ ?1 . 若设整数 m ? ?1 ,则 ? m ≥ 2 .令 k ? ? m , 由题设,取 a1 , ak ,使 a1 ? ak ? ar (r ? N* ) , 即 a1 ? a1 ? q k ?1 ? a1 ? q r ?1 ,所以 qm ? q? m?1 ? qr ?1 ,即 q?1 ? qr ?1 .?????12分 所以 q>0,q≠1, ?1 ? r ?1, r ? 0 与 r ? N * 矛盾! 所以 m ≥ ?1 .?????????????????????????15 分 (16 分)

? ?an ?1 ? 3an (an ?1 ? an = 2p1 ), 17. 已知数列 a 中, a1 ? 1, a2 ? a(a ? Z ) , an ? 2 ? ? ( p1 , p2 ? z) n ? ?an ?1 ? an (an ?1 ? an = 2p2 ? 1).

? ?

(1)若 a ? 2 ,求数列 a 前 6 项的和; n

? ?

(2)证明:数列 a 的任意相邻三项中有且仅有 1 项是偶数; n (3)是否存在 k ? N? ,使 ak , ak ?1 , ak ? 2 成等比数列?写出并证明你的结论. 解:(1) ? a ? 2 ,? a3 ? a2 ? 3a1 ? 2 ? 3 ? ?1 ,

? ?

a4 ? a3 ?3 a2 ? ? 7 , a5 ? a4 ? a3 ?8? , a6 ?a5 3 ? a4 1 ?3 ,
所以数列 a 的前 6 项和为 0 n

? ?

……………4 分

(2)证: an?1 ? 3an ? (an?1 ? an ) ? 4an , ? 4an 为偶数,? an?1 ? 3an 与 an?1 ? an 及 an ? 2 同奇偶, ……6 分 ①若 a 为奇数,注意到奇+奇=偶,奇+偶=奇,则 a 各项的奇偶性依次是:奇,奇,偶,奇,奇,偶 ? n

? ?

? 数列 an 的任意相邻三项中有且仅有 1 项是偶数 ;

? ?

……10 分

②若 a 为偶数,同理可证:数列 a 的任意相邻三项中有且仅有 1 项是偶数 .……11 分 n (3)假若存在 k ? N? ,使 ak , ak ?1 , ak ? 2 成等比数列,则 ak ?12 ? ak ak ?2 ?(?) , 由(2)可知, ak ?12 必为偶数,从而 ak ?1 为偶数,则 ak , ak ? 2 为奇数, (?) 不成立, 故不存在 k ? N? ,使 ak , ak ?1 , ak ? 2 成等比数列. …………………………16 分

? ?

18. 各项均为正数的数列{an}中,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , a1 a2 an 且 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 , n ? N* . (1)设 bn ? 2 ? Sn ,证明数列{bn}是等比数列; (2)设 cn ? 1 nan ,求集合 ? m, k, r ? | cm ? cr ? 2ck , m ? k ? r, m, k, r ? N* . 2 【解】 (1)当 n ? 1 时, (2 ? S1 )(1 ? T1 ) ? 2 , 即 (2 ? a1 )(1 ? 1 ) ? 2 ,解得 a1 ? 1 . a1 由 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 ,所以 Tn ? 当 n ≥ 2 时, Tn ?1 ? ①-②,得
2 ?1 2 ? Sn ?1 2 ?1 2 ? Sn

?

?

???????????2 分 ①



2an 1 2 2 ? ? ? (n≥ 2 ) ,???????????4 分 an 2 ? Sn 2 ? Sn ?1 (2 ? Sn )(2 ? Sn ?1 )

即 (2 ? Sn )(2 ? Sn?1 ) ? 2[(2 ? Sn?1 ) ? (2 ? Sn )]2 , 即 bnbn?1 ? 2(bn?1 ? bn )2 ,所以

bn bn?1 5 ? ? , bn?1 bn 2 bn ? 1. bn?1

因为数列{an}的各项均为正数,所以数列 ?2 ? Sn ? 单调递减,所以

所以

bn 1 . ? (n≥ 2 ) bn?1 2

因为 a1 ? 1 ,所以 b1 ? 1 ? 0 , 所以数列{bn}是等比数列. ???????????6 分

1 1 n (2)由(1)知 2 ? Sn ? ( )n ?1 ,所以 an ? n?1 ,即 cn ? n . 2 2 2
由 cm ? cr ? 2ck ,得 又 n ≥ 2 时,
cm cr ? ? 2 (*) ck ck

cn ?1 n ? 1 ? ? 1 ,所以数列 ?cn ? 从第 2 项开始依次递减. cn 2n

????8 分

m m cm cm 4m 2 (Ⅰ)当 m ≥ 2 时,若 k ? m ≥ 2 ,则 ≥ ? ? ≥2, ck cm ? 2 m ? 2 m ? 2 2m ? 2
(*)式不成立,所以 k ? m = 1 ,即 k ? m ? 1 . 令 r ? m ? 1 ? i(i ? N* ) ,则 cr ?
r 2m ?1? i ? 2ck ? cm ? 2 ? m ? 1? 2m ?1

???????????10 分
? m 2 2i ?1 ? ? , 2m 2m ?1 2m ?1? i

所以 r ? 2i ?1 ,即存在满足题设的数组 ? 2i ?1 ? i ? 1, 2i ?1 ? i, 2i ?1 ? ( i ? N* ) .??? 13 分 (Ⅱ)当 m ? 1 时,若 k ? 2 ,则 r 不存在;若 k ? 3 ,则 r ? 4 ; 若 k ≥ 4 时,
c1 c ≥ 1 ? 2, (*)式不成立. ck c4

?

?

综上所述,所求集合为 (1,3,4), (2i ?1 ? i ? 1,2i ?1 ? i,2i ?1 ) ( i ? N* ) . ??????16 分 (注:列举出一组给 2 分,多于一组给 3 分)

?

?

19. (1) 设 n 为不小于 3 的正整数, 公差为 1 的等差数列 a1 , ?, ?, b2 , a2 , a n 和首项为 1 的等比数列 b1 ,
bn 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an ,求正整数 n 的最大值;

(2)对任意给定的不小于 3 的正整数 n ,证明:存在正整数 x ,使得等差数列 ?am ? :
x n ? x n ?1 ? 1 , x n ? 2 x n ?1 ? 1 ,?, x n ? nx n ?1 ? 1 和等比数列 ?bm ? : xn , (1 ? x) x n ?1 ,?,

x( 1? x n)?1 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an .
解: (1)设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b2n?1 ,依题意得,

1 ? a1 ? b2 ? a1 ? 1 ? b22 ? a1 ? 2 ? b23 ? a1 ? 3 ? b24 ? a1 ? 4 ? b25 ? a1 ? 5 ?,
?? 2 分 从而 1 ? b2 ? 2 ? b2 2 ? 3 ? b23 ? 4 ? b2 4 ? 5 ? b25 ? 6 ? ?, 即 1 ? b2 ? 2 ①, 2 ? b2 ? 3 ②, 3 ? b2 ? 4 ③, 2 ? b2 ? 5 ④,
5 3 3 4

5 ? b2 ? 6 ⑤,?,由①②③④得, 3 ? b2 ? 5 ;因为 6 ? 3 ,所以由
5 3

5

3

4

①②③④⑤得, b2 不存在了,从而正整数 n 的最大值为 5; (2)依题意, am ? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1 , bm ? xn 1 ? 1 x

?? 6 分

? ?

m?1

,且 m ? 1 ,2,?, n ,
am ? am 1 ? 1 , x x

一方面,当 x ? N* 时, am ? xn ,因此, am?1 ? am ? xn?1 ? am ? 结合 a1 ? b2 ? 1 ? b2 及 ?bm ? 是公比为 1 ? 1 的等比数列可得, x

? ?

1 ? b 1 ? 1 ? b ,?, a2 ? a 1 1 ? 1 ? b 21 ? 1 ? b , 3 a3 ? a2 1 ? 3 4 x x x x
从而对任意的 m ? 1,2,?, n ? 1 ,都有 am ? bm?1 ; 另一方面,因为 bm ? am ? xn 1 ? 1 x ?? 11 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

m?1

? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1

? xn?m?1 ?1 ? x ?
3 的正整数)

m?1

? xn ? mxn?1 ? 1 ( m ? 1,2,?, n ,其中 n 为给定的不小于

? x ?1 ? x ?

n ?1

? xn ? nxn?1 ? 1

? xn ? (n ? 1) xn?1 ?
?

n(n ? 1) n ? 2 x ? ? ? x ? x n ? nx n ?1 ? 1 2

n(n ? 1) n ? 2 x ? ? ? x ? 1 ? x n ?1 (*) 2

显然,(*)式左边是关于 x 的 n ? 2 次式,右边是关于 x 的 n ? 1 次式, 只要正整数 x 充分大,(*) 式即可成立,从而 m ? 1,2,?, n 时,都有 bm ? am . 综上,必存在正整数 x ,满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an . ?? 16 分

20. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Mn}满足条件:M1= St ,当 n≥2 时,Mn= St -St - ,其中数列 1 n n 1 {tn}单调递增,且 tn∈N*. (1)若 an=n, ①试找出一组 t1、t2、t3,使得 M22=M1M3; ②证明:对于数列 an=n,一定存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方; (2)若 an=2n-1,是否存在无穷数列{tn},使得{Mn}为等比数列.若存在,写出一个满足条件的数列 {tn};若不存在,说明理由. n2+n 解: (1)若 an=n,则 Sn= , 2 ①取 M1=S1=1,M2=S4-S1=9,M3=S13-S4=81,满足条件 M22=M1M3, 此时 t1=1,t2=4,t3=13. ②由①知 t1=1,t2=1+3,t3=1+3+32,则 M1=1,M2=32,M3=92, 3n-1 - 一般的取 tn=1+3+32+?+3n 1= , 2

3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1+ ) (1+ ) 2 2 2 2 此时 St = ,St = , 2 2 n n-1 3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1+ ) (1+ ) 2 2 2 2 - 则 Mn=St -St = - =(3n 1)2, 2 2 n n-1 所以 Mn为一整数平方. 因此存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方. (3)假设存在数列{tn},使得{Mn}为等比数列,设公比为 q. 因为 Sn=n2,所以 St =tn2,则 M1=t12,当 n≥2 时,Mn=tn2-tn-12=qn n r 因为 q 为正有理数,所以设 q= (r,s 为正整数,且 r,s 既约). s rn 1 t12 因为 tn2-tn-12 必为正整数,则 n-1t12∈N*,由于 r,s 既约,所以 n-1必为正整数. s s
- -1

t12,

若 s≥2,且{tn}为无穷数列,则当 n>logst1 +1 时, 于是 s=1,即 q 为正整数.

2

t12 t12 < 1 ,这与 - - 为正整数相矛盾. sn 1 sn 1

注意到 t32=M3+M2+M1=M1(1+q+q2)=t12 (1+q+q2),于是 因为 1+q+q2∈N*,所以 t32 t1
2∈N .
*

t32 t1

2=1+q+q .

2

t3 t3 又 为有理数,从而 必为整数,即 1+q+q2 为一整数的平方. t1 t1 但 q2<1+q+q2<(q+1) 2,即 1+q+q2 不可能为一整数的平方. 因此不存在满足条件的数列{tn}. 【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质,考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力.对于 新构造的函数,可以尝试列举,了解构造的过程和含义,从中观察发现规律或寻找突破口.对于存在性问 题,也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口.

21. 已知数集 A={a1,a2,?,an}(0≤a1<a2<?<an,n≥2,n∈N*)具有性质 P:?i,j(1≤i≤j≤n), ai+aj 与 aj-ai 两数中至少有一个属于 A. (1)分别判断数集{1,2,3,4}是否具有性质 P,并说明理由; (2)证明:a1=0; (3)证明:当 n=5 时,a1,a2,a3,a4,a5 成等差数列. 证明 (1)由于 4+4 与 4-4 均不属于数集{1,2,3,4},所以该数集不具有性质 P. (2)因为 A={a1,a2,?,an}具有性质 P,所以 an+an 与 an-an 中至少有一个属于 A, 又 an+an>an,所以 an+an∈ ∕ A,所以 an-an∈A,即 0∈A,又 a1≥0,a2>0,所以 a1=0; (3)当 n=5 时,取 j=5,当 i≥2 时,ai+a5>a5,

由 A 具有性质 P,a5-ai∈A,又 i=1 时,a5-a1∈A,所以 a5-ai∈A,i=1,2,3,4,5. 因为 0=a1<a2<a3<a4<a5,所以 a5-a1>a5-a2>a5-a3>a5-a4>a5-a5=0, 则 a5-a1=a5,a5-a2=a4, a5-a3=a3, 从而可得 a2+a4=a5,a5=2a3,故 a2+a4=2a3,即 0<a4-a3=a3-a2<a3, 又因为 a3+a4>a2+a4=a5,所以 a3+a4∈ ∕ A,则 a4-a3∈A,则有 a4-a3=a2=a2-a1. 又因为 a5-a4=a2=a2-a1,所以 a5-a4=a4-a3=a3-a2=a2-a1=a2, 即 a1,a2,a3,a4,a5 是首项为 0,公差为 a2 的等差数列. 【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质,考查运算能力、推理论证能力,本题是数列与不等式的综 合题.对于复杂的数列问题,我们往往可以从特殊情况入手,找到解题的突破口.

22. 已知等差数列 {an } 的首项为 a ,公差为 b ;等比数列 {bn } 的首项为 b ,公比为 a . (其中 a , b 均为正 整数) . (1)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)在(1)的条件下,若

a1 , a 3 , an1 , an2 ,…, ank ,… (3 < n1 < n2 < … < nk < … ) 成等比数

列,求数列 {nk } 的通项公式; (3)若 a1 < b1 < a2 < b2 < a3 ,且至少存在四个不同的 b 值使得等式 am ? t ? bn (t ? N) 成立,试求 a 的值 及 t 的最小值.

? a?b 解: (1)由 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,得 ? ,解得 a ? b ? 0 或 a ? b ? 2 , ?a ? b ? ab

? a , b ? N? ,? a ? b ? 2 ,从而 an ? 2n , bn ? 2n ;
(2)由(1) ,得 a1 ? 2 , a3 ? 6 , ∴ a1 , a 3 , an1 , an2 ,…, ank ,…构成以 2 为首项,3 为公比的等比数列, 即 ank ? 2 ? 3k ?1 . 又 ank ? 2nk ,∴ 2nk ? 2 ? 3k ?1 ,? nk ? 3k ?1 ; (3)由 a1 < b1 < a2 < b2 < a3 ,得 a < b < a ? b < ab < a ? 2b , 由 a ? b < ab ,得 a(b ? 1) > b ,由 ab < a ? 2b ,得 a(b ? 1) < 2b , 而 a , b ? N? , a < b ,即 b > a ≥1 , 从而得 1<1 ?

1 b 2b 2 ? <a < ? 2? ≤ 4 , ∴a=2 或 a=3, b ?1 b ?1 b ?1 b ?1

当 a ? 3 时, b ? 2 不合题意,故舍去,所以 a=2 满足条件, 又 am ? 2 ? b(m ? 1) , bn ? b ? 2n?1 ,故 2 ? b(m ? 1) ? t ? b ? 2n?1 ,即 (2n?1 ? m ? 1)b ? 2 ? t , ①若 2n ?1 ? m ? 1 ? 0 ,则 t ? ?2 ? N ,不合题意; ②若 2n ?1 ? m ? 1 ? 0 ,则 b ?

2?t ,由于 2n ?1 ? m ? 1 可取到一切整数值,且 b ≥ 3 ,故要至少存在 2 ? m ?1
n ?1

四个 b 使得 am ? t ? bn (t ? N) 成立,就必须整数 2 ? t 至少有四个不小于 3 的不相等因数,故满足条件的最

小整数为 12, 所以 t 的最小值为 10,此时 b ? 3 或 4 或 6 或 12.

22. 已知数列{an}满足 a1 ? ? {an}的前 n 项和.

6 ,1 ? a1 ? a2 ? ?? an ? ?an?1 ? 0 (其中 λ≠0 且 λ≠–1,n∈N*),S n 为数列 7

(1)求数列{an}的通项公式 an ; (2)当 ? ?

1 时,数列{an}中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存在,说明理由. 3

解: (1)由题意 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0 ,可得:

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? ?an ? 0(n ? 2) ,所以有 (1 ? ? )an ? ?an?1 ? 0 (n ? 2) ,又 ? ? 0, ? ? ?1 ,
得到: a n ?1 ? 又因为 a 2 ?

1? ?

?

a n (n ? 2) ,故数列 {an } 从第二项起是等比数列。

1 1 1 ? ? n?2 ( ) ,所以 n≥2 时, a n ? 7? 7? ?

? 6 ? ? ? 7 所以数列{an}的通项 a n ? ? ? 1 (1 ? ? ) n ? 2 ? ? 7? ?
1 3

n ? 1, n ? 2.

(2)因为 ? ?

? 6 ? n ? 1, ? ? 7 a ? 所以 n ? ? 3 ? 4 n ? 2 n ? 2. ? ?7

假设数列{an}中存在三项 am、ak、ap 成等差数列, ①不防设 m>k>p≥2,因为当 n≥2 时,数列{an}单调递增,所以 2ak=am+ap 即:2?(

3 3 m–2 3 p–2 k-p m–p )?4k–2 = ?4 + ?4 ,化简得:2?4 = 4 +1 7 7 7

即 22k–2p+1=22m–2p+1,若此式成立,必有:2m–2p=0 且 2k–2p+1=1, 故有:m=p=k,和题设矛盾 ②假设存在成等差数列的三项中包含 a1 时, 不妨设 m=1,k>p≥2 且 ak>ap,所以 2ap = a1+ak , 2?(

3 6 3 )?4p–2 = – + ( )?4k–2,所以 2?4p–2= –2+4k–2,即 22p–4 = 22k–5 – 1 7 7 7

因为 k > p ≥ 2,所以当且仅当 k=3 且 p=2 时成立 因此,数列{an}中存在 a1、a2、a3 或 a3、a2、a1 成等差数列

23. 定义满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=3,4,…,)阶“莫言数列”: ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 . (1)若数列 , x, ? , y 是递减的 4 阶“莫言数列”,求 x, y ; (2)已知等差数列 {an } 是 n 阶“莫言数列”,且 n 为奇数,求 {an } 的通项公式. (3)若等比数列 {an } 为 2k (k ? N*) 阶“莫言数列”,求公比 q ; (4)若一个等差数列 {an } 既是 2k (k ? N*) 阶“莫言数列”又是递增数列,求该数列的首项 a1 ; (5)记 2 k 阶“莫言数列” {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? 1, 2,3,?, 2k ) , (ⅰ)求证: | S k |?

3 8

1 8

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si } 能否为 n 阶“莫言数列”?若能,求出所 2
a1 (1 ? q 2 k ) ? 0 得 q ? ?1 , 1? q

(ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ? 有这样的数列;若不能,请说明理由.

解: (1) 若 q ? 1 ,则由① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2 k ? 由②得 a1 ?

1 1 或 a1 ? ? . 若 q ? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 2k 2k

综上所述 q ? ?1 . (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k (k ? 1) 的公差为 d (d ? 0) . ∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2k ? 0 ,∴

2k (a1 ? a2k ) ? 0 .∴ a1 ? a2k ? ak ? ak ?1 ? 0 . 2

∵ d ? 0 ,∴由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0, ak ?1 ? 0 . 由题中的①、②得

1 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ? , 2
两式相减得 k 2 ? d ? 1 , 即 d ?

1 ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?? ? a2k ? , 3 2 1 . k2
又 a1k ?

k (k ? 1) 1 1 ? 2k . d ? ? ,得 a1 ? 2 2 2k 2

(3) 记 a1 , a2 , a3 ,?, an 中非负项和为 A ,负项和为 B .

1 1 则 A ? B ? 0, A ? B ? 1 , 得 A ? , B ? ? . 2 2 1 1 1 ∵ ? ? B ? Sn ? A ? ,∴ Sn ? . 2 2 2
18.解: (1) x ?

1 3 , y ? ? ………4 分 8 8

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k ?1 (k

? 1) 的公差为 d ,

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 ,
? (2k ? 1)a1 ?
即 ak ?1

2k (2k ? 1)d ? 0, 所以 a1 ? kd ? 0 ,………8 分 2

? 0 , ? ak ?2 ? d ,

当 d=0 时,与莫言数列的条件①②矛盾, 当 d>0 时,据莫言数列的条件①②得:

1 ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ?1 ? , 2
? kd ?
k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

? ai ? ak ?1 ? (i ? k ? 1)d ?
?

i ? k ?1 i 1 ? ? . k (k ? 1) k (k ? 1) k
4i 2 ? (1 ? i ? n) ………14 分 n ?1 n ?1
2

当 d<0 时,同理得

ai ? ?

4i 2 ? (1 ? i ? n) ………16 分 n ?1 n ?1
2

(ⅱ)若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ?

1 ,由前面的证明过程知: 2

a1 ? 0 , a2 ? 0 ,?, am ? 0 , am?1 ? 0 , am?2 ? 0 ,?, an ? 0 ,
且 am?1 ? am? 2 ? ? ? an ? ?

1 . 2

记数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 的前 k 项和为 Tk , 则由(ⅰ)知, | Tk |?

1 , 2 1 1 ,而 Sm ? , 2 2 1 , 2

∴ Tm = S1 ? S2 ? ? ? Sm ?

∴ S1 ? S2 ? ? ? Sm?1 ? 0 ,从而 a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? 0 , am ? 又 am?1 ? am? 2 ? ? ? an ? ? 则 Sm?1 , Sm?2 ,?, Sn ? 0 , ∴ S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn ? S1 ? S2 ? S3 ? ?? Sn ,

1 , 2

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 0 与 S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn ? 1不能同时成立,
所以, 对于有穷数列 a1 , a2 , ???, an (n ? 2,3, 4,?) , 若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 Sm ?

1 , 则数列 {ai } 和 2

数列 {Si } (i ? 1, 2,3,?, n) 不能为 n 阶“期待数列” .

24. 已知等比数列 ?an ? 的首项为 a1 (a1 ? 0) ,公比为 q (0 ? q ? 1) ,且 ? ai ? 121 , 81 i ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

5

1 ?a
i ?1

5

? 121 .

i

(2)若从数列 ?an ? 中依次抽取的一个无穷等比数列,满足其所有项的和落在区间 ? 1 , 5 ? 内,试求出所 ? ?12 24 ? ? 有这样的等比数列. (参考公式:首项为 a1,公比为 q(0< | q | <1)的无穷等比数列的各项的和 S ? a1 .) 1? q 解: (1)因为 ? ai ? 121 , ? 1 ? 121 , 81 i ?1 i ?1 ai
5 5

所以 a3 ? 1 , (2 分) 9 解得 q ? q ?1 ? 10 , 3

a3 ? q 2 ? q ?2 ? ? a3 ? a3 ? q ? q ?1 ? ? 121 , 81
又 0 ? q ? 1 ,所以 q ? 1 , (4 分) 3 (2)设无穷等比子列的首项为 1 3

此时, an ? 1 3
k

??

n ?1

; (6 分)

??

m

,公比为 1 3

? ? ,且 m、k ? N * ,

? ? ? ? 1 ,5 ? , 则其所有项和 (9 分) ? ?12 24 ? ? 1? ?1? 3 ? ? ? ? 即 1 ?1 ? ? 1 ? ? ≤? 1 ? ≤ 5 ?1 ? ? 1 ? ? , 12 ? 3 ? 3 24 ? 3 ?
1 3
m k

k

m

k

故 1≤ 1 18 3

5 , ? ? ≤ 24
m

所以 m ? 2 , (12 分) 此时 ? 1 ≤ 1 ≤ 7 , 所以 k ? N * , (14 分) 3 3 15 所有满足题意的等比子列是以 1 为首项, 1 3 9 (16 分) ? ? ( k ? N * )为公比的等比数列.
k

??

k

25. 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足等式 an ? 2Sn ? 3 . (1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由; (2)能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,且使它的所有项和 S 满 的数列存在,这样的等比数列有多少个?
9 1 ? S ? ,如果这样 160 13

26. 设 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列.记 cn ? an ? bn . (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n 2 ,…, nk ? ( k≥4 , k ? N? ),使得数列

cn1 , cn2 ,…, cnk 为等差数列?证明你的结论.
解: (1)证明:依题意, cn?1 ? cn ? d ? ? an?1 ? bn?1 ? ? ? an ? bn ? ? d ? ? an?1 ? an ? ? d ? ?bn?1 ? bn ?

? bn (q ? 1) ? 0 ,从而

cn?2 ? cn?1 ? d bn?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn?1 ? cn ? d bn (q ? 1)
?? 5 分

所以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是首项为 b1 (q ? 1) ,公比为 q 的等比数列.

(2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d , 9 ? d , 15 ? d ,
?a ? b ? 4, 2 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,解得 d ? 3 ,从而 q ? 2 , 且 ? 1 1 解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,

所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 .
?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , 法 2:依题意,得 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1

?? 10 分

?? 7 分

?d ? b1q ? b1 ? 6 , ?b1q 2 ? 2b1q ? b1 ? 3 , ? ? 2 消去 a1 ,得 ?d ? b1q ? b1q ? 9 , 消去 d ,得 ? 3 消去 b1 ,得 q ? 2 , b1q ? 2b1q 2 ? b1q ? 6 , ? ? ? 3 2 ?d ? b1q ? b1q ? 15 ,

从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 ,所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 . ② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) ,且 cl , cm , c p , c r 成等差数 列,则 2cm ? cp ? cl ,因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? cp , ① 若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
m?1 m?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , 3



因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , c r 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm?1 ? cm ? cm? 2 , 即 2 ? am?1 ? bm?1 ? ? am ? bm ? am? 2 ? bm? 2 , 故 2bm?1 ? bm ? bm? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A . ?? 16 分

27. 已知数列 {an } 的奇数项成等差数列, 偶数项成等比数列, 公差与公比均为 2, 并且 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,
a7 ? a9 ? a8 .

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am ? am?1 ? am? 2 成立的所有正整数 m 的值; (III)在数列 {an } 的奇数项中任取 s 项,偶数项中任取 k 项(s,k∈N*,s>1,k>1) ,按照某一顺序

排列后成等差数列,当 s+k 取最大值时,求所有满足条件的数列.
? n, n为奇数, ? 解(I)由题意,解得 an ? ? n 2 ? ?2 , n为偶数.

(II)当 m 为奇数时,由题意得 m(m ? 2) ? 2 即 (m2 ? 2m ? 1) ? 2
m ?1 2

m ?1 2

? m?m?2?2

m ?1 2



? 2(m ? 1) .

当 m=1 时,上式成立; 当 m ≥ 3 时, (m2 ? 2m ? 1) ? 2 所以,m=1. 当 m 为偶数时, am ? am?1 ? am? 2 为偶数, am ? am?1 ? am? 2 为奇数,所以满足条件的偶数 m 不存在. 综上所述,满足 am ? am?1 ? am? 2 ? am ? am?1 ? am? 2 的正整数 m 的值为 1. (III)由(I)知,数列 {an } 的奇数项均为奇数,偶数项均为偶数,因此,抽出的项按某种顺序排成等 差数列,则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数,一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数,则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为 2 i , 2 j , 2 p (1≤i ? j ? p) , 则 又
2i ? 2 j ? 2i ?1 ? 2 j ?1 为奇数,而 i≥1,j≥2,则 2 j ?1 为偶数, 2i ?1 为奇数,所以 i ? 1. 2
2 j ? 2p ? 2 j ?1 ? 2 p ?1 为奇数,而 j≥2,p≥3,则 2 j ?1 , 2 p ?1 均为偶数,矛盾. 2
m ?1 2

? m 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 .

因为 k ? 1,所以偶数有 2 项,则奇数最多有 3 项,s + k 的最大值为 5, 设此等差数列为 b1,b2,b3,b4,b5,则 b1,b3,b5 为奇数,b2,b4 为偶数,且 b2 ? 2. 所以 b1 ? b3 ? 2b2 ? 4,则 b1 ? 1.此数列为 1,2,3,4,5. 同理,若从大到小排列,此数列为 5,4,3,2,1. 28. 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,等比数列 {bn } 的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1 ? d ,

b1 ? d 2 ,且

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3



1 2

29. 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? a 2 ? a 3 ? k , an ? 1?

k ? an an ?1 (n ? 3, n ? N *) 其 中 k ? 0 , 数 列 ?bn ? 满 足 : an ? 2

bn ?

an ? an ? 2 (n ? 1, 2, 3, ?? 4, an ?1

)

(1)求 b1、b 2、b3、b4 ; (2)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(3)是否存在正数 k,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存在,求出所有的 k. (1)经过计算可知: a4 ? k ? 1, a5 ? k ? 2,

k ? a4 a5 k ? (k ? 1)(k ? 2) 2 ? ? k ?4? . a3 k k 2k ? 1 求得 b1 ? b3 ? 2, b2 ? b4 ? .????????????????(3 分) k (2)由条件可知: an?1an?2 ? k ? an an?1 .????① a6 ?
类似地有: an?2 an?1 ? k ? an?1an .????② ①-②有: an?1an?2 ? an?2 an?1 ? an an?1 ? an?1an . 即: an?1an?2 ? an?1an ? an an?1 ? an?2an?1 .

an ? an ? 2 an ?2 ? an ??????????????(7 分) ? an ?1 an ?1 a ?a bn ? bn?2 ,?b2 n?1 ? b2 n?3 ? ?b1 ? 1 3 ? 2 a2 即:
因此:

a2 ? a 4 2 k ? 1 ???????(9 分) ? a3 k (3)假设存在正整数 k ,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数。 b2 n ? b2 n?2 ? ?b2 ?

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 由(2)知 ? (n ? 1,2,3?) ? ? 2k ? 1 a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? a2 n ? k ? 2 由 a1 ? k ? z , a6 ? k ? 4 ? ? z 可知 k ? 1,2 ??????????????(11 分) k 2k ? 1 ? 3 为整数,利用 a1 , a2 , a3 ? z 结合?,反复递推,可知 a4 , a5 , a6 ? 均为整数 当 k ? 1 时, k ?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 当 k ? 2 时?变为 ? (n ? 1,2,3?) 5 a ? a ? a 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? 2 ? 消去 a2n?1 , a2n?1 得: 3a2n ? a2n?2 ? a2n?2 (n ? 2) 由 a2 , a4 ? z,? a6 ? z ?? a2n ? Z
5 ? ?a2 n? 2 ? a2 n?1 ? a2 n (n ? 1,2,3?) 2 ? ? a2n?1 为偶数, a1 ? k =2??????????????(16 分)
故数列 ?an ? 是整数列. 综上所述, k 的取值集合是 ?1, 2? . 30. 已知 f ( x) 是二次函数,且 a, f (a), f ( f (a)), f ( f ( f (a))) 构成等差数列,求证: f (a ) ? a

点拨:设 f (a) ? a ? d

31. 已知二项式

?

5

x ? 1 ,其中 n ? N ,且 3 ? n ? 2012 ,在其二项展开式中,若存在连续三项的二项式 ... x

?

n

系数成等差数列,问这样的 n 共有多少个?
k k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1 解:连续三项的二项式系数分别为 Cn 、 Cn 、 Cn (1 ? k ? n ? 1 ) ,由题意 2Cn ,依组 ? Cn ? Cn

合 数 的 定 义 展 开 并 整 理 得 n 2 ? (4k ? 1)n ? 4k 2 ? 2 ? 0 , 故 n1, 2 ?

4k ? 1 ? 8k ? 9 , 则 2

8k ? 9 ? (2m ? 1) 2 ? 2k ? m 2 ? m ? 2 ,代入整理得 n1 ? (m ? 1) 2 ? 2 , n2 ? m 2 ? 2 ,? 442 ? 1936,
452 ? 2025,故 n 的取值为 44 2 ? 2 , 432 ? 2 ,…, 32 ? 2 ,共 42 个
(将所求参数求出,根据整数性质加以研究,尽量出现分式、根式等形式)

32. m∈N,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合为________. 解:当 x∈Z,且 x≤10 时, m 10 ? x ∈Z.若 m=0,则 x= -5 为函数 f(x)的整数零点. 若 m≠0,则令 f(x)=0,得 m= 此时 m∈{3,
2 x ? 10 10 ? x ? 1

∈N.注意到-5≤x≤10,且 10 ? x ∈N,得 x∈{1,6,9,10},

22 ,14,30}.故 m 的取值集合为{0,3,14,30}. 3

33. 函数 f ( x) ? ax 2 ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中,a 为负整数,则使函数至少有一个整数零点的所有的 a 值的和 为______________. -14 34. 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 ?b2 ? 4b ? 3 ? x , g ( x) ? x (2a ? x )(a ? Z , b ? Z ) ,若存在 x0 ,使
2 2 2 *

f ( x0 ) 为 f ( x) 的最小值, g ( x0 ) 为 g ( x) 的最大值,则此时数对 (a, b) 为_________.
解:由 f ( x) ? ax 2 ? 2 ?b2 ? 4b ? 3 ? x 知 ?b ? 4b ? 3 ? 0 ? 1 ? b ? 3 ,又 b ? Z 得
2

b ? 1, 2,3 ;而 f ( x) 的最小值时 x0 =
所以 35.

?b 2 ? 4b ? 3 ,又 g ( x0 ) 为 g ( x) 的最大值即 x0 ? a 2 a

?b 2 ? 4b ? 3 ? a 2 得 a 6 ? ?b2 ? 4b ? 3 得 a ? 0 或 1,则此时数对 ( a, b) 为(1,2) a


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