fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

广饶一中2014届第一学期高三期末考试题 数学(理B)


广饶一中 2013-2014 学年高三上学期期末测试 数学试题(理 B)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:12 个小题,每题 5 分,满分 60 分. 1. 设集合 A ? {1, 2,3} ,集合 B ? {?2, 2} ,则 A ? B 等于( A. ? B. {?2, 2} C. {2} D. {?2,1, 2,3} )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 2.双曲线 16 9
A.



5 3 4 C. D. 4 5 5 2 3.设首项为 1 ,公比为 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则( 3
B. A. S n ? 2an ? 1 B. S n ? 3an ? 2 C. S n ? 4 ? 3an )

5 3

) D. S n ? 3 ? 2an

4. “ (2 x ? 1) x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是(
x y

) D.

A.

?0, 2?

B.

??2,0?

C.

??2, ???

? ??, ?2?


6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台

7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,若 M , N , P 三点共线, O 为 坐标原点,且 ON ? a15 OM ? a6 OP (直线 MP 不过点 O ),则

????


???? ?

??? ?

S20 等于(
A. 15

B. 10

C. 40

D. 20

8. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) C.

π 12

B.

π 6

π 3

D.

5π 6


9.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , 则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n

C.若 m ? n, m ? ? , n ? ? , 则 ? ? ?

D.若 m ? ? , m // n, n // ? ,则 ? ? ?

10. 函数 y ?

x ln | x | 的图像可能是( | x|



11.直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A, B 两点,则?AB ?等于( A. 2 3 B. 5 C. 12 D. 3 2



12.设奇函数 f ( x) 在 (0,?? ) 上是增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? 0 的解集为 ( ) A. {x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 1} C. {x | x ? ?1, 或x ? 1} B. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, 或0 ? x ? 1}

二、填空题:4 个小题,每题 4 分,满分 16 分. 13.平面向量 AB ? (3, 4) 的单位向量是 14.已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 , 则该四棱椎的体积是 15.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2
* 倍,则需要的最少天数 n n ? N 等于_____________

??? ?

?

?

16.抛物线 y ? 8x 的顶点为 O , A ?1,0 ? ,过焦点且倾斜角为
2

? 的直线 l 与抛物线交于 M , N 两 4

点,则 ?AMN 的面积是

三、解答题:6 个小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)叙述并证明余弦定理.

18.(本题满分 12 分) 在

?ABC



,



A, B, C













a, b, c

,



cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B)sin( A ? C ) ? ?
(1)求 sin A 的值;

3 5

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

19.(本题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,

b4 ? S3 .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . bn bn ?1

20.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD,E,F S 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥ 平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小. F

C D A E B

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x ) 的最小值;

(2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

为4 . (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? ,若|AB |= 直线 l 的倾斜角.

4 2 ,求 5

高三数学理科 B 卷答案
一、选择题:

CBDBD

DBBDB

AD

二、填空题
13. ( , )

3 4 5 5

14. 96

15. 6

16. 4 2

三、解答题
17.解:余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ;
2 2 2

A

c
B
-----3 分 -----6 分

b

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ??? ? ??? ? ??? ? 下面证明:在 ?ABC 中 BC ? BA ? AC ??? ?2 ??? ?2 ??? ?2 ??? ? ??? ? 平方得: BC ? BA ? AC ? 2BA?AC ??? ? ??? ? ???? 因为 BC ? a, BA ? c, AC ? b .

a

C

所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2b? c cos? BA, AC? ,即: a ? b ? c ? 2bc cos A ;-----10 分
2 2 2

??? ? ??? ?

同理可证: b ? a ? c ? 2ac cos B ;
2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
(其他证明方法酌情给分) 18.解:(1)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A ? c) ? ?

-----12 分

3 得 5

3 cos( A ? B) cos B ? sin(A ? B) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B) ? ? ,即 cos A ? ? 5 5
又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? (2)由正弦定理,有

-----2 分 -----4 分

4 5

b sin A 2 a b ? ,所以 sin B ? , ? a 2 sin A sin B

-----6 分

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 (负值舍去), 向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? -----9 分

3 5

??? ?

??? ?

2 2

-----12 分

19.解: (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn ? 2an ? 1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an?1 ,即 ----2 分

an ?2 an ?1

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 ----5 分 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ∴ Tn ? --------7 分 ----9 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

----12 分

20.解法一: ( 1 ) 作 FG ∥ DC交 SD 于 点 G , 则 G 为 SD 的 中 点 . 连 结 AG,FG ∥

1 CD , 又 2

CD ∥AB ,故 FG ∥AE,AEFG 为平行四边形.
? EF ∥ AG ,又 AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD . 所以 EF ∥ 平面 SAD . --------4 分 △ ADG 为等腰直角三角形. (2)不妨设 DC ? 2 ,则 SD ? 4,DG ? 2, 取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ AG . 又 AB ⊥ 平面 SAD ,所以 AB ⊥ DH ,而 AB ? AG ? A , 所以 DH ⊥ 面 AEF . --------8 分 取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM ⊥ EF .连结 DM ,则 DM ⊥ EF . 故 ?DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角 --------10 分

tan ?DMH ?

DH 2 ? ? 2. HM 1
--------12 分

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 . 解法二: (1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz .

0,, 0) S (0, 0,b) ,则 B(a,a,, 0) C (0,a,, 0) 设 A(a,

? ? b? ? a ? ? a b ? ??? E ? a, , 0 ?,F ? 0, , ? , EF ? ? ?a, 0, ? . 2? ? 2 ? ? 2 2? ?
取 SD 的中点 G ? 0, 0, ? ,则 AG ? ? ?a, 0, ? .

z S

? ?

b? 2?

????

? ?

b? 2?

G

F

??? ? ???? D EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平 面 S A ,
SAD ,
所以 EF ∥ 平面 SAD .--------4 分

E? F平 面
D A x E

M C B A y

, 0, 0) ,则 (2)不妨设 A(1

? 1 ? ? 1 ? B(11 , ,, 0) C (0, 1,, 0) S (0, 0,, 2) E ?1,, 0 ?,F ? 0,, 1? . ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1 1 1 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 1 1 ? ???? EF 中点 M ? ,, ?, MD ? ? ? , ? , ? ?, EF ? (?1, 0,, 1) MD?EF ? 0,MD ⊥ EF ?2 2 2? ? 2 2 2?
又 EA ? ? 0, ? , 0 ? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角.

??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? MD?EA 3 cos ? MD, EA ?? ???? . ? ??? ? ? 3 MD ?EA

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos (其他方法酌情给分) 21.解: (1) f ( x) 的定义域为(0,+?), 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

3 . 3

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ……2 分

1 ; e 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . ………………4 分 e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ……………………………6 分 e e

? ?) 上恒成立, (2)依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1,
即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 , ? ?) 恒成立 . 对于 x ? [1 x
则 g ?( x) ?

………8 分

1 , x

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . x x2 x ? x ?
? ?) 上的增函数,………10 分 故 g ( x) 是 (1,
?????12 分

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?

1] . 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??,
22.解: (1)由 e=

c 3 2 2 2 2 2 ,得 3a ? 4c .再由 c ? a ? b ,解得 a=2b. ? a 2
1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab=2. 2
………2 分

由题意可知

解方程组 ?

?a ? 2b, 得 a=2,b=1. ?ab ? 2,

………4 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆的方程为 4

………6 分

(2)解:由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率 为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

? y ? k ( x ? 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 2 ? ? y ? 1. ?4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 .

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 由 ?2 x1 ? ,得 x1 ? .从而 y1 ? . 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

………10 分

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 所以 | AB |? ? ?2 ? . ? ?? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ?
由 | AB |?

2

2

………12 分

4 1? k 2 4 2 4 2 ,得 . ? 5 1 ? 4k 2 5
4 2

整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 ,即 (k 2 ?1)(32k 2 ? 23) ? 0 ,解得 k= ?1 . 所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4

………14 分


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图