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数学理科月考试卷


数学理科月考试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.在复平面内,复数 Z ? A.第四象限
2 ? i 3 对应的点位于 3?i





B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限

1? x? ? 2 2.已知集合 M ? ? x | y ? lg ? , N ? y | y ? x ? 2 x ? 3 ,则 (C R M ) ? N ( x ? ?

?

?



A.{x|0<x<1} B.{x|x>1} 则 f (ln 6) 的值为 A.ln6+6 B. ln6-6 (

C.{x|x≥2} )

D.{x|1<x<2} (e 为自然对数的底数) ,

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,f(x)=x ?e? x C. -ln6+6 D.-ln6-6

4.已知等差数列 ?an ? 的 n 前项和为 S n ,其中 S10 ? 0, S15 ? 25, 则S n取得最小值时n的值是 ( A.4
2

) B.5 C.6 D.7

5.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原 点,若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. ) C.

2 2

B. 2

3 2 2

D. 2 2 )

6.执行右边的程序框图,若输出的 S 是 127,则判断框内应该是( A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8

(? ? 0, 0 ? ? ? 7.函数 y ? sin(? x ? ? ),

?

? ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示, A ? ? , 0 ? , 2 ? 6 ?

B 在 y 轴上,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中 π y 心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 ,则 ω,φ 12 B 的值为( ) π π E x A O A.ω=2,φ= B.ω=2,φ= 3 6 D 1 π 1 π C C.ω= ,φ= D.ω= ,φ= 2 3 2 6 8.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? x yz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2, 0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A. 3 9.函数 B.

5 2

C. 2

D.

7 2

的部分图象为

10.三棱锥 S—ABC 中,∠SBA=∠SCA=90° ,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,则 以下结论中: ①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° . ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 2 其中正确的个数是( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 11 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB =1:2,AB⊥平面 ? ,H 为垂足, ? 截球 O 所得 截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为 A.

5? 3

B.4 ?

C.

9? 2

D.

144? 35

12.设 f ? x ? ? ln x ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 在区间 ? 0,3 上有三个零点,则实数 a 的取 值范围是 A. ? 0, ?

?

? ?

1? e?

B. ?

? ln 3 ? ,e? ? 3 ?

C. ? 0,

? ?

ln 3 ? 3 ? ?

D. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 13.已知在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E 是棱 A 1B 1 的中点,则 直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正切值是 14. 己知 x>0, y>0, 且 x? y? .

1 1 则 x+y 的最大值是______. ? ? 5, x y

15. 三棱锥D ? ABC中,DA ? 底面ABC,底面ABC为等边三角形,DA ? 4,AB=3,

则三棱锥D ? ABC的外接球体积为
16.函数 f(x)=



x-x3 的最大值与最小值之积等于____________. x 4+2 x 2+1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ?
4? ) ? 2 cos 2 x. 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合;
3 (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B ? C ) ? , b ? c ? 2 ,求 a 2

的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2 an , cn =

1 ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N ? , bnbn ?1

Tn ? k ? n ? 4 ? 恒成立,求实数 k 的取值范围.
19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥ AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的 中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

20(本小题满分 12 分) 己知向量 m ? ? 3 sin

? ?

x ? x x? ? ,1? , n ? ? cos ,cos 2 ? ,记 f ( x) ? m ? n . 4 ? 4 4? ? ? 2? ? ? x ? 的值; ? 3 ?

(I)若 f ( x) ? 1 ,求 cos ?

( II)在锐角 ? ABC 申, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且满足( (2a ? c)cos B ? b cos C , 求函数 f ( A) 的取值范围.

21(本小题满分 12 分) 如 图 , 设 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 为 菱 形 , 且 ∠ ABC ? 60 , AB ? SC ? 2 ,

SA ? SB ? 2 。
(Ⅰ)求证:平面 SAB ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的余弦值。

请在下面的两个题中任选一题做答 【选修 4—1】集合证明选讲 22. (10 分) 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙ O, BD 是⊙ O 的直径, AE⊥ CD 于点 E, DA 平分∠ BDE. (1)证明:AE 是⊙ O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.

【选修 4—5】不等式选讲 23.设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ )求实数 M 的值; (Ⅱ )求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集.

答案 一、A C A B C 二填空题 13.3 三、 14.4

B A A A D

C D

15.

28 7 3

16. ?

1 16

f ( x) 的最大值为 2 ………………………………………4 分
要使 f ( x) 取最大值, cos(2 x ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?
3

? 2k? (k ? Z )

? ?

?

? , k ? Z ? ………6 分 6 ?

(2)由题意, f ( B ? C ) ? cos[2( B ? C ) ? 化简得 cos(2 A ?

?
3

] ?1 ?

3 ? 1 ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2

?
3

)?

1 ……………………………………………………8 分 2

Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ?

?
3

? (?

? 5?
3 , 3

) ,只有 2 A ?

?
3

?

?
3

,A?

?
3

. ………9 分

在 ?ABC 中,由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 由 b ? c ? 2 知 bc ? (

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ………10 分

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 ,………………………………11 分 2 当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1. …………………………………12 分
18.解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2 ? ( 2a n ?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1
n

? a n ? 2 n ………6 分

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22 =n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - =1- = .………9 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ 4 +5 n ?1 n
Tn=1- ∵n+ ∴

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n

1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? ……12 分 4 9 ?9 ? n+ +5 9 n

20. (本小题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ )

f ? x? ? m ? n

=

x x x 3 sin cos ? cos 2 4 4 4

=

3 x 1 x 1 ?x ?? 1 sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ?2 6? 2
因为 f ( x) ? 1 ,所以 sin ?

?x ?? 1 ? ? ? …………………………………4 分 ?2 6? 2

?? ? ?x ?? 1 cos ? x ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? 3? ? ?2 6? 2
分 (Ⅱ )因为 ? 2a ? c ? cos B ? bcos C

?? 1 ? 2? ? ? cos ? ? x ? ? ? cos ? x ? ? ? ? 3? 2 ? 3 ? ?

…6

由正弦定理得 ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ……………………7 分 所以 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 所以 2sin A cos B ? sin ? B ? C ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin ? B ? C ? ? sin A ,且 sin A ? 0 所以 cos B ?

1 ? ,B ? 2 3

………8 分

所以 0 ? ? ?

2? 3

……9 分

所以

?
6

?

A ? ? 1 ?A ?? ? ? , ? sin ? ? ? ? ? 2 6 2 2 ?2 6? ?x ?? 1 ? ?? ?2 6? 2 ? 3? ? 2?

……………………10 分

又因为 f ? x ? = m n ? sin ?

所以 f ? A? ? sin ?

?A ?? 1 ? ?? ?2 6? 2

……11 分

故函数 f ? A? 的取值范围是 ?1, ? 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 AC ,取 AB 的中点 E ,连接 SE 、 EC ,

SA ? SB ? 2 , ? SE ? AB , AB ? 2 , ? SE ? 1 ,又四棱锥 S ? ABCD 的底面为菱形,且 ∠ ABC ? 60 , ? ABC 是 是 等 边 三 角 形 , AB ? 2 ?CE ? 3 , 又 SC ? 2 , ? SC 2 ? CE 2 ? SE 2 ,? SE ? EC ,? SE ? 面 ABCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分别以 EC , EB, ES 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立建立空间直角坐
标系。则面 ABS 的一个法向量 m ? (1, 0, 0) , A(0, ?1, 0) , S (0, 0,1) , D( 3, ?2,0) ,

? AD ? ( 3, ?1,0), AS ? (0,1,1) , 设 面 A D S 的 法 向 量 n ? ( x , y , z ), 则 AD ? n
令 y ? 3, 则 x ?1 由n ?1 , z ? ?3 , ( , 3 , 3 )? ? 3x ? y ? 0 ,AS ? n ? y ? z ? 0 , ADS ABS ? 设平面 与平面 所夹角的大小为 ,则 m?n 1 7 cos ? ? ? ? 7 m n 1? 7 . ,

22. (1)证明:连结 OA,在△ADE 中,AE⊥CD 于点 E, ∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA 平分∠BDC. ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90°

即:AE 是⊙O 的切线 (2)在△ADE 和△BDA 中, ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠BAD=90° 由(1)得:∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60° 进一步求得:CD=2 故答案为: (1)略 (2)CD=2 23. 解: (Ⅰ)函数 f(x)= =3, 当且仅当 = ,即 x=4 时,取等号,故实数 M=3. + = ? + ≤ ?

(Ⅱ)关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M,即|x﹣1|+|x+2|≤3. 由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴|x﹣1|+|x+2|=3. 根据绝对值的意义可得,当且仅当﹣2≤x≤1 时,|x﹣1|+|x+2|=3, 故不等式的解集为[﹣2,1].


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