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2018版高中数学第一章计数原理1.1第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用学案苏教版选修2_320181031377

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第 2 课时
学习目标

分类计数原理与分步计数原理的应用

巩固分类计数原理和分步计数原理, 并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题.

知识点一 两个计数原理的区别与联系

分类计数原理 相同点

分步计数原理

用来计算完成一件事的方法种类 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每步依次完成才算完成这件事(每 步中的一种方法不能独立完成这件 事) 步步相依,步骤完整

不同点

每类方案中的每一种方 法都能独立完成这件事

注意点

类类独立,不重不漏

知识点二 两个计数原理的综合应用 解决较为复杂的计数问题,一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到目的明确,层次 分明,先后有序,还需特别注意以下两点: (1)合理分类,准确分步:处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分 类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.分类时需要满足两个条件: ①类与类之间要互斥(保证不重复);②总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的 分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不 干扰,并确保连续性. (2)特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应优先安排特殊元素, 优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现出解题过程中的主次思想.

类型一 排数问题 例 1 用 0,1,2,3,4 五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数?
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引申探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?(3)可以排成多少个能被 2 整除的 无重复数字的三位数?

反思与感悟 对于组数问题,应掌握以下原则: (1)明确特殊位置或特殊数字, 是我们采用“分类”还是“分步”的关键. 一般按特殊位置(末 位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成; 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 跟踪训练 1 用数字 2,3 组成四位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共有________ 个.(用数字作答) 类型二 抽取(分配)问题 例 2 如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________.

反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一

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般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行;②间接法: 去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 跟踪训练 2 有四位同学参加三项不同的竞赛. (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛,有多少种不同结果? (2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?

类型三 涂色与种植问题 命题角度1 涂色问题 引申探究 若本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?

② ① ③ ④

例 3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个小方格内,每格涂一种 颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

1

2

-3-

3

4

反思与感悟 涂色问题的四个解答策略 涂色问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考 题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色问题一般是直接利用两个 计数原理求解,常用的方法有: (1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步计数原理计算. (2)以颜色为主分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类计数原理计算. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. (4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准. 跟踪训练 3 如图所示,将四棱锥 S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两 端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.

命题角度2 种植问题 例 4 将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田
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不能种同一种作物,则不同的种植方法共有________种.

反思与感悟

按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分

类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种 方法都能完成这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进 了一步. 跟踪训练 4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块 土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.

1.用 0,1,2,3 组成没有重复数字的四位数,其中奇数有________个. 2.在 2,3,5,7,11 这五个数字中,任取两个数字组成分数,其中假分数的个数为________. 3.有 5 名同学被安排在周一至周五值日,每人值日一天.已知同学甲只能在周三值日,那么 这 5 名同学值日顺序的安排方案共有________种. 4.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现 A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.

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5.如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要求相邻的矩形涂色不同,则 不同的涂法有________种.

A C D

B

1.分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理,是解答后面将要学习的 排列、组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成;应用分步计数原理要求各 步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤. 3 一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏. 4.若正面分类的种类比较多,而问题的反面种类比较少时,则使用间接法会简单一些.

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答案精析 题型探究 例 1 解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可以重复,每个位置都有 5 种排 法,共有 5×5×5=5 =125(种). (2)三位数的首位不能为 0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除 0 外共有 4 种方法, 第二、三位可以排 0,因此,共有 4×5×5=100(种). (3)被 2 整除的数即偶数,末位数字可取 0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是 0, 则有 4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是 0,则末位有 2 种排法,即 2 或 4,再排首位, 因 0 不能在首位,所以有 3 种排法,十位有 3 种排法,因此有 2×3×3=18(种)排法.因而有 12+18=30(种)排法.即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数. 引申探究 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从 1,3
3

中任取一个,有 2 种方法;第二步定首位,把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有三个,可任取 一个,有 3 种方法;第三步,第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方 法,再排十位有 2 种方法.由分步计数原理知共有 2×3×3×2=36(个). 跟踪训练 1 14 解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意, 所以符合题意的四位数有 2 -2=14(个). 例 2 18 解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条,从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条,所以从 E 点到 G 点的最短路径条数为 6×3=18. 跟踪训练 2 解 (1)学生可以选择竞赛项目,而竞赛项目对于学生无条件限制,所以每位学 生均有 3 个不同的机会,要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行,因此 需分四步. 而每位学生均有 3 个不同选择, 所以用分步计数原理可得 3×3×3×3=3 =81(种) 不同结果. (2)竞赛项目可挑选学生,而学生无选择项目的机会,每一个项目可挑选 4 位不同学生中的一 位. 要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行,因此需分三步,用分步计算 原理可得 4×4×4=4 =64(种)不同结果. 例 3 解 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上,有 5 种不同的涂法. (1)当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时,有 4×3=12(种)不同的涂法,第 4 个小方格有 3 种不同的涂法,由分步计数原理可知有 5×12×3=180(种)不同的涂法.
3 4 4

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(2)当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时,有 4 种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法,由分步计数原理可知有 5×4×4=80(种)不同的涂法.由分类 计数原理可得共有 180+80=260(种)不同的涂法. 引申探究 解 依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色. 第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成 4 步来完成. 第一步涂①,从 5 种颜色中任选一种,有 5 种涂法; 第二步涂②,从余下的 4 种颜色中任选一种,有 4 种涂法; 第三步涂③与第四步涂④时,分别有 3 种涂法和 2 种涂法. 于是由分步计数原理可得,不同的涂法为 5×4×3×2=120(种). 第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成. 第一步涂①④,有 5 种涂法;第二步涂②,有 4 种涂法;第三步涂③,有 3 种涂法. 于是由分步计数原理得,不同的涂法有 5×4×3=60(种). 综上可知,所求的涂色方法共有 120+60=180(种). 跟踪训练 3 解 由题意,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染的颜色互不相同,它们共有 5×4×3=60(种)染色方法. 当 S,A,B 染色确定时,不妨设其颜色分别为 1,2,3. 若 C 染 2,则 D 可染 3 或 4 或 5,有 3 种染法;若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有 2 种染法;若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4,有 2 种染法. 由分类计数原理知,当 S,A,B 染法确定时,C,D 有 7 种染法. 由分步计数原理得,不同的染色方法有 60×7=420(种). 例 4 42 解析 分别用 a、b、c 代表 3 种作物,先安排第一块田,有 3 种方法,不妨设放入 a,再安排 第二块田,有 2 种方法 b 或 c,不妨设放入 b,第三块也有 2 种方法 a 或 c. (1)若第三块田放 c:

a

b

c

第四、五块田分别有 2 种方法,共有 2×2=4(种)方法. (2)若第三块田放 a:

a
第四块有 b 或 c2 种方法, ①若第四块放 c:

b

a

a
第五块有 2 种方法; ②若第四块放 b:

b

a

c

-8-

a
第五块只能种作物 c,共 1 种方法.

b

a

b

综上,共有 3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法. 跟踪训练 4 解 方法一 (直接法) 若黄瓜种在第一块土地上, 则有 3×2=6(种)不同的种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有 3×2=6(种)不同的种植方法. 故不同的种植方法共有 6×3=18(种). 方法二 (间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种,种在三块地上,有 4×3×2=24(种),其中不种黄 瓜有 3×2×1=6(种),故不同的种植方法共有 24-6=18(种). 当堂训练 1.8 2.10 3.24 4.13 5.108

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