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江西省高安中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 文

江西省高安中学2016-2017学年度下学期期末考试
高一年级文科数学试题 一.选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.不等式 x( x ? 2) ? 0 的解集为( A. {x | x ? 0或x ? ?2} C. {x | 0 ? x ? 2} ) B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | x ? 0或x ? 2}

5 7 9 2. 数列 1, ? , , ? ,.... 的一个通项公式是(  ) 8 15 24

A. an ? (?1) n ?1

2n ? 1 (n ? N ? ) n2 ? n 2n ? 1 (n ? N ? ) n 2 ? 2n

B. an ? (?1) n ?1

2n ? 1 (n ? N ? ) n 2 ? 3n 2n ? 1 (n ? N ? ) n 2 ? 2n

C. an ? (?1) n ?1

D. an ? (?1) n ?1 ) C. a 2 ? b 2

3. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B.
1 1 ? a b

D. a 3 ? b3

4. 在等差数列 ?an ?中, a2 , a10 是方程 2 x 2 ? x ? 7 ? 0 的两根,则 a6 等于 (  ).
1 1 7 7

A.2 5. sin ? ? cos ? ?

B.4
3 则 sin 2? ? (  ) 3

C.-2

D.-4

A. ?

2 3

B. ?

2 9

C.

2 9

D.

2 3

6.

9 1 2 8 3 在等比数列中,a1= ,an= ,q=3,则项数n为(  )

A.3

B.4

C.5
3 3

D.6

a ? 2b x?3 7.已知不等式 >0的解集为 (?1,3) ,那么 =(  ) ax ? b 3b 2 a
A.3 B. ?
1 3

C.-1 1

D.1

8.若

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? ? (  ) sin ? ? cos ? 2 3 4

A.

B. ?

3 4

C. ?

3 5
4 5
a b

D.

3 5

9. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b 且 A ? 2 B , sin B ? ,则 的值是(



A. 10.

3 5

B.

6 5

C.

4 3

D.

8 5

已知数列 ?an ?的通项公式 an ? 自然数 n (  )

n ?1 1 (n ? N ? ) ,设 ?an ?的前 n 项积为 sn ,则使 sn ? 成立的 n?2 32

A.有最大值62 B.有最小值63 C.有最大值62 1 ? 13 11.已知 cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , ? ? ( 7 2 14 A.

D.有最小值31 )

?
4

B.

?
6

C.

?
3

D.

5 ? 12
) D.1830

12.已知数列 ?an ?满足 an ?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1, 则 ?an ?的前60项和为( A.3690 B.3660 C.1845

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。) 13.不等式
( x ? 3)( x ? 2) ? 0 的解集为___________. x ?1

14.已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________. 15.函数 f ( x) = sin 2 2 x ? cos 2 2 x 的最小正周期是    . 16. 从玩具飞机A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯 角分别为67°,30°,此时气球的高是46 流的宽度BC约
第16题图

如图,

m,则河

2

等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

67°≈0.92,cos

三、解答题:本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分10分)当a为何值时,不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集是全体实数?

18.(本小题满分12分) 已知 x ? 0, y ? 0, 且 (1) xy 的最小值;(2) x ? y 的最小值.

2 8 ? ? 1 ,求: y x

19.( 本小题满分12分)已知等差数列 ?an ?满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ?的前n项和为 S n . (1) 求 an 及 S n ;

?1? (2) 求数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn . ? Sn ?

20.(本小题满分12分)已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)如果 cos B ?
6 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

3

21. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中a∈R, ? ? (? (1)当 a ? 2, ? ?

? ?

, ) 2 2

?
4

时,求 f ( x) 在区间 ?0, ? ?上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求a,θ的值. 2

?

22.(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40.

bn ? log 2 an
(1)求数列 ?bn ?的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn ?1 ? cn ?
bn ,求证: cn ? 3 ; an
1 1 1 k ? ? ?????? ? ? 对任意正整数n均成立?若存 bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10

(3)是否存在正整数k,使得

在,求出k的最大值,若不存在,说明理由.

江西省高安中学2016-2017学年度下学期期末考试 高一年级文科数学试答案

4

1 题 号 A 选 项

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

D

B

A

B

B

A

B

B

C

D

13 (?1,1) ? (3, ??)

14. 110

15 .8

16.60

17若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;………….2分
1

.若a=-1,原不等式为2x-1<0,即x<2,不符合题目要求,舍去.………….4分 (2)当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集是全体实数的条件是Error!…………6分
3

解得-5<a<1. ………….9分
3

综上所述,当-5<a≤1时,原不等式的解集是全体实数.………….10分 18.解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy 即xy≥8 xy,∴ xy≥8, 即xy≥64. …………4分

当且仅当2x=8y 即x=16,y=4时,“=”成立.…………5分

∴xy的最小值为64…………6分

(2)∵x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
2 8

∴2x+8y=xy,即y+x=1.
2x 8y 2 8 2x 8y · y x y x ∴x+y=(x+y)·( + )=10+ + ≥10+2 y x =18…………10分 2x 8y

当且仅当 y = x ,即x=2y=12时“=”成立. ∴x+y的最小值为18. …………12分 5

19. (1)解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,……….2分 所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ;………….3分

S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n .………….6分 2

(2)由(Ⅰ)可知, S n ? n 2 ? 2n ,所以 所以 Tn ?
1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S 2 S3 S n ?1 S n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2

?

1? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? .……….12分 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?

20.解:(1)因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,……………………3分 2bc 2

又因为 A ? ?0, ? ?,所以 A ?

?
3

………………………5分

(2)因为 cos B ?

3 6 , B ? ?0, ? ?,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? …………6分 3 3
a b b sin A ? ? 3 ……………………………………7分 ,得 a ? sin A sin B sin B

由正弦定理

因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 c 2 ? 2c ? 5 ? 0 ……………………………………8分 解得 c ? 1 ? 6 ,因为 c ? 0 ,所以 c ? 6 ? 1 ……………………………………10分 故△ABC的面积 S ?

1 3 2? 3 bc sin A ? …………………………………………12分 2 2
π

21.解:(1)当a= 2,θ=4时, f(x)=sin
2 π x (x+π 4)+ 2cos( +2)= 2 (sin x+cos x)- 2sin 2 2

x= 2

cos

x- 2

sin

x=sin

x (π 4- ),……………….3分 π

因为x∈[0,π],从而4-x∈

[-34π,π 4],
6

…………………4分

2

故f(x)在[0,π]上的最大值为 2 ,最小值为-1………….6分 (2)由Error! 得Error! 又θ∈
π (-π 2,2)知cos

………………7分. θ≠0,

解得Error!………….12分 22.解:(1)设数列{an}的公比为q(q>0), 由题意有Error!, ∴a1=q=2,∴an=2n, ∴bn=n. …………3分.
n

(2)∵c1=1<3,cn+1-cn=2n,…………4分.
1 1 1 1 2 n-1 2 2 22 23 ∴ cn= + + +…+ 2n . 1 1 n-1 n+1 2 n-1

当n≥2时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+2+22+…+2n-1,

相减整理得:cn=1+1+2+…+2n-2-2n-1=3-2n-1<3, 故cn<3. …………7分.
1 1 1 bn 1 bn 2 bn + + (3)令f(n)= + +…+ +n 1 1 1 1 1 1 1 1

=n+1+n+2+…+2n ∵f(n+1)-f(n)=2n+1+2n+2-n+1 =2n+1-2n+2>0, ∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增,
1

∴f(n)min=f(1)=2.
k 1

由不等式恒成立得:10<2, ∴k<5. 故存在正整数k,使不等式恒成立,k的最大值为4…………12分. 7

8


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