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数列的通项公式与递推公式


2.1 第2课时

数列的概念与简单表示法 数列的通项公式与递推公式

考察下面的数列,它的第n+1项 与第n
项有什么关系?

(1)8,10,12,14,16,….

(2)2,5,8,11,14….
(3)1,2,4,8,16,….

1.数列的递推公式

一个数列若满足以下两个条件: 第一项a1 ①已知数列 {an }的 (或前几项 ). ②从第二项 (或某一项 )开始的任意项 an 与它的 前一项an-1 ( 或前几项)(n ≥ 2 , n ∈ N*) 间的关系可以用 一个公式来表示.则此公式就叫做这个数列的递推公 式.

1.递推公式与通项公式的对比

数列的递推公式及应用

【例1】

已知数列{an}的第1项是2,以后的各项

an-1 由公式an= (n=2,3,4,…)给出,写出这个数列的 1-an-1 前5项,并归纳出数列{an}的通项公式. 【分析】 写出通项. 先写出前5项,再观察这5项,找出规律

【解】

可依次代入项数进行求值.

-2 2 2 a1=2,a2= =-2,a3= =-3, 1-2 1-?-2? 2 a4 = ? =- , 2? 5 ? ? 1- -3 ? ? 2 a5= ? 2?=-7. 1-?-5? ? ? 2 -5 2 -3

2 2 2 即数列{an}的前5项为2,-2,-3,-5,-7. -2 -2 -2 -2 2 也可写为 , 1 , 3 , 5 ,-7. -1 即分子都是-2,分母依次加2,且都是奇数, 2 所以an=- (n∈N*). 2n-3

1 1 在数列{an}中,若a1= 2 ,an= (n≥2,n∈N*), 1-an-1 则a2 007的值为( A.-1 C.1 ) 1 B.2 D.2

1 1 解析:a1= 2 ,a2=2,a3=-1,a4= 2 ,a5=2,a6=- 1,…,归纳得an+3=an. ∴a2 007=a3×669=a3=-1.

答案:A

由递推公式求通项公式

【例2】

2an (1)已知数列{an}中,a1=1,an+1= an+2

(n∈N*),求通项an. an+1 n (2)设{an}是首项为1的正项数列,且 = ,求 an n+1 它的通项公式.
1 【分析】 (1)将已知等式化简、整理,得 - = an+1 an 1 1 ,用累加法可求 ,再求 an.(2)可用累乘法求通项. 2 an 1

【解】

2an (1)∵an+1= , an+2

∴an+1(an+2)=2an. ∴an+1an=2an-2an+1. 1 1 1 两边同除以2an+1an,得 -a =2. an+1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a -a =2,a -a =2,…,a - =2. a - 2 1 3 2 n n 1 1 1 n-1 把以上各式累加得 - = . an a1 2

2 又∵a1=1,∴an= . n+1 2 故数列{an}的通项an= (n∈N*). n+1 a2 a3 a4 a5 an (2) · · · · …· a1 a2 a3 a4 an-1 1 2 3 4 n-1 =2· …· n , 3· 4· 5· an 1 ∴a =n. 1 1 1 又∵a1=1,∴an=na1=n.

2.已知数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法 当an-an-1=f(n)满足一定条件时, 常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累 加. (2)累乘法 an 当 =g(n)满足一定条件时, an-1 an an-1 a2 常用an= · · …· · a 累乘. an-1 an-2 a1 1

数列中的归纳、猜想问题

【例3】 形:

(1)用火柴棒按下图所示的规律搭三角

按图甲所示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所 搭三角形的个数n之间的关系式可以是________.

(2)黑白两种颜色的正六边形地板砖按图乙的规律拼成 若干个图案,则第12个图案中有白色地板砖________块.

【分析】

先尝试写出a1,a2,a3,再进行归纳.

解析:经观察,第n个图中间1个点向n个方向发散,每 个方向上另有(n-1)个点.故第n个图形中点的总个数为n(n -1)+1=n2-n+1.

答案:n2-n+1

{an }随n的变化有何规律? 观察下列数列 {an } 通项公式,

(1)an ? 3n ? 1 1 a ? 1? 2 (2) n n (3) an ? 2

2.数列的单调性 在数列{an}中,若an+1 > an,则{an}是递增数列;若an+1 < an , 则{an}是递减数列;若an+1 = an,则{an}是常数列.

如何判断数列的单调性
要比较 an 与 an+1 的大小,可以用作差法或作商法, 即若 an+1-an>0,则 an+1>an,可以判断数列{an}是递增 a n+ 1 数列;当 an>0 时,若 a >1,则 an+1>an,也能判断数 n 列{an}是递增数列.对于递减数列,可以相应调整不等 号的方向给出判断.

——易错警示系列—— 用函数方法解决数列问题 时,常忽略数列的特殊性 易错点:用函数方法解决数列问题时,常忽略数列的 特殊性 对于数列{an},若第n项最大,则
? ?an>an-1, ? ? ?an>an+1. ? ?an≥an-1, ? ? ?an≥an+1,

而不是

【典例】

9n· ?n+1? 已知an= 10n (n∈N*),则数列{an}中有

没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理 由. 【错解】 设an最大(n≥2),


n n 1 9 · ? n + 1 ? 9 · n ? ? > n-1 , n ? 10 10 a > a , ? ? n n-1 则? 即? n n+1 ? a > a , 9 · ? n + 1 ? 9 · ?n+2? ? n n+1 ? > , n ? 10n+1 ? 10

解得 8<n<9. 又因为 n∈N*,所以 n 不存在, 故数列{an}中没有最大项.

【错因分析】
? ?an>an-1, 而不是? ? ?an>an+1,

若an最大(n≥2),则应有

? ?an≥an-1, ? ? ?an≥an+1,

因为有可能an与an-1或an+1同时最大.

an≥an-1, 【正解】 设 an 最大(n≥2),则 an≥an+1,
- 9n·?n+1? 9n 1·n ≥ n-1 , n 10 10 即 9n·?n+1? 9n+1·?n+2? ≥ , +1 n n 10 10

解得 8≤n≤9. 又因为 n∈N*,所以 n=8 或 9. 99 故数列{an}的最大项为 a8=a9= 8. 10

已知对于任意的正整数n,an=n2+λn.若数列{an}是 递增数列,则实数λ的取值范围是________.
解析:∵{an}是递增数列, ∴an+1-an =(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn =2n+1+λ>0 对于任意的正整数n恒成立,即λ>-2n-1对于任意的 正整数n恒成立,∴λ>-3.

答案:(-3,+∞)


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