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高中数学(人教B版)必修四课件:章末归纳总结1第1章_图文

成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章 基本初等函数(Ⅱ)
第一章 基本初等函数(Ⅱ)

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第一章 章末归纳总结
第一章 基本初等函数(Ⅱ)

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1 知识结构 2 学后反思 3 专题研究
第一章 章末归纳总结

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知识结构
第一章 章末归纳总结

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4 第一章 章末归纳总结

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学后反思
第一章 章末归纳总结

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1.三角函数的定义是本章的核心,借助单位圆利用角 α 终边上任一点 P 的坐标(x,y)和点 P 到原点的距离 r(r>0),由 x, y,r 两两组成六个不同的比值,从而得到
sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx,cotα=xy,secα=xr,cscα=yr. 这六个三角函数都是以角为自变量,以比值为函数值的函 数.由于角的集合与实数集之间具有一一对应关系,故三角函 数可以看作是以实数为自变量的函数,因此要注意从函数的角 度去研究.
第一章 章末归纳总结

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2.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 ???π2±α,π±α的正弦、余弦、正切???,了解三角函数的周期性.
3.对于三角函数的定义域和值域、各三角函数在各象限的 符号、同角三角函数的关系、诱导公式、特殊角的函数值等, 要掌握是怎样利用三角函数的定义推导出来的,这是正确记忆 的有效途径
4.在三角函数变换中要注意先左右伸缩变换后平移变换和 先平移变换后左右伸缩变换的不同.
5.三角函数的图象和性质是本章的重点,在学习中要注意 数形结合和化归思想的应用.
第一章 章末归纳总结

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专题研究
第一章 章末归纳总结

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三角函数的化简及求值

命题方向 三角函数式的化简

化简:csoins??534600°°--xx??··ttaann??495000°°--xx??. [分析] 正确把握诱导公式是化简的关键.

[解析]

cos?360°-x?·tan?900°-x? sin?540°-x?·tan?450°-x?

=sin?c1o8s0x°·-tanx??1·t8a0n°?-90x°?-x?

=cossixn·?x-·cotatxnx?=-csoinsxx=-tanx.

第一章 章末归纳总结

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命题方向 三角函数式的求值
已知 log 3( 1-sinx+ 1+sinx)=1,求 sin(x +π)·sin(x-π)的值.
[分析] 对已知式和所求式进行化简,寻找解决问题的突 破口.
[解析] 由题意,得 1-sinx+ 1+sinx= 3. 两边平方整理,得 1-sin2x=12,∴sin2x=34. ∴sin(x+π)·sin(x-π)=-sinx·(-sinx)=sin2x=34.
第一章 章末归纳总结

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三角函数图象的变换

命题方向 平移变换

设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右

平移π3个单位长度后,所得图像与原图像重合,则 ω 的最小值

为( )

A.13

B.3

C.6

D.9

第一章 章末归纳总结

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[解析] 将函数 f(x)=cosωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位 长度后,得函数 y=cosω(x-π3)=cos(ωx-ω3π)的图象.
∵所得图象与原图象重合,∴-ω3π=2kπ,k∈Z. ∴ω=-6k. ∴ω>0,∴当 k=-1 时,ωmin=6. [答案] C
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命题方向 伸缩变换

把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标都缩小

到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移π4个单位,

这时对应于这个图象的解析式( )

A.y=cos2x

B.y=-sin2x

C.y=sin(2x-π4)

D.y=sin(2x+π4)

第一章 章末归纳总结

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[解析] 函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩为原来的 一半得到函数 y=sin2x 的图象,再把图象向左平移π4个单位,得 到函数 y=sin2(x+π4)=sin(2x+π2)=cos2x 的图象.
[答案] A
第一章 章末归纳总结

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三角函数图象和性质应用 命题方向 确定函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的解析式
若函数 y=Asin(ωx+φ)+b(其中 A>0,ω>0,|φ|<π2) 在其一个周期内的图象上有一个最高点(1π2,3)和一个最低点 (71π2,-5),求这个函数的解析式.
第一章 章末归纳总结

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[分析] 函数y=Asin(ωx+φ)+b(其中A>0,ω>0)的图象可 看作把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(b>0)或向下 (b<0)平移|b|个单位长度得到的.由图象可知,取最大值与最小 值时相应的x值之差的绝对值只是半个周期,由此可得出A、 b,即而再求ω、φ.
第一章 章末归纳总结

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[解析] 由一个周期内的图象上有一个最高点(1π2,3)和一 个最低点(71π2,-5),得 A=12(ymax-ymin)=12×(3+8)=4,b=12 (ymax+ymin)=12×(3-5)=-1,T2=71π2-1π2=π2,即 T=π.
由 T=2ωπ,得 ω=2.∴y=4sin(2x+φ)-1. 又∵2×1π2+φ=π2,∴φ=π3, 故所求函数的解析式为 y=4sin(2x+π3)-1.
第一章 章末归纳总结

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命题方向 三角函数的性质应用 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在[-1,0]上
单调递减,而 α、β 是锐角三角形的两个内角,求证: f(sinα)>f(cosβ).
第一章 章末归纳总结

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[解析] ∵f(x)在[-1,0]上单调递减,且 f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,1]上的单调性与[-1,0]上的单调性相反. ∴f(x)在[0,1]上单调递增. ∵α、β 是锐角三角形的两个内角, ∴α+β>π2,∴α>π2-β,且 α∈(0,π2),π2-β∈(0,π2). 又∵y=sinx 在(0,π2)上单调递增, ∴sinα>sin(π2-β)=cosβ,即 sinα>cosβ. ∴f(sinα)>f(cosβ).
第一章 章末归纳总结

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命题方向 三角函数的最值问题

和最小值.

求函数 y=-2sin(x+π6)+3,x∈[0,π]的最大值

[解析] ∵x∈[0,π],∴x+π6∈[π6,76π], ∴-12≤sin(x+π6)≤1,

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∴当 sin(x+π6)=1,即 x=π3时, y 取最小值 1,当 sin(x+π6)=-12,即 x=π 时,y 取最大值 4. ∴函数 y=-2sin(x+π6)+3,x∈[0,π]的最大值为 4,最小 值为 1.
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数学思想方法 命题方向 数形结合思想
关于 x 的方程 2sin???x+π4???=2m 在[0,π]内有相异 两实根,则实数 m 的取值范围为________.
[解析] 在同一坐标系分别画出函数 y= 2sin(x+π4)与 y= 2m 的图象如图所示.
第一章 章末归纳总结

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在 x∈[0,π]内要使方程 2sin(x+π4)=2m 有相异两实根,

即函数 y= 2sin(x+π4)与 y=2m 的图象有两个不同交点,即

1≤2m<

2,∴12≤m<

2 2.

[答案] [12, 22)

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命题方向 分类讨论思想 若函数 f(x)=2acos(2x+π3)+b 的定义域是[0,π2],
值域是[-1,5],求函数 f(x)的表达式. [分析] 把 2x+π3当作一个整体,由 x 的取值范围确定
cos(2x+π3)的范围,再按 a>0 和 a<0 分类讨论.
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[解析] ∵0≤x≤π2,∴π3≤2x+π3≤43π, 根据余弦函数的图象知-1≤cos(2x+π3)≤12. 当 a>0 时,?????a-+2ba= +5b=-1 ,解得?????ab= =23 . 当 a<0 时,?????a-+2ba= +- b=15 ,解得?????ab= =- 1 2 . ∴f(x)=4cos(2x+π3)+3 或 f(x)=-4cos(2x+π3)+1.
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命题方向 转化思想

设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+

∞)是增函数,若 a=f(sin27π),b=f(cos57π),c=f(tan57π),则 a、

b、c 的大小关系为( )

A.b<a<c

B.c<b<a

C.b<c<a

D.a<b<c

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[解析] b=f(cos57π)=f(-cos27π)=f(cos27π),c=f(tan57π)= f(-tan27π)=f(tan27π).
∵0<cos27π<sin27π<tan27π,且 f(x)是增函数,∴b<a<c. [答案] A
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